第10讲 直线的倾斜角与斜率 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第10讲 直线的倾斜角与斜率

       【学习目标】

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式

3. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直

        【基础知识】

一、直线的倾斜角

1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向 与直线l向上的方向之间所成的角α
叫做直线l的倾斜角.

2.规定:当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0° .因此,直线的倾斜角α的取值
范围为0°≤α<180° 

二、直线的方向向量

1.直线P1P2上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量 .

2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线P1P2上的两点,则直线P1P2的一个方向向量的坐标为

三、直线的斜率

1.一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k= tan α    (α≠90°).

2.所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线没有斜率.

3.过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是k= .

4.直线的方向向量与斜率的关系

(1)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线,其方向向量为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1) ,因

此,当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量的坐标为 (1,k)   .

(2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k=.

四、两条直线(不重合)平行的判定

五、两条直线垂直的判定

   【考点剖析】

考点一：求直线的倾斜角

例1．若直线与直线垂直，直线的斜率为，则直线的倾斜角为______．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，

因为，因此，.

考点二：求直线倾斜角的范围

例2．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（       ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，直线的倾斜角为，则，因为，即，

结合正切函数的性质，可得．故选B．

考点三：求直线的斜率

例3．经过两点,的直线的斜率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】经过两点,的直线的斜率为：；故选B.

考点四：求直线斜率的范围

例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ）

A． B．或 C． D．

【答案】B

【解析】如下图示，

当直线过A时，，当直线过B时，，由图知：或.

故选B

考点五：两直线平行问题

例5．若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.

【答案】

【解析】因为直线与直线平行，直线的斜率为，

所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

所以，即直线的倾斜角为

考点六：两直线垂直问题

例6．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．

【答案】5或2

【解析】因为直线经过点，，且，

所以的斜率存在，设斜率为，

当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．

当时，，此时直线斜率存在．

由，得．解得．

综上，的值为或．

        【真题演练】

1. （2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二下学期开学考试）直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为(       )

A． B． C． D．

2. （2021-2022学年江苏省镇江市第一中学高二上学期期末）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（          ）

A． B． C． D．

3. （2021-2022学年江西省南昌市实验中学高二12月月考）经过点、两点的直线的倾斜角为（       ）

A．90º B．120º C．135º D．150º

4.（多选）（2021-2022学年湖南省怀化市第五中学高二上学期期中）在下列四个命题中，错误的有（　　）

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]

C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为45度

D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα

5.（多选）（2021-2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高二上学期期中）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数（       ）．

A． B． C． D．

6. （2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________.

7.（2021-2022学年四川省绵阳市南山中学高二上学期10月月考）若三点，，在同一条直线上，则实数___________.

8.（2021-2022学年河北省石家庄十二中高二上学期期中）已知两点，求：

(1)直线的斜率k；

(2)已知实数，求直线的倾斜角的范围.

【过关检测】

1.（河北省保定市2021-2022学年高二上学期期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（       ）

A． B． C． D．

2.以点，，为顶点的三角形是（       ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

3．（2021-2022学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末）直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（       ）

A．平行 B．重合

C．相交但不垂直 D．垂直

4．（2021-2022学年河北省唐山市滦南县第一中学高二上学期10月月考）过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（       ）

A． B． C． D．

5.（2020-2021学年内蒙古包头市第四中学高二上学期月考）设点，，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（　　）

A．或 B．

C． D．以上都不对

6．（多选）下列四个命题中，错误的有（       ）

A．若直线的倾斜角为，则

B．直线的倾斜角的取值范围为

C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

7.（多选）如果直线l过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么l的倾斜角可能是（       ）

A．0° B．120°

C．90° D．60°

8.（2021-2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中）如图所示，直线的频斜角，直线，则直线的斜率为________．

9．在△ABC中，已知A（3，﹣2），B（1，﹣3），C（1，1）.

(1)求直线AB，AC，BC的斜率；

(2)判断直线AC的倾斜角是锐角还是钝角或直角.

10.已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为、、，求该平行四边形的第四个顶点坐标．