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广西专用高考数学一轮复习第十二章概率2古典概型与几何概型课件新人教A版理
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这是一份广西专用高考数学一轮复习第十二章概率2古典概型与几何概型课件新人教A版理，共44页。PPT课件主要包含了-2-，知识梳理，双基自测，基本事件，-3-，只有有限个，-4-，-5-，-6-，-7-等内容，欢迎下载使用。
1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.
2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件 . (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性 .
3.古典概型的概率公式
4.常用结论(1)古典概型中的基本事件都是互斥的.(2)任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.
5.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)= .
6.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为 ( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
2.(2020四川德阳模拟)在正方形ABCD中,弧AD是以AD为直径的半圆,若在正方形ABCD中任取一点,则该点取自阴影部分内的概率为( )
3.(2020云南红河州三模)整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质:220的所有真因数之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”,“亲和数”的发现引起了古今中外无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”,把这六个数分别写在完全相同的六张卡片上,从中任意抽取两张(不放回),则抽到的两个数恰好是一对“亲和数”的概率为( )
4.在区间[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .
5.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的概率为 .
例1(1)(2020河北衡水模拟)在2020年初抗击疫情期间,某医院派出了3名医生和包括甲、乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作.现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组,则甲、乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为( )
(2)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D 4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中信a没有放入A中的概率是 . 思考如何求古典概型的概率?
解析:(1)从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组,
解题心得1.求古典概型的思路:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式.2.基本事件个数的确定方法:(1)列举法:此法适用于基本事件个数较少的古典概型,列举时要按某一顺序做到不重复、不遗漏.(2)画树状图法:此法适用于有顺序的问题及较复杂问题中对基本事件数的探求.(3)排列、组合法:此法适用于基本事件数对应某排列数或组合数时的计数.
对点训练1(1)(2020湖南衡阳三模)某省高考从2021年开始实行3+1+2模式,“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史两科中选择一科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.今年某校高一的学生小霞和小芸正准备选科,假如她们首选科目都是历史,再选科目她们选择每个科目的可能性均等,且她俩的选择互不影响,则她们的选科至少有一科不相同的概率为( )
(2)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为 .
解析:(1)每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:(化学,生物),(化学,思想政治),(化学,地理),(生物,思想政治),(生物,地理),(思想政治,地理)共6种选法.因为两人选科互不影响,所以两人选科的种类共有N=6×6=36种,其中两人的选科完全相同的选法有6种,
考向一 古典概型与平面向量的交汇思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?
考向二 古典概型与解析几何的交汇例3将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为 . 思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?
考向三 古典概型与函数的交汇
(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们的图象在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?
(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为 .
解题心得1.由向量的数量积公式,得出两个向量夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的基本事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.3.开口向上的二次函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减可转化成f(x)的图象的对称轴大于等于-1,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的基本事件个数.
对点训练2(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是( )
(2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x∈{-1,1,3},y∈{1,3,9},则a∥b的概率为 ;a⊥b的概率为 .
(3)设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b且ab≠0,则方程 表示焦点在x轴上的双曲线的概率为 . (4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a∈{-1,1,2,3,4,5}, b∈{-2,-1,1,2,3,4},则f(x)在区间[1,+∞)内单调递增的概率为 .
解析:(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),基本事件总数N=6×6=36,点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,
例5(1)十九世纪末,法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”,即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长大于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少?”贝特朗用“随机半径”“随机端点”“随机中点”三种方法求解,所得结果均不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身,这极大地促进了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下:设A为圆O上一个定点,在圆周上随机取一点B,连接AB,求所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率.记该概率为p,则p=( )
解析:(1)设“弦AB的长超过圆内接等边三角形边长”为事件M,以点A为一顶点,在圆中作一圆内接等边三角形ACD,如图所示,则要满足题意,点B只能落在劣弧CD上,又圆内接等边三角形ACD恰好将圆周3等分,
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为 . 思考如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求?
解析:(2)因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域h为∠CAB,
解题心得当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算几何概型的概率;当考察对象涉及射线的转动时,一般用角度比计算几何概型的概率.
例6(1)在棱长为2的正方体内部随机取一点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )
(2)从区间(0,1)中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )
思考求与面积、体积有关的几何概型的基本思路是什么?
解题心得1.求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,然后用公式
2.当考察对象在某块区域时,用面积比计算;当考察对象在某个空间时,用体积比计算.在解决面积型几何概型时,要充分借助线性规划的可行域、定积分等相关知识进行求解.
对点训练4(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )(2)若从区间(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为( )
例7(1)从区间[-2,2]上随机选取一个实数a,则函数f(x)=4x-a·2x+1+1有零点的概率是( )
解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.
对点训练5(1)在区间[-π,π]上随机取两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )
(2)任取k∈[-1,1],直线l:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,则|MN|≥2 的概率为( )
解析:如图,设A(1,1),B(-1,-1),则直线AB过原点,且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1,由图知,
解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形面积之比等于m,n之比,从而用m,n表示出π的近似值.
1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.
2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件 . (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性 .
3.古典概型的概率公式
4.常用结论(1)古典概型中的基本事件都是互斥的.(2)任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.
5.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. (2)特点①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)= .
6.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( )(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为 ( )(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
2.(2020四川德阳模拟)在正方形ABCD中,弧AD是以AD为直径的半圆,若在正方形ABCD中任取一点,则该点取自阴影部分内的概率为( )
3.(2020云南红河州三模)整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质:220的所有真因数之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”,“亲和数”的发现引起了古今中外无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1 184和1 210,2 924和2 620是3对“亲和数”,把这六个数分别写在完全相同的六张卡片上,从中任意抽取两张(不放回),则抽到的两个数恰好是一对“亲和数”的概率为( )
4.在区间[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .
5.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的概率为 .
例1(1)(2020河北衡水模拟)在2020年初抗击疫情期间,某医院派出了3名医生和包括甲、乙、丙在内的6名护士前往武汉参加救治工作.现从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组,则甲、乙、丙这3名护士至少选中2人的概率为( )
(2)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D 4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中信a没有放入A中的概率是 . 思考如何求古典概型的概率?
解析:(1)从这9人中任意抽取1名医生、3名护士组成一个应急小组,
解题心得1.求古典概型的思路:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式.2.基本事件个数的确定方法:(1)列举法:此法适用于基本事件个数较少的古典概型,列举时要按某一顺序做到不重复、不遗漏.(2)画树状图法:此法适用于有顺序的问题及较复杂问题中对基本事件数的探求.(3)排列、组合法:此法适用于基本事件数对应某排列数或组合数时的计数.
对点训练1(1)(2020湖南衡阳三模)某省高考从2021年开始实行3+1+2模式,“3”为全国统考科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理、历史两科中选择一科;“2”为再选科目,考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.今年某校高一的学生小霞和小芸正准备选科,假如她们首选科目都是历史,再选科目她们选择每个科目的可能性均等,且她俩的选择互不影响,则她们的选科至少有一科不相同的概率为( )
(2)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为 .
解析:(1)每人从化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科的选法共有:(化学,生物),(化学,思想政治),(化学,地理),(生物,思想政治),(生物,地理),(思想政治,地理)共6种选法.因为两人选科互不影响,所以两人选科的种类共有N=6×6=36种,其中两人的选科完全相同的选法有6种,
考向一 古典概型与平面向量的交汇思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?
考向二 古典概型与解析几何的交汇例3将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为 . 思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?
考向三 古典概型与函数的交汇
(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们的图象在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?
(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为 .
解题心得1.由向量的数量积公式,得出两个向量夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的基本事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.3.开口向上的二次函数f(x)在区间(-∞,-1]上单调递减可转化成f(x)的图象的对称轴大于等于-1,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的基本事件个数.
对点训练2(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是( )
(2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x∈{-1,1,3},y∈{1,3,9},则a∥b的概率为 ;a⊥b的概率为 .
(3)设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b且ab≠0,则方程 表示焦点在x轴上的双曲线的概率为 . (4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a∈{-1,1,2,3,4,5}, b∈{-2,-1,1,2,3,4},则f(x)在区间[1,+∞)内单调递增的概率为 .
解析:(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),基本事件总数N=6×6=36,点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,
例5(1)十九世纪末,法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”,即“在一个圆内任意选一条弦,这条弦的弦长大于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少?”贝特朗用“随机半径”“随机端点”“随机中点”三种方法求解,所得结果均不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身,这极大地促进了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下:设A为圆O上一个定点,在圆周上随机取一点B,连接AB,求所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率.记该概率为p,则p=( )
解析:(1)设“弦AB的长超过圆内接等边三角形边长”为事件M,以点A为一顶点,在圆中作一圆内接等边三角形ACD,如图所示,则要满足题意,点B只能落在劣弧CD上,又圆内接等边三角形ACD恰好将圆周3等分,
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为 . 思考如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求?
解析:(2)因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域h为∠CAB,
解题心得当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算几何概型的概率;当考察对象涉及射线的转动时,一般用角度比计算几何概型的概率.
例6(1)在棱长为2的正方体内部随机取一点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( )
(2)从区间(0,1)中任取两个数,作为直角三角形两直角边的长,则所取得的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )
思考求与面积、体积有关的几何概型的基本思路是什么?
解题心得1.求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,然后用公式
2.当考察对象在某块区域时,用面积比计算;当考察对象在某个空间时,用体积比计算.在解决面积型几何概型时,要充分借助线性规划的可行域、定积分等相关知识进行求解.
对点训练4(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为( )(2)若从区间(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为( )
例7(1)从区间[-2,2]上随机选取一个实数a,则函数f(x)=4x-a·2x+1+1有零点的概率是( )
解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.
对点训练5(1)在区间[-π,π]上随机取两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )
(2)任取k∈[-1,1],直线l:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,则|MN|≥2 的概率为( )
解析:如图,设A(1,1),B(-1,-1),则直线AB过原点,且阴影面积等于直线AB与圆弧所围成的弓形面积S1,由图知,
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