高考数学一轮复习考点规范练48直线与圆圆与圆的位置关系含解析新人教A版理

考点规范练48　直线与圆、圆与圆的位置关系

基础巩固

1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(　　)

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+=0或2x+y-=0

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+=0或2x-y-=0

答案:A

解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m≠1).

因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为,

所以,即|m|=5.

故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.

2.已知圆C1:(x+6)2+(y-5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)

A.7 B.8 C.10 D.13

答案:A

解析:圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即-3=7.故选A.

3.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦长为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

解析:∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,

∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),

∴3+2a-11=0,解得a=4,

即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,

圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=,

∴圆C中以为中点的弦长为2=2=4.

故选D.

4.(2020全国Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

答案:D

解析:由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.

因为S四边形PAMB=|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2,所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=x+,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).|PM|=,在Rt△APM中,|AP|==1.

又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.

两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.

5.一束光线从点(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是　　　　　.

答案:4

解析:作出已知圆C关于x轴对称的圆C',如图所示.

则圆C'的方程为(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C'的圆心坐标为(2,-3),半径为1,

则最短距离d=|AC'|-r=-1=5-1=4.

6.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则=　　　　　. 

答案:

解析:如图,∵OA=1,AP=,

又PA=PB,∴PB=

∴∠APO=30°.

∴∠APB=60°.

=||||cos60°=

7.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为　　　　　. 

答案:4π

解析:因为圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),r2=a2+2,圆心到直线的距离d=

由已知()2+=a2+2,解得a2=2,

故圆C的面积为π(2+a2)=4π.

8.若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=　　　　　. 

答案:2

解析:如图,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离

|OC|==1,

故圆的半径r==2.

9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;

(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=,求直线l的倾斜角.

答案:(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);

故直线l恒过定点P(1,1).

因为=1<,

所以点P(1,1)在已知圆C内,从而直线l与圆C总有两个不同的交点.

(2)解圆的半径r=,圆心C到直线l的距离为d=

由点到直线的距离公式得,

解得m=±,故直线的斜率为±,从而直线l的倾斜角为

10.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

解:(1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).

(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).

由得(1+m2)x2-6x+5=0,

则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,

故x0=,且<x0≤3.

因为m=,所以x0=,

整理得

所以M的轨迹C的方程为+y2=

(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.

由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q,

直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),

①kPE==-,kQE=,

当-k时,直线L与曲线C只有一个交点.

②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,

则,解得k=±

综上所述,当-k或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.

能力提升

11.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)

A.内切 B.相离 C.外切 D.相交

答案:D

解析:圆M的标准方程为x2+(y-a)2=a2(a>0),

则圆心为(0,a),半径R=a,圆心到直线x+y=0的距离d=,

∵圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,

∴2=2=2=2,

即,即a2=4,a=2,

则圆心为M(0,2),半径R=2,

圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为N(1,1),半径r=1,

则|MN|=,

∵R+r=3,R-r=1,

∴R-r<MN<R+r,即两个圆相交.

12.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|||,则k的取值范围是(　　)

A.(,+∞) B.[,+∞) C.[,2) D.[,2)

答案:C

解析:设AB中点为D,则OD⊥AB,

∵|||,∴2|||,

∴||≤2|.

∵||2+|2=4,∴||2≥1.

∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4.

∴4>||2≥1,∴4>1.

∵k>0,k<2,故选C.

13.已知点P(x,y)是直线y=-kx-4(k>0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为　　　　　. 

答案:2

解析:根据题意画出图形,如图所示.

由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2S△PBC,四边形PACB的面积的最小值为2,∴S△PBC的最小值S=1=rd(d是切线长),

∴dmin=2,此时|CP|min=

∵圆心到直线的距离就是PC的最小值,

,又k>0,∴k=2.

14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.

解:因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为±1或切线过原点.

①当k=±1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.

由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.

故所求切线方程为

x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.

②当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.

由,得k=2±

所以此时切线方程为y=(2±)x.

综上①②可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-)x-y=0或(2+)x-y=0.

15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;

(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.

解:因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.

(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).

因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,

于是圆N的半径为y0,

从而7-y0=5+y0,解得y0=1.

因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.

设直线l的方程为y=2x+m,

即2x-y+m=0,

则圆心M到直线l的距离d=

因为BC=OA==2,而MC2=d2+,

所以25=+5,解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).

因为A(2,4),T(t,0),,

所以①

因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②

将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.

于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,

从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-55+5,解得2-2t≤2+2

因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].

高考预测

16.若直线=1通过点M(cos α,sin α),则(　　)

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C1 D1

答案:D

解析:因为点M(cosα,sinα)在圆x2+y2=1上,

又直线=1过点M,

所以直线与圆相交或相切.

所以1,

所以1