第07讲 空间向量基本定理 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019选择性必修一）

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第07讲 空间向量基本定理       【学习目标】1.了解空间向量基本定理及其意义，2.掌握空间向量的正交分解         【基础知识】一、空间向量基本定理1.如果三个向量a,b,c不共面 ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc    .我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底 ,a,b,c都叫做基向量 .空间任意三个不共面 的向量都可以构成空间的一个基底2.基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时,选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向
量应注意: (1)所选向量必须不共面,可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断; (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知
向量; (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底.【解读】        3.用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则或平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量,即结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.二空间向量的正交分解如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直 ,且长度都为1    ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i, j,k}表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.   【考点剖析】考点一：对平面向量基本定理的理解例1．（多选）（2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ）A．若，则B．，，两两共面，但，，不共面C．一定存在实数x，y，使得D．，，一定能构成空间的一个基底【答案】ABD【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，∴若，则，A正确，B正确；若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；设，则，此方程组无解，∴，，不共面，D正确.故选ABD.考点二：对基底的理解例2．设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】如图，作平行六面体，，，，则，，，，由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选C．考点三：选择基底表示某一向量例3．（2021-2022学年河南省郑州市高二上学期期末）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选A考点四：选择基底求解向量的模或线段长度例4．（2021-2022学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（       ） A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，因为,所以，所以，故选C考点五：选择基底求解角度问题例6．（2021-2022学年重庆市四川外语学院高二上学期10月月考）二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为_________.【答案】【解析】设平面与平面的夹角为，因为，，所以，由题意得，所以所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为.考点六：选择基底求解数量积问题例7．（2021-2022学年江苏省南通市海安市实验中学高二下学期期中）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（       ）A．1 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【解析】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，则，因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，，所以.故选D         【真题演练】1. （2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ）A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线C．与共线 D．O，A，B，C四点共面【答案】D【解析】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面，故选D2. （2021-2022学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，.故选D3.（2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中）如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，又，所以，．故选C．4. （2021-2022学年福建省福州市八县（市）一中高二上学期期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由于不共面,可A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有，故这三个向量是共面的,不能构成基底.故选ABD5.（多选） （2021-2022学年福建省福州市高二下学期期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（       ）A． B．C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面【答案】BD【解析】，A选项错误.，B选项正确.则是的中点，，，则不存在实数使，所以C选项错误.，由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.故选BD6. （多选）（2021-2022学年上海市控江中学高二下学期期中）如图，在四面体中，是的中点，设，，，请用､､的线性组合表示___________.【答案】【解析】在中，因为是的中点，所以，所以.7. （2021-2022学年河北省邯郸市高二上学期期末）已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.【答案】6【解析】设，，，则，∴，∴.8.（2021-2022学年江苏省徐州市王杰中学高二下学期3月阶段性测试）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．(1)试用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【解析】 (1)解：，，又(2)解：由（1）可得知        【过关检测】1.（2021-2022学年江苏省苏州市昆山市七校高二上学期12月联考）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形．若，且，则的长为（       ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】，故，故，故选A2. （2021-2022学年广东省佛山市南海区桂城中学高二下学期第二次段考）四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知，所以，，故选D.3. （2021-2022学年广东省揭阳市揭西县高二上学期期末）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】对于A：，因此A不满足题意；对于B：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此B正确；对于C：，故C不满足题意；对于D：显然有，选项D不满足题意． 故选B4.（2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期3月月考）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为，则,,因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，所以，又点Р在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；所以，所以的取值范围为，故选B5. （多选）（2021-2022学年江苏省徐州市沛县高二下学期第一次学情调研）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】ABD【解析】对于A，因为，故，，共面；对于B，因为，故，，共面；对于D，因为，故，，共面；对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，，故共面，这与构成空间的一个基底矛盾，故选ABD6. （多选）（2021-2022学年江苏省镇江中学高二下学期期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（       ）A． B．C．的长为 D．【答案】BD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选BD.7．（多选）（2021-2022学年浙江省金华市曙光学校高二上学期10月月考）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】CD【解析】因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：，化简得：，显然有，而，所以有，当，时，，所以选项A不可能；当，时，，所以选项B不可能；当，时，，所以选项C可能；当，时，，所以选项D可能，故选CD8. （2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末）已知向量，，不共线，点在平面内，若存在实数，，，使得，那么的值为________.【答案】1【解析】因为点在平面内，则由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，从而.9. （2021-2022学年河南省名校联盟高二上学期期末）在平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，，若，则___________.【答案】【解析】.10. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．【解析】因为是的中点，底面是正方形，所以，又由题意，可得，，，，，因此，所以，即的长为.