2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年重庆市第八中学校高二（艺术班）下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（    ）

A．{－1} B．{0，1}

C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}

【答案】C

【分析】由交集与补集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，

所以，

又全集U＝{－1，0，1，2，3}，

所以，

故选：C.

2．命题：，的否定形式为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】由题意，“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，故为，.

故选：D

3．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可.

【详解】因为在上递减，且，

所以，即，

因为在上递增，且，

所以，即，

因为在上递增，且，

所以，

所以，即，

所以，

故选：D

4．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.

【详解】因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．

5．已知向量，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求得的值，再计算的坐标，再由坐标计算模长即可求解.

【详解】因为向量，，且，

所以，解得：，

所以，可得，

所以，

故选：C.

6．定义域为R的奇函数在区间上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.

【详解】因为定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，

所以在区间上也是单调递减，

且，

所以当时，，

当时，，

由可得或

解得或，

所以满足的x的取值范围是．

故选：D

7．函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD；再以图像的切线情况去排除错误选项A，即可得到函数的正确图像.

【详解】的定义域为

，

则为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD；

则

即函数在点的切线斜率为正值，

选项A的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.

选项B的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.

故选：B

8．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.

【详解】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

二、多选题

9．已知，，，则以下不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可.

【详解】对于AB，因为，，，所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，所以A正确，B错误，

对于C，因为，，所以，

当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，所以C正确，

对于D，因为，，，

所以，

当且仅当时取等号，所以D正确，

故选：ACD

10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

11．设，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】AB

【分析】先作出函数的图像，有三个不同的实数根，化为函数与直线有三个交点，结合图像，即可得出结果.

【详解】解：作出函数图像如下：

又有三个不同的实数根，

所以函数与直线有三个交点，

由图像可得：.

故选：AB

12．已知函数，以下结论中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．有无数个零点

C．的最小值为 D．的最大值为1

【答案】ABD

【分析】利用函数的性质，三角函数的性质及导数与单调性及极值，及最值关系检验各选项即可判断.

【详解】对于A选项：因为的定义域为，则，所以是偶函数，A选项正确；

对于B选项：令，则，所以，解得，所以有无数个零点，B选项正确；

对于C选项：因为，所以若的最小值为，则是的一个极小值点，而，则，

不是函数的极小值点，C选项错误；

对于D选项：因为，当时，取到最大值1，取到最小值1，所以此时取到最大值1，D选项正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．设向量，若，则______________.

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由可得，

又因为，

所以，

即，

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.

【答案】

【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15．已知sin，则___________.

【答案】

【分析】“给值求值”问题，找角与角之间的关系

【详解】

所以

所以

故答案为：

四、双空题

16．如图，在平行四边形中，，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________．

【答案】         

【分析】设，由平面向量线性运算及基本定理可得，由结合基本不等式可得的最小值.

【详解】由题意，设，

则，

所以，所以，所以；

所以，

由的面积为，得到，得到，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为．

故答案为：；.

五、解答题

17．在中，，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用余弦定理可构造方程求得，由可得；

（2）由同角三角函数关系可得，根据正弦定理得到，由可得结果.

【详解】（1），，

由余弦定理得：，

解得：，.

（2），，，

由正弦定理得：，

.

18．已知是首项为19，公差为的等差数列，为的前项和.

(1)求通项及；

(2)设是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

【答案】(1)，；

(2)，.

【分析】（1）由已知条件结合等差数列的通公式和求和公式直接求解即可；

（2）先由等比数列的通项公式求出，从而可求出，再利用分组求和法可求出.

【详解】（1）∵是首项为19，公差为的等差数列

∴.

∵是首项为19，公差为的等差数列其前n项和为，

∴

（2）由题意是首项为1，公比为2的等比数列，

∴，所以，

∴.

19．某产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：

(1)求回归直线方程；

(2)据此估计广告费用为10时销售收入的值.

附：线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值.

【答案】(1)

(2)82.5

【分析】（1）根据表中的数据结合公式可求出回归直线方程；

（2）将代入回归方程可得结果.

【详解】（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，

∵，，

∴，

∴，

∴所以回归直线方程为.

（2）当时，预报的值为.

20．如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上.

(1)求证：∥平面；

(2)求二面角的余弦值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知条件结合线面垂直的性质可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，由四边形是矩形可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，然后利用面面平行的判定可得平面∥平面，从而由面面平行的性质可得结论；

（2）由已知可得，，两两垂直，所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：∵平面，平面，

∴∥，又平面，平面，

∴∥平面，又四边形是矩形，

∴∥，又平面，平面，

∴∥平面，

又，平面，，

∴平面∥平面，又点在棱上，

∴平面，

∴∥平面；

（2）因为平面，平面，

所以，

因为四边形是矩形，所以，

所以，，两两垂直，

所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，

由题意有，，，，

所以，，

易知平面的一个法向量为，

设平面的法向量，

则，

令，则，，

所以，由图知二面角的平面角为锐角，

所以，

所以二面角的余弦值为.

21．已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；

（2）先判断出直线的斜率存在，设直线的方程为，点、，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，然后化简计算即可得结论.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为.

由题意得

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：若直线的斜率不存在时，

则该直线的方程为，直线与椭圆相切，不合乎题意.

所以直线的斜率存在，

设直线的方程为，即，

设点、，

联立，

可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

.

22．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；

（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.

【详解】（1）当时，，，

令，解得，令，解得，

所以的减区间为，增区间为；

（2）若有两个零点，即有两个解，

从方程可知，不成立，即有两个解，

令，则有，

令，解得，令，解得或，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，

而时，，当时，，

所以当有两个解时，有，

所以满足条件的的取值范围是：.

【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.