新教材高二数学下学期暑假训练7函数的值域与最值含答案

7 函数的值域与最值

例1．求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；

（7）；（8）；（9）．

例2．，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

例3．已知函数，对任意，都有，

则m的取值范围是（）

A． B． C． D．

一、选择题．

1．函数的值域为（）

A． B． C． D．

2．已知函数，，若存在，使得，

则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．（多选）若函数的值域为，则实数a的取值可能是（）

A．0 B． C． D．1

二、填空题．

4．函数的定义域是_________，函数的值域为__________．

5．已知函数的最大值为4，最小值为，则________，_________．

6．已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是_________．

三、解答题．

7．求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）．

8．已知函数，若函数的定义域和值域都是，求实数的值．

9．已知函数为偶函数．

（1）求实数的值；

（2）当，时，函数的值域为，求，的值．

例1．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．

【解析】（1）分式函数，定义域为，

故，所以，

故值域为．

（2）函数中，分母，

则，故值域为．

（3）函数中，令，得，

易见函数和都是减函数，

故函数在时是递减的，故时，，

故值域为．

（4），，

而，，

，，

即，故值域为．

（5）函数，定义域为，

令，所以，

所以，对称轴方程为，

所以时，函数，故值域为．

（6）由题意得，解得，

则，

故，，，

由y的非负性知，，故函数的值域为．

（7）函数，定义域为，，故，即值域为．

（8）函数，定义域为，

故，所有，故值域为．

（9）函数，

令，则由知，，，

根据对勾函数在递减，在递增，

可知时，，故值域为．

例2．【答案】A

【解析】函数，

因为，所以在的值域为，

函数在的值域为，

因为对任意的，存在，使，

所以，

所以，解得，故选A．

例3．【答案】A

【解析】因为，

所以，即．

又因为恒成立，所以．

因为，所以，

从而，所以，故选A．

一、选择题．

1．【答案】D

【解析】，

因为，所以，所以，

所以函数的值域为，故选D．

2．【答案】C

【解析】，所以，

整理得，解得，故选C．

3．【答案】CD

【解析】当时，，故不符合题意；

当时，函数的值域为，

，解得，

故选CD．

二、填空题．

4．【答案】，

【解析】①由，得，解得，

故函数的定义域是．

②令，，则，

所以原函数可化为，其对称轴为，

所以函数在上单调递增，所以，

所以函数的值域为，

故答案为①；②．

5．【答案】，

【解析】函数变形为，即，

显然时，方程可以成立，

当时，，即，

由题意可知，

得，，解得，，

故答案为，．

6．【答案】

【解析】因为函数，

则由基本不等式计算可得，

当且仅当，即时成立，

函数在上单调递减，在上单调递增，

则的值域是，

又因为与有相同的值域，则，即，

故答案为．

三、解答题．

7．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

【解析】（1），定义域为，

所以其值域为．

（2）由解析式知：定义域为，函数可转化为在上有解，

∴当，即时，显然成立；

当时，，

整理得，解得且，

∴综上，函数的值域为．

（3）由解析式知：定义域为，函数可转化为在上有解，

∴当时，显然成立；

当时，，整理得，解得且，

∴综上，函数的值域为．

（4）由解析式知：定义域为，而，

∴当时，，当且仅当时等号成立；

当时，，

当且仅当时等号成立，

∴综上，函数的值域为．

（5）由，知函数的定义域为，

而，

∴，函数的值域是．

8．【答案】．

【解析】因为函数，在上递增，

又函数的定义域和值域都是，

所以，解得，

所以实数的值是．

9．【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）函数，

则，

又由函数为偶函数，则有，

即，解得．

（2）由（1）可得，则，则函数在为增函数，

若当时，函数的值域为，

则有，即，是方程的两个不等实根，

又由且，，则有，

则，．