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2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算
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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材） 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算，共40页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，向量的有关概念，始点和终点相同，相同或相反，向量的加法，a与b的和，a+b等内容，欢迎下载使用。
(2)向量求和的法则
(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.(4)向量加法的运算律①交换律:a+b= .②结合律:(a+b)+c= . (5)多个向量相加已知n个向量,依次把这n个向量 ,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量,称为这n个向量的和向量.
3.向量的减法(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作 .
4.数乘向量(1)数乘向量的定义一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个 ,记作λa,其中: (ⅰ)当λ≠0且a≠0时,λa的模为 ,而且λa的方向如下: ①当λ>0时,与a的方向 ; ②当λ<0时,与a的方向 .
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= . 实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.(2)数乘向量的定义说明如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.(3)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.(4)数乘向量的运算律设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有(1)λ(μa)= ;(2)λa+μa= ;(3)λ(a+b)= .
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的中点为D,则下列结论正确的是( )
4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ= .
5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
【例1】给出下列四个说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则 是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确说法的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②④
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确说法的序号是②③.
解题心得 平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
对点训练1给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4
答案 C解析①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
答案 (1)A (2)B
解题心得平面向量的线性运算的求解策略(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加法、减法运算及数乘向量来求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
答案 (1)A (2)D
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
[提醒]证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.使用向量共线定理的大前提是至少有一个向量是非零向量.
(2)向量求和的法则
(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.(4)向量加法的运算律①交换律:a+b= .②结合律:(a+b)+c= . (5)多个向量相加已知n个向量,依次把这n个向量 ,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量,称为这n个向量的和向量.
3.向量的减法(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作 .
4.数乘向量(1)数乘向量的定义一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个 ,记作λa,其中: (ⅰ)当λ≠0且a≠0时,λa的模为 ,而且λa的方向如下: ①当λ>0时,与a的方向 ; ②当λ<0时,与a的方向 .
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= . 实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.(2)数乘向量的定义说明如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.(3)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.(4)数乘向量的运算律设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有(1)λ(μa)= ;(2)λa+μa= ;(3)λ(a+b)= .
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的中点为D,则下列结论正确的是( )
4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ= .
5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
【例1】给出下列四个说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则 是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中正确说法的序号是( )A.②③B.①②C.③④D.②④
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确说法的序号是②③.
解题心得 平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
对点训练1给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③若λa=0(λ为实数),则λ必为零;④已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4
答案 C解析①错误.当方向不同时,不是共线向量.②正确.因为向量有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误.当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误.当λ=μ=0时,λa=μb,此时,a与b可以是任意向量.
答案 (1)A (2)B
解题心得平面向量的线性运算的求解策略(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加法、减法运算及数乘向量来求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
答案 (1)A (2)D
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
变式发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?
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