2022年湖北省荆州市中考真题数学卷及答案（文字版）

荆州市2022年初中学业水平考试数学试题

一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 化简a－2a的结果是（    ）

A. －a B. a C. 3a D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据整式的加减运算中合并同类项计算即可；

【详解】解：；

故选：A．

【点睛】本题主要考查整式加减中的合并同类项，掌握相关运算法则是解本题的关键．

2. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（    ）

A. a与d B. b与d C. c与d D. a与c

【答案】C

【解析】

【分析】互为相反数的两个数（除0在外）它们分居原点的两旁，且到原点的距离相等，根据相反数的含义可得答案．

【详解】解：分居原点的两旁，且到原点的距离相等，

互为相反数，

故选C

【点睛】本题考查的是相反数的含义，掌握“互为相反数的两个数在数轴上的分布”是解本题的关键．

3. 如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（    ）

A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°

【答案】B

【解析】

【分析】由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由得即可求解；

【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）＝（180°-40°）=70°，

∵

∴

∴

故选：B．

【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．

4. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（    ）

A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．

【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；

故选：B．

【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．

5. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可．

【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则

，

故选：A．

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．

6. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（    ）

A.  B. 或 C. 或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】根据图象进行分析即可得结果；

【详解】解：∵

∴

由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为，

由图象可以看出当或时，函数在上方，即，

故选：D．

【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键．

7. 关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（    ）

A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根

【答案】B

【解析】

【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．

【详解】解：对于关于x的方程，

∵，

∴此方程有两个不相等的实数根．

故选B．

【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

8. 如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．

【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．

∵△ABC是等边三角形，BC=2，

∴CF=BF=1．

在Rt△ACF中，．

∴．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．

9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．

【详解】∵P点坐标为（1，1），

则OP与x轴正方向的夹角为45°，

又∵，

则∠BAO=45°，为等腰直角形，

∴OA=OB，

设OC=x，则OB=2OC=2x，

则OB=OA=3x，

∴．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．

10. 如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，由此可解．

【详解】解：如图，连接AC，BD，，．

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴，，．

∵ ，，，分别是矩形四个边的中点，

∴，

∴，

∴四边形是菱形，

∵ ，，

∴四边形的面积为：．

同理，由中位线的性质可知，

，，

，，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴四边形的面积为：．

∴每一次操作后得到四边形面积为原四边形面积的一半，

∴四边形的面积是．

故选:A．

【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形是菱形，四边形是矩形是解题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 一元二次方程配方为，则k的值是______．

【答案】１

【解析】

【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．

【详解】解：

∴

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．

12. 如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是______．（只需写一种情况）

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可得： 证明 再补充两个三角形中的一组相对应的边相等即可．

【详解】解： ，

所以补充：

△AEG≌△CFH，

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键．

13. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______．

【答案】2

【解析】

【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可．

【详解】解：∵ ，

∴，

∵ 的整数部分为a，小数部分为b，

∴，．

∴，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．

14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______．

【答案】

【解析】

【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案．

【详解】解： ，

如图，连结

由作图可得：是的垂直平分线，

故答案为：

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键．

15. 如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

【答案】7.5

【解析】

【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.

【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，

则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，

∵EG过圆心，且垂直于AD，

∴G为AD的中点，

则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，

在中，由勾股定理可得，

，

即，

解方程得r=7.5，

则球的半径为7.5cm．

【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．

16. 规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．

【答案】或

【解析】

【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．

【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，

函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，

当k=0时，函数解析为，它“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点，

当时，此函数是二次函数，

它们的图象与x轴都只有一个交点，

它们的顶点分别在x轴上，

，得，

故k+1=0，解得k=-1，

故原函数的解析式为，

故它的“Y函数”解析式为，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）

17. 已知方程组解满足，求k的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】先求出二元一次方程组的解，代入中即可求k；

【详解】解：令①+②得，，

解得：，

将代入①中得，，

解得：，

将，代入得，，

解得：．

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．

18. 先化简，再求值：

，其中，．

【答案】；

【解析】

【分析】先合并括号里的分式，再将分式各部分因式分解并化简，代值求解即可；

【详解】解：原式=

=

=

=

∵，，

∴．

【点睛】本题主要考查分式的化简并求值，掌握分式化简的相关运算法则是解本题的关键．

19. 为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中m＝______；扇形统计图中，B等级所占百分比是______，C等级对应的扇形圆心角为______度；

（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有______人；

（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

【答案】（1）12；40%；84   

（2）280    （3）

【解析】

【分析】（1）先求出抽查总人数，再求B等级所占百分比、C等级对应的扇形圆心角、m的值；

（2）用1400乘以成绩为A等级的学生人数的占比即可得结果；

（3）根据列表法求概率即可.

【小问1详解】

解：抽查总人数为：（人）；

；

B等级所占百分比是：；

C等级对应的扇形圆心角为；

【小问2详解】

（人）；

∴若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有280人；

【小问3详解】

P（甲、乙两人至少有1人被选中）=．

【点睛】本题主要考查统计表和扇形统计图、根据样本所占比估计总量、概率的求解，掌握相关计算公式和概率的求解方法是解题的关键．

20. 如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．

（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；

（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】对于（1），以AC为公共边的有2个，以AB为公共边的有2个，以BC为公共边的有1个，一共有5个，作出图形即可；

对于（2），△ABC是等腰直角三角形，以BC为对角线的菱形只有1个，作出图形即可．

【小问1详解】

如图所示．

【小问2详解】

如图所示．

【点睛】本题主要考查了作格点三角形和菱形，理解题意是解题的关键．

21. 荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°，已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：，，）

【答案】城徽的高AB约为米．

【解析】

【分析】如图，延长DF交AB于M，由题意可得： 所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；设再表示 再利用锐角的正切建立方程，解方程即可．

【详解】解：如图，延长DF交AB于M，由题意可得：

所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；

设 而

由

解得： 经检验符合题意，

所以

答：城徽的高AB约为米．

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．

22. 小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．

请根据图象解答：

（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．

①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；

②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．

【答案】（1）①当x>0时，y随x的增大而减小； 两段图象关于原点对称；（答案不唯一）

②不一定；    （2）①y=-x+3；；②．

【解析】

【分析】（1）①直接观察图象写出两条性质即可（答案不唯一）；②不成立举出反例即可；

（2）求出AB所在直线解析式，利用函数图象平移规律即可求得直线l的解析式；求解△PAB的面积时，以AB为底边，设直线AB与y轴交点记为C，如详解中图所示，过点C向直线l作垂线，垂足记为Q，因为平行线之间的距离处处相等，所以AB边上的高为CQ，表示出CQ即可求出三角形面积．

【小问1详解】

①观察函数图像可得其性质：当x>0时，y随x的增大而减小； 两段图象关于原点对称；

②不一定，当时，，当时，，此时；

【小问2详解】

①设AB所在直线解析式为：y=kx+b，

将，代入得，，

解方程组得，

则AB所在直线解析式为：y=-x+3，

∵n=3，向下平移三个单位后，

直线l解析式为：y=-x，

如下图所示，设直线AB与y轴交点记为C，则C点坐标为（0，3），

过点C向直线l作垂线，垂足记为Q，

易知直线l过原点，且k=-1，

∴直线AB、直线l与x轴负方向夹角都为45°，

则∠COQ=90°-45°=45°，且OC=3，

在等腰直角中，CQ=OCsin45°=，

则A、B两点之间距离为，

在中以AB为底边，因为平行线之间的距离处处相等，所以AB边上的高为CQ=，

则，

故直线l的解析式为y=-x+3，△PAB的面积为；

②如下图所示，直线l与y轴交点记为D，则CD的长度即为向下平移的距离n，

由①知为等腰直角三角形，

则，

．

【点睛】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式、函数与三角形结合、函数图象平移等知识点，题目比较综合，根据平行线之间垂线段处处相等，寻找到中AB边上的高是解题的关键．

23. 某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．

（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；

（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

【答案】（1）   

（2）①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为万元．

【解析】

【分析】（1）由总利润等于每件产品利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；

（2）①把代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．

【小问1详解】

解：由题意得：

【小问2详解】

①由（1）得：当时，

则即

解得：

即第一年的售价为每件16元，

② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，

解得：

其他成本下降2元/件，

∴

对称轴为

当时，利润最高，为77万元，而

当时，（万元）

当时， （万元）

所以第二年的最低利润为万元．

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．

24. 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．

（1）求证：DE是半圆O的切线；

（2）当点E落在BD上时，求x的值；

（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；

（4）直接写出：当半圆O与△BCD边有两个交点时，x的取值范围．

【答案】（1）见详解    （2）   

（3）   

（4）或

【解析】

【分析】（1）根据切线的判定定理求解即可；

（2）如图，在，根据勾股定理列方程求解即可；

（3）先证，求出AE，然后证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解；

（4）结合图形，分情况讨论即可求出x的取值范围．

【小问1详解】

证明：在矩形ABCD中，，

△OED是△OAD沿OD折叠得到的，

，即，

DE是半圆O的切线；

【小问2详解】

解：△OED是△OAD沿OD折叠得到的，

，

，

在中，，

，

在中，，

，解得，

答：x的值为．

【小问3详解】

解：在中，，

△OED是△OAD沿OD折叠得到的，

，

是的直径，

，即，

，

，

，

，

，

，

，

，即，

（）

【小问4详解】

解：由（2）知，当E在DB上时， ，

如图，当点E在DC上时， ，

∴当时，半圆O与△BCD的边有两个交点；

当半圆O经过点C时，半圆O与△BCD的边有两个交点，

连接OC，在中，，

，

，解得，

∴当时，半圆O与△BCD的边有两个交点；

综上所述，当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围为：或．

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，勾股定理，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质是解本题的关键．