江西省上饶市六校2022届高三第二次联考——理数（WORD版含答案）练习题

江西省上饶市六校2022届高三第二次联考

数学（理科）试题

考试时间：120分钟      满分：150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．已知R为实数集，集合，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

3．下列结论错误的是（    ）

A．若“”为真命题，则p、q均为真命题

B．“”是“”的充分不必要条件

C．命题“若，则”的否命题是“若，则”

D．命题“，都有”的否定是“，使得”

4．函数的大致图像为（    ）

A．      B．

C．      D．

5．为得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位      B．向左平移个单位

C．向右平移个单位      D．向右平移个单位

6．在区间上随机取两个数x、y，则满足的概率为（    ）

A．      B．      C．      D．

7．已知是上的奇函数，且对，都有，当时，函数，则（    ）

A．      B．      C．      D．

8．新冠疫情期间，某市卫健委将6名调研员安排到本市4家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少安排1人，至多安排2人，则不同的安排方法有（    ）

A．4320种      B．2160种      C．1080种      D．540种

9．如图，在长方体中，，E是棱上靠近B的三等分点，F，G分别为的中点，P是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（    ）

A．      B．      C．      D．

10．第24届冬季奥林匹克运动会闭幕式，于2022年2月20日在国家体育场（鸟巢）的场馆举行．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两层的钢骨架是离心率相同的椭圆．假设内层椭圆的标准方程为，外层精圆的标准方程为，若由外层椭圆上的一点A向内层椭圆引切线、，且两切线斜率都存在，则两切线斜率的积等于（    ）

A．      B．      C．      D．不确定

11．已知的外心为点O，M为边上的一点，且，则的面积的最大值等于（    ）

A．      B．      C．      D．

12．设，其中e是自然对数的底数，则（    ）

注：

A．      B．      C．      D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，且，则实数的值为___________．

14．已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则边长c的值为__________．

15．已知函数，若且在区间上有最小位无最大值，则_______．

16．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与圆相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若双曲线C的离心率为，则_______．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，第22、23题为选考题．

17．（12分）计算机和互联网的出现使得“千里眼”“顺风耳”变为现实．现在，5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在近一个时期内逐月攀升，如图是该创新公司2021年1至7月份的5G经济收入（单位：千万）的折线图．

（1）由折线图初步判断，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请建立y关于t的回归方程；

（2）若该创新公司定下了2021年内5G经济月收入突破2千万的宏伟目标，请你预测该公司能否达到目标？

附注：参考数据：

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

18．（12分）已知数列，且为等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）若对任意正整数n，都有，求m的取值范围．

19．（12分）如图，四棱锥中，平面平面．

（1）若为等边三角形，求证：平面；

（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值．

20．（12分）已知抛物线上的点到准线的距离为a．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设，O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点，问：是否存在直线l，使得，若存在，求出的直线l方程；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数，其中．

（1）求的极值；

（2）设函数有三个不同的极值点．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）证明：．

22．（选考题）（10分）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线、分别交于A、B两点，求．

23．（选考题）（10分）已知．

（1）解关于x的不等式；

（2）若对任意实数x，及任意正实数a，b，且，都有恒成立，求实数的取值范围．

江西省上饶市六校2022届高三第二次联考

数学（理科）答案

1．D  2．A  3．D  4．B  5．D  6．A  7．B  8．C  9．B  10．A  11．C  12．C

13．  14．  15．4或10  16．3

11．，，

当且仅当时，取等号；

12．令，则在单调递减，，∵；，∴，令，∴在单调递增，∴，∴；

16．设双曲线C的右焦点为G，过G作于H，由中位线定理知：，，∵，设，由双线定文知：，又∵，

由勾股定理知：∵；

另解：在中，有，∵，∴

∵，∴

设，在中，有，

由得

17．（1）结合题中数据可得，      3分

，      5分

∴y关于t的回归方程为；      6分

（2）由回归方程预测2021年12月份5G经济收入为，能达到目标．      12分

18．（1）由题可知，∴等差数列的公差，

∴，∴，      3分

当时，，      5分

又∵，∴；      6分

（2）由（1）可知，

∴．      9分

由题可知，∴m的取值范围是      12分

19．（1）在底面四边形中，，∵是等边三角形，∴，

∴，      3分

又∴平面，∴平面，∴平面；      5分

（2）∵，，∴，

又∵平面平面平面，

平面平面，

∴平面，      7分

取中点H，∵，∴，

∵平面平面，∴，

∴平面，∴，

∴即为二面角的平面角，      9分

∵，其中为所成的角，∵，∴时，四棱锥的体积最大，此时，∴，∴是等边三角形，∴，在中，

∴，∴，

∴二面角的正切值为      12分

（另解：记四边形的面积为S，，则

当时，S取得最大值．）

20．（1）由题可知：，∴抛物线C的方程为       4分

（2）假设存在满足题意的直线l，显然直线l的斜率存在，

设直线l的方程为，、，

则，、，      6分

由，得

由题可知：，

∴，

∴，            10分

故存在满足题意的直线l，直线l的方程为，      12分

21．（1），      1分

∴在单调递增，∵，∴时，时，∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；      4分

（2）（ⅰ）      5分

由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴

∴，            7分

设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，

∴有三个不同的正实根，满足题意，∴a的取值范围是；      8分

（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，令，则，，令在单调递增、，∴在单调递减，在单调递增，      9分

令，，∵，∴，令，，∴在单调递增，∴，∴在单调递减，

∵，∴，∵，∴，

∵在单调递增，∴，∴      12分

22．（1）曲线和曲线的直角坐标方程分别为      5分

（2）曲线的极坐标方程为，令，

∵，∴．      10分

23．（1）不等式的解集为；      5分

（2），当且仅当时，，      7分

∴，当且仅当、时，

∴，∴，∴实数的取值范围是．      10分