2021-2022学年河南省南阳市南召县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省南阳市南召县七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 若，则下列式子中一定成立的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法中，正确的是

A. 二元一次方程的解为有限个
B. 方程的解、为自然数的有无数对
C. 方程组的解为
D. 方程组中各个方程的公共解叫做这个方程组的解

3. 下列解方程中变形步骤正确的有
   由，得；
   由，去分母得；
   由，去括号得；
   ，得．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用分钟，他骑自行车的平均速度是米分，步行的速度是米分，他家离学校的距离是米．设他骑自行车和步行的时间分别为、分钟，则列出的二元一次方程组是

A.  B.
C.  D.

5. 某班组织名同学去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车每辆有个座位，另一种车每辆有个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载．租车方案共有种

A.  B.  C.  D.

6. 对于两个不相等的有理数、，我们规定符号表示、两数中较小的数，例如按照这个规定，方程的解为

A.  B.
C.  D. 或

7. 若关于、的方程组的解满足，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 如果关于的不等式组无解，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 我们探究得方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，方程的正整数解只有组，，那么方程的正整数解得组数是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 已知是方程的解，则的值是______．
12. 请写出一个解为的二元一次方程组，这个方程组可以是______．
13. 已知，则的取值范围是______．
14. 若关于的方程的解为正整数，则满足条件的整数的个数为______个．
15. 小明在拼图时，发现个一样大小的长方形如图那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形”请你写出这些长方形的长和宽______．
    ．

三．解答题（本题共8小题，共75分）

16. 解方程及不等式：
    ；
    ．
17. 解方程组：．
18. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．．
19. 已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
    若是该方程的一个解，求的值；
    当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
20. 某厂接到一所中学的冬季校服定做任务，计划用、两台大型设备进行加工，如果单独用型设备，需要天做完；如果单独用型设备，需要天做完；为了同学们能及时领到冬季校服，工厂决定由两台设备同时赶制．
    填空：型设备的工作效率是______，型设备的工作效率是______；
    若两台设备同时加工天后，型设备出了故障，暂时不能工作，如果由型设备单独完成剩下的任务，则还需要多少天？
21. 今年月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用，两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
该市后续又筹集了吨生活物资，现已联系了辆种型号货车．试问至少还需联系多少辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？

22. 为落实优秀传统文化进校园，某校计划购进“四书”、“五经”两套图书供学生借阅，已知这两套图书单价和为元，一套“四书”比一套“五经”的倍少元．
    分别求出这两套图书的单价；
    该校购买这两套图书不超过元，且购进“四书”至少套，“五经”的套数是“四书”套数的倍，该校共有哪几种购买方案？
23. 阅读下列材料：求不等式的解集．
    解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：或．
    解得；解得．
    不等式的解集为或请你仿照上述方法解决问题：
    求不等式的解集．
    求不等式的解集．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
若，则不成立，
故A选项不符合题意；
，
，
故B选项不符合题意；
，
，
故C选项符合题意；
，
，
故D选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质判断即可．
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：二元一次方程的解为无限个，故错误，不合题意；
B.方程的解为自然数有：，，共有组，则命题错误，不符题意；
C.方程组的解为，故错误，不合题意；
D.正确，符合题意．
故选：．
根据二元一次方程以及二元一次方程组的解的定义即可求解．
本题考查了二元一次方程以及二元一次方程组的解的定义，理解定义是关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由，得，
选项不符合题意；

由，去分母得，
选项不符合题意；

由，去括号得，
选项符合题意；

，得，
选项不符合题意，
解方程中变形步骤正确的有个：．
故选：．
：根据等式的性质逐项判断即可；
：根据乘法分配律去括号即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
根据关键语句“到学校共用时 分钟”可得方程： ，根据“骑自行车的平均速度是 米 分，步行的平均速度是 米 分．他家离学校的距离是 米”可得方程： ，两个方程组合可得方程组．
【解答】
解：设他骑自行车和步行的时间分别为 、 分钟，由题意得：
．
故选： ．   

5.【答案】

【解析】

【解答】
解：设租用每辆 个座位的车 辆，每辆有 个座位的车 辆，
根据题意得， ，
整理得， ，
、 都是正整数，
时， ，
时， ，
时， 不符合题意，舍去 ，
所以，共有 种租车方案．
故选： ．
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．
设租用每辆 个座位的车 辆，每辆有 个座位的车 辆，根据车座位数等于学生的人数列出二元一次方程，再根据 、 都是正整数求解即可．   

6.【答案】

【解析】解：表示、两数中较小的数，
或．
或，
时，
解得，
此时，
，
符合题意．
时，
解得，
此时，
，
不符合题意．
综上，可得：按照这个规定，方程方程的解为：．
故选：．
根据题意，可得：或，所以或，据此求出的值是多少即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意知、满足，
，得：，
解得，
，得：，
解得，
将、代入，得：，
解得，
故选：．
根据方程组的解的概念得出，利用加减消元法解之求出、的值，再代入求解可得．
本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是根据方程组的解的概念得出关于、的方程组，并熟练利用加减消元法解二元一次方程组．
 

8.【答案】

【解析】解：根据数轴得：不等式的解集为，
不等式去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
，
解得：．
故选：．
不等式去括号，移项，合并，把系数化为表示出解集，根据数轴上表示的解集确定出的值即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出 的范围即可．
【解答】
解： 不等式组 无解，
，
解得 ．
故选 D ．   

10.【答案】

【解析】解：令，则的正整数解有组
其中的正整数解有组，的正整数解有组，的正整数解有组，的正整数解有组，
总的正整数解组数为：
故选：．
先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于、、、时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
 

11.【答案】

【解析】解：把代入方程，
得：，
解得．
故答案为：．
把代入方程，求出的值即可．
此题考查的是一元一次方程的解法，只要把已知未知数的值代入原方程，得到关于的一元一次方程，即可求出的值．
 

12.【答案】

【解析】解：先围绕列一组算式
如，．
然后用，代换
得等．
故答案为．
所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，然后用，代换即可列不同的方程组．
此题考查了二元一次方程组的解，是开放性试题，答案不唯一．要学生理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质结合一元一次不等式的解法得出答案．
此题主要考查了绝对值以及一元一次不等式的解法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：方程整理得：，
解得：，
由方程的解为正整数，即为正整数，得到整数，，，共个，
故答案为：．
把看作已知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数的值即可．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．
 

15.【答案】和

【解析】解：设这些长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
这些长方形的长和宽为和．
故答案为：和．
设这些长方形的长为，宽为，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

16.【答案】解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；

去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：．

【解析】根据解一元一次方程的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次方程和不等式的基本能力，严格遵循解方程和不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

17.【答案】解：，
得：，
，
代入得：，
．
则原方程组的解为．

【解析】先找出某个未知数系数的最小公倍数，然后用加减消元法求出方程组的解．
这类题目的解题关键是理解解方程组的基本思想是消元，掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
 

18.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以，原不等式组的解集为．
把解集在数轴上表示为：
．

【解析】利用不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：把代入方程，得，
解得：．
任取两个的值，不妨取，，得到两个方程并组成方程组．
解得．
即这个公共解是．

【解析】由二元一次方程组的解可求出答案；
任取两个的值，不妨取，，得到两个方程并组成方程组，解方程组即可．
本题考查了二次一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
 

20.【答案】这批冬季校服数量的  这批冬季校服数量的

【解析】解：如果单独用型设备，需要天做完；如果单独用型设备，需要天做完，
型设备的工作效率是这批冬季校服数量的，型设备的工作效率是这批冬季校服数量的．
故答案为：这批冬季校服数量的；这批冬季校服数量的．
设还需要天完成，
依题意得：，
解得：．
答：还需要天完成．
利用工作效率工作总量工作时间，可得出，两台设备的工作效率；
设还需要天完成，利用型设备完成的工作量型设备完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：设种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资，
依题意，得：，
解得：．
答：种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资．
设还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：至少还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种型号货车每辆满载能运吨生活物资，种型号货车每辆满载能运吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设还需联系辆种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送吨生活物资，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论．
 

22.【答案】解：设五经的单价为元，则四书的单价为元，依题意得
，
解得，
，
五经的单价为元，则四书的单价为元；
设购买四书套，五经套，依题意得
，
解得，
为正整数，
或，
当时，；当时，；
该校共有种购买方案：四书套，五经套；四书套，五经套．

【解析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和不等式的性质解答．
设五经的单价为元，则四书的单价为元，依据这两套图书单价和为元，列方程求解即可；
设购买四书套，五经套，依题意得不等式组，即可得到的值，进而得出该校共有种购买方案．
 

23.【答案】解：根据“异号两数相乘，积为负”可得
，或．
解，得无解．解，得，
不等式的解集为．

根据“同号两数相除，商为正”可得
，或．
解，得解，得，
不等式的解集为或．

【解析】化为两个一元一次不等式组求解即可；
根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可．
本题考查二元一次不等式的解法；能够将二元一次不等式转化为一元一次不等式组是解题的关键．