高考数学一轮复习考点规范练48直线与圆锥曲线含解析新人教A版文

考点规范练48　直线与圆锥曲线

基础巩固

1.已知双曲线=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)

A. B.5 C. D.

答案:D

解析:不妨设=1的渐近线y=x与y=x2+1只有一个交点,

由得ax2-bx+a=0,

所以Δ=b2-4a2=0,

即c2-a2-4a2=0,=5,e=.故选D.

2.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±2x

C.y=±2x D.y=±2x

答案:B

解析:由题意得|AB|=,

∵S△AOB=,

∴×1=,∴.①

∵a2+b2=1,②

解①②得a=,b=,

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x.故选B.

3.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为时,直线l在y轴上的截距的取值范围是(　　)

A. B.

C.(2,+∞) D.(-∞,-1)

答案:A

解析:设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,

联立方程得2x2+2x-m=0,

从而有x1+x2=-1,Δ=4+8m>0,m>-.

又AB的中点在直线l上,即m+1=-+b,得m=b-,将m=b-代入4+8m>0,得b>,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是.

4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)

A. B.2 C.2 D.3

答案:C

解析:由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.

因为M在x轴的上方,所以M(3,2).

因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).

因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).

所以M到直线NF的距离为=2.

5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)

A.2 B.

C. D.

答案:C

解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,

由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.

则x1+x2=-t,x1x2=.

所以|AB|=|x1-x2|

=

=,

当t=0时,|AB|max=.

6.已知双曲线=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为              (　　)

A. B. C.2 D.3

答案:A

解析:由双曲线的定义知2a=4,得a=2,

所以抛物线的方程为y=2x2.

因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,

所以y1=2,y2=2,

两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),

不妨设x1<x2,又A,B关于直线y=x+m对称,

所以=-1,故x1+x2=-,

而x1x2=-,解得x1=-1,x2=.

设A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为M(x0,y0),

则x0==-,

y0=.

因为中点M在直线y=x+m上,

所以=-+m,解得m=.

7.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为.

由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c≤即可,故c的最大值为.

8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.

解:(1)由题意可得,c=2,b=2,

由a2=b2+c2得a2=22+22=8,

所以a=2.

故椭圆C的方程为=1.

(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),

由消y,得3x2+4mx+2m2-8=0,

则Δ=96-8m2>0,所以-2<m<2.

x0==-,y0=x0+m=,

因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,

所以=1,解得m=±.

9.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

(1)求;

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

解:(1)由已知得M(0,t),P.

又N为M关于点P的对称点,

故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.

因此H.

所以N为OH的中点,即=2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.

理由如下:

直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,

所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.

10.设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.

解:(1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为△AFF1的中位线.

∴OM=AF1,MF=AF,

∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=,

∴椭圆C的方程为=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

联立消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.

∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=,

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=,

∵P(0,1),=-4,

∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,

∴+5=0,

整理得3m2-m-10=0,

解得m=2或m=-(舍去).

∴直线l过定点(0,2).

能力提升

11.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)

A.=1 B.=1 

C.=1 D.=1

答案:A

解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=x.

如图,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作FE⊥CD于点E.

由题易知EF为梯形ABCD的中位线,

所以|EF|=(d1+d2)=3.

又因为点F(c,0)到直线y=x的距离为=b,

所以b=3,b2=9.

因为e==2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以双曲线方程为=1.故选A.

12.设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　　　. 

答案:(2,8)

解析:由题意,知a=1,b=,c=2,则e==2.

设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设P在右支上,由△F1PF2为锐角三角形,可知1<x<2,则|PF1|==2x+1,|PF2|==2x-1.

由△F1PF2为锐角三角形,知∠F1PF2为锐角,

则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2,

即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>,

所以<x<2,所以|PF1|+|PF2|=4x∈(2,8).

13.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标缩为2a,则C的离心率为　　　　　　　　. 

答案:2+

解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=(x-c),与C交于P(x0,y0).

∵x0=2a,∴y0=(2a-c).

又P(x0,y0)在双曲线C上,∴=1.

∴整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,

故1-4e+e2=0.∴e1=2-(舍去),e2=2+.

即双曲线C的离心率为2+.

14.(2020浙江,21)如图,已知椭圆C1:+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p>0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).

(1)若p=,求抛物线C2的焦点坐标;

(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.

解:(1)由p=,得C2的焦点坐标是.

(2)由题意可设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0),点A(x0,y0).

将直线l的方程代入椭圆C1:+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,

所以点M的纵坐标yM=-.

将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM=-2pt,

解得y0=,因此x0=.

由=1,得=4+2≥160,

所以当m=,t=时,p取到最大值.

高考预测

15.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1⊥x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.

解:(1)由题意可知所以b=1.

所以椭圆E的方程为+y2=1.

(2)是定值,定值为-.

设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2),

设直线AB的方程为x=my-2m-2,

联立⇒(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=,y1y2=,

因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t).

又Q在直线AA2上,

所以⇒t=-,

所以k1k2=

=-

=-

=-

=-.