2022天津市部分区高三下学期质量检查调查(一)数学试题无答案
展开天津市部分区2022年高三质量调查试卷(一)
数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.
参考公式:
如果事件互斥,那么.
如果事件A、B相互独立,那么.
球的体积公式,其中R表示球的半径.
圆柱的体积公式,其中S表示圆柱的底面面积,h表示圆柱的高.
第Ⅰ卷
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,那么( )
A. B. C. D.
2.若,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播,我市某区对全体居民进行核酸检测.现面向全区招募1000名志愿者,按年龄分成5组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作,则在第二组中抽出的人数为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
4.已知一个圆柱的高是底面半径的2倍,且其上、下底面的圆周均在球面上,若球的体积为,则圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的准线与双曲线相交于D、E两点,且OD⊥OE(O为原点),则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.设,,,则a、b、c的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.在其定义域内,同时满足条件:“①当时,有;②当时,有.”的函数是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数(,)的部分图象如图所示,则( )
A., B.,
C., D.,
9.已知函数,,若函数恰有6个零点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
10.i是虚数单位,复数______.
11.的展开式中的常数项为______.
12.已知直线与圆相交于A,B两点,则______.
13.在2022年北京冬奥会志愿者选拔期间,来自北京某大学的4名男生和2名女生通过了志愿者的选拔.从这6名志愿者中挑选3名负责滑雪项目的服务工作,恰有两名男生的概率为______;若对入选的2名男生和1名女生进行滑雪项目相关知识的测试,已知两名男生通过测试的概率均为,女生通过测试的概率为,且每人通过与否相互独立,记这三人中通过测试的人数为X,则随机变量X的数学期望为______.
14.已知,,且,则的最小值为______.
15.在菱形ABCD中,AB=2,∠ADC=60°,,则______;点Q为平面上一点,则的最小值为______.
三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.
16.(本小题满分14分)
在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=5,,求b和的值.
17.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是等边三角形,CD⊥平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小;
(Ⅲ)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,若存在,求线段PM的长;若不存在,说明理由.
18.(本小题满分15分)
在①q=d②2q-d=2③q+d=4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并完成解答.
设是等差数列,公差为d,是等比数列,公比为q,已知,,______.
(Ⅰ)请写出你的选择,并求和的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,求;
(Ⅲ)设,求证:.
19.(本小题满分15分)
已知椭圆的右顶点为A,上顶点为B,离心率为,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点A的直线与椭圆相交于点,与y轴相交于点S,过点S的另一条直线l与椭圆相交于M,N两点,且△ASM的面积是△HSN面积的倍,求直线l的方程.
20.(本小题满分16分)
已知函数,.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线的斜率为4,求a的值;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
(Ⅲ)已知的导函数在区间上存在零点.求证:当时,.
天津市部分区2022年高三质量调查试卷(一)
数学参考答案
一、选择题:(本题共9小题,每小题5分,共45分.)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
答案 | B | A | D | C | B | C | D | A | D |
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
10. 11.180 12.
13.; 14. 15.-1;-2
三、解答题:(本大题共5个小题,共75分)
16.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,可得,
又由,得,即,
又因为,可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,在△ABC中,a=5,,
由余弦定理有,故.
由正弦定理,可得.
又因为,故.
因此,.
所以,.
17.(本小题满分15分)
解:(Ⅰ)证明:因为△PAD是正三角形,O是AD的中点,所以PO⊥AD.
又因为CD⊥平面PAD,平面PAD,所以PO⊥CD.
AD⊥CD=D,AD,平面ABCD,所以PO⊥面ABCD.
(Ⅱ)如图,以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,,,,
,,,
设平面EFG的法向量为
所以,即,
令,则,
又平面ABCD的法向量,
所以.
所以平面EFG与平面ABCD所成角为.
(Ⅲ)假设线段PA上存在点M,
使得直线GM与平面EFG所成角为,直线GM与平面EFG法向量所成的角为,
设,,,,
所以,
所以,
整理得,,方程无解,所以,不存在这样的点M.
18.本题满分15分
(Ⅰ)解:选①由题意有,,解得,故;
选②由题意有,,解得,故;
选③由题意有,,解得,故;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,记,
,(1)
.(2)
(1)-(2)可得,故.
所以.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得,,
所以.
19.(本小题满分15分)
(Ⅰ)由,解得,,
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)由已知得,所以,直线AH的方程为,
所以,S点的坐标为.
①当直线l的斜率不存在时,,,
或,都与已知不符.
②当直线的斜率存在时,设直线l的方程为,,,
由,得,
,,
,,
由得,,即,
又,所以,,即,也就是,
所以,,,,,
解得,,所以,直线方程为.
20.解(Ⅰ)函数的定义域为
,,所以,a=-2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,
①当时,令,解得或,
令,解得.
所以,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
②当a=3时,,所以,函数的单调递增区间为,
③当时,令,解得或,
令,解得,
所以,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
(Ⅲ)因为导函数在区间上存在零点,则,
由(Ⅱ)可知在上单调递减,在单调递增,
所以在上的最小值为,
设,,,
因为,所以,在上单调递减,
所以,所以在上单调递减,
又因为,所以,,即,
所以当时,.
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