2021-2022学年河南省南阳市内乡县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省南阳市内乡县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列各式，，，，，中，分式的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为，“”用科学记数法可表示为

A.  B.  C.  D.

3. 关于的分式方程无解，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

5. 小风在米中长跑训练时，已跑路程米与所用时间秒之间的函数图象如图所示，下列说法错误的是

A. 小风的成绩是秒
B. 小风最后冲刺阶段的速度是米秒
C. 小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D. 小风的平均速度是米秒

6. 如图所示，在平行四边形中，已知，，平分交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 平面内点和点的对称轴是

A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线

8. 如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有

A. 随的增大而减小
B. ，
C. 当时，
D. 关于的方程的解为
 

9. 对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算例如：，则方程的解是

A.  B.  C.  D.

10. 已知等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的图象是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
12. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是______．
13. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是          ．
     

14. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接、，若的面积为，则的值是______．
    
    
     

15. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是▱的对角线，点在上，，，则的大小是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 计算：；
    化简：
    
    
    
    
    
    
     
17. 解分式方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过点，交于点，交于点．
    求证：；
    求证：≌．

19. 年是建党周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了元，乙种书籍共用了元，已知乙种书籍每本进价比甲种书籍贵元．
    甲、乙两种书籍每本进价各是多少元？
    这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量不计其他成本．

问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大？最大利润是多少？






 

20. 月日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：
    甲书店：所有书籍按标价折出售；
    乙书店：一次购书标价总额不超过元的按原价计费，超过元的部分打折．
    设小红同学当天购书标价总额为元，去甲书店付元，去乙书店购书应付元，其函数图象如图所示．
    求、与的关系式；
    两图象交于点，请求出点坐标，并说明点的实际意义；
    请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
    
    
    
    
    
    
     
21. 下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究．
    探究
    电话计费问题
    下表中有两种移动电话计费方式．

考虑下列问题：

设一个月内用移动电话主叫为是正整数根据上表，列表说明：当在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量和自变量的函数，请你帮小明写出：
表示问题中的______ ，表示问题中的______ ．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
在给出的正方形网格纸上画出中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定
 

22. 商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武大臣官服供应．已知一块矩形织锦的两边长分别是米与米，现在要把这个矩形织锦按照如图的方式扩大到面积为原来的倍，设原矩形织锦的一边加长米，另一边加长米，可得与之间的函数关系式，某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
    类比反比例函数可知，函数的自变量的取值范围是______，这个函数值的取值范围是______．
    “数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象图，画出函数的图象；
    根据函数的图象，写出两条函数的性质；
    根据函数的图象解答下列问题：
    方程有______个实数根，该方程的根是______；
    如果方程只有一个实数根，则的取值范围是______．

23. 阅读材料：
    【自学自悟】在平面直角坐标系中已知点、，则线段的中点坐标为
    【学以致用】在平面直角坐标系中已知点、，则线段的中点坐标为______．
    【解决问题】
    如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、一次函数的图象经过、两点．
    分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
    点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，，，是分式，
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
 

2.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要确定的值以及的值．
 

3.【答案】
 

【解析】解：原方程化为：，
，
原方程无解，
，
，
．
故选：．
先去分母，转化为整式方程，再求．
本题考查分式方程的解，理解分式方程无解的含义是求解本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
点在第三象限，
，
，
，两点在第一象限，
，
，，的大小关系为．
故选：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、小风的成绩是秒，本选项正确，不符合题意；
B、小风最后冲刺阶段的速度是米秒，本选项正确，不符合题意；
C、小风第一阶段的速度是米秒，即小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等，本选项正确，不符合题意；
D、米秒，故本选项错误，符合题意；
故选：．
根据函数图象上的数据，求出相应阶段的速度即可得到正确的结论．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

6.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
；
故选：．
由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化--对称轴，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标或利用对应点的坐标求得对称轴．
观察两坐标的特点，发现横坐标相同，所以对称轴为平行于轴的直线，即纵坐标的平均数．
【解答】
解：点和点对称，
平行于轴，
所以对称轴是直线．
故选C．  

8.【答案】
 

【解析】解：图象过第一、二、三象限，
，，随的增大而增大，故A，B错误；
又图象与轴交于，
的解为，故D正确；
当时，图象在轴上方，，故C错误；
故选：．
根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
所以，，
由三角形的三边关系得，，
解不等式得，，
解不等式的，，
所以，不等式组的解集是，
正确反映与之间函数关系的图象是选项图象．
故选：．
先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可．
本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．
 

11.【答案】
 

【解析】解：依题意得：，
解得，
故答案为：．
分式有意义时，分母，据此求得的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．
 

12.【答案】
 

【解析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，
依题意得：．
故答案为：．
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，利用数量总价单价，结合第二批购买的套数比第一批少套，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
【解答】

解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】解：连结，如图，
轴，
，
，设
而，
，
，
．
故答案为：．
连结，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质得到，由三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；


．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：方程，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
；

点是的中点，
，
在和中，
，
≌．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，然后利用平行线的性质证得结论即可；
利用即可证得≌．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解题的关键是了解平行四边形的对边平行且相等，难度不大．
 

19.【答案】解：设甲种商品每件进价是元，则乙种商品每件进价元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，当时，．
答：甲种商品每件进价是元，则乙种商品每件进价为元．
设新购甲种商品件，则乙种商品为件，
由题意可得：，解得，
，
，
，
随得增大而减小，且，
当时，，此时．
答：购进甲种商品件，乙种商品件，利润最大，最大利润为元．
 

【解析】设甲种商品每件进价是元，则乙种商品每件进价元，根据“网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了元，乙种书籍共用了元”列分式方程解答即可；
设新购甲种商品件，则乙种商品为件，设销售完这批商品获得的利润为元，根据题意列不等式求出的取值范围，并求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程以及函数关系式．
 

20.【答案】解：由题意可得，
；
乙书店：当时，与的函数关系式为，当时，，
由上可得，与的函数关系式为；
，
解得，
，
点的实际意义是当买的书标价为元时，甲乙书店所需费用相同，都是元；
由点的意义，结合图象可知，
当时，选择甲书店更省钱；
当，甲乙书店所需费用相同；
当，选择乙书店更省钱．
 

【解析】根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店与的函数关系式；
根据的结论解答即可；
结合图象解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

21.【答案】主叫时间，计费
由题意，可得表示问题中的主叫时间，表示问题中的计费；
方式一：；
方式二：；
大致图象如下：

由图可知：当主叫时间在分钟以内选方式一，分钟时两种方式相同，超过分钟选方式二．
 

【解析】由题意可知，表示问题中的主叫时间，表示问题中的计费；再根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；
画出图象，再根据图象解答即可．
此题考查一次函数的实际运用，理解题意，根据题意分段得出函数解析式是解决问题的关键．
 

22.【答案】        或
 

【解析】解：的自变量的取值范围是，即，
，
这个函数值的取值范围是，
故答案为：，；
如图：

根据函数的图象可知：
当时，随的增大而增大；
函数有最小值，最小值为；
当时，随的增大而增大；
，
，
去分母，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
方程有个实数根，该方程的根为，
故答案为：，；
，
如果方程只有个实数根，则或，
故答案为：或．
根据分式有意义的条件确定自变量的取值范围，根据，确定的值即可；
描点法作出函数图象；
根据函数的图象，可得结论；
解分式方程；
利用绝对值的意义及的取值范围分析求解．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，函数图象等知识，解题的关键是正确画出函数图象，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】
 

【解析】解：【学以致用】根据中点坐标公式得，线段的中点坐标为，
故答案为：；
【解决问题】，，
，
的中点的坐标为，
将点代入得，，
反比例函数解析式为，
点、在反比例函数上，
，，
一次函数的图象经过、两点，
，
解得，
一次函数解析式为；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，

设直线的函数解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
【学以致用】直接利用中点公式可得答案；
【解决问题】首先利用中点坐标公式得点的坐标为，将点代入得，反比例函数解析式为，从而得出点、的坐标，再代入一次函数解析式，解方程即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小，利用待定系数法求直线的解析式，从而得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了中点坐标公式，矩形的性质，函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式等知识，求出点、的坐标是解题的关键．