广西专用高考数学一轮复习单元质检四三角函数解三角形A含解析新人教A版文.

单元质检四　三角函数、解三角形(A)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.下列函数中周期为π且为偶函数的是(　　)

A.y=sin B.y=cos

C.y=sin D.y=cos

答案:A

解析:对于选项A,y=-cos2x,周期为π且是偶函数,所以选项A正确;

对于选项B,y=sin2x,周期为π且是奇函数,所以选项B错误;

对于选项C,y=cosx,周期为2π,所以选项C错误;

对于选项D,y=-sinx,周期为2π,所以选项D错误.

故答案为A.

2.在△ABC中,cos,BC=1,AC=5,则AB=(　　)

A.4 B. C. D.2

答案:A

解析:∵cosC=2cos2-1,且cos,∴cosC=-,

又BC=1,AC=5,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×=32,∴AB=4.

3.(2020全国Ⅲ,文5)已知sin θ+sin=1,则sin=(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:根据两角和的正弦公式展开得sinθ+sin=sinθ+sinθ+cosθ=sinθ+cosθ=1,

即sin=1,解得sin=.故选B.

4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:由题意,得=2sin(2×0+φ),即sinφ=.

因为|φ|<,所以φ=.

令2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,则函数f(x)图象的一个对称中心为.故选B.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),则B=(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

答案:C

解析:由已知及正弦定理,得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,

即sin(A+B)=sin2C,即sinC=sin2C,

又sinC≠0,所以sinC=1,即C=90°,

从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),

解得a=b,所以B=45°.故选C.

6.(2020广西钦州一模)若α∈(0,2π),则满足4sin α-=4cos α-的所有α的和为(　　)

A. B.2π C. D.

答案:D

解析:由4sinα-=4cosα-,

所以4(sinα-cosα)=,

即sinα-cosα=0或4sinαcosα=1,

即tanα=1或sin2α=.

因为α∈(0,2π),所以α=.

所以满足条件的所有α的和为

.故选D.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.已知sin,且x∈,则cos 2x的值为　　　　　. 

答案:-

解析:sin2x=cos=1-2sin2=1-2×=-,

∵x∈,∴2x∈.

∴cos2x=-=-.

8.若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=　　　　　;的取值范围是　　　　　. 

答案:　(2,+∞)

解析:∵S△ABC=(a2+c2-b2)=acsinB,

∴,即cosB=,

∴,即tanB=,∴∠B=,

则=,

∵∠C为钝角,∠B=,∴0<∠A<,

∴tanA∈∈(,+∞),故∈(2,+∞).

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2b=3(c-acosB).

(1)求cosA;

(2)过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D,若CD=3,2AD=3AC,求△ACD的面积.

解：(1)由已知及正弦定理得,2sinB=3(sinC-sinAcosB)

=3[sin(A+B)-sinAcosB]

=3(sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB)

=3cosAsinB.

∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosA=.

(2)如图,∵cos∠BAC=,

∴sin∠BAC=.

又∠BAC+∠CAD=,

∴cos∠CAD=sin∠BAC=,sin∠CAD=cos∠BAC=.

设AD=3x,x>0,则AC=2x.在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD,即9=4x2+9x2-2×2x·3x·.

解得x=1.∴AD=3,AC=2,

∴S△ACD=AC·ADsin∠CAD=×2×3×=2.

10.(15分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.

(1)求sin(α+π)的值;

(2)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.

解：(1)由角α的终边过点P,

得sinα=-,所以sin(α+π)=-sinα=.

(2)由角α的终边过点P,得cosα=-,

由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.

由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,

所以cosβ=-或cosβ=.

11.(15分)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且经过点.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若角α满足f(α)+=1,α∈(0,π),求α的值.

解：(1)由条件知周期T=2π,即=2π,

又ω>0,∴ω=1,即f(x)=Asin.

∵f(x)的图象经过点,

∴Asin.∴A=1,∴f(x)=sin.

(2)由f(α)+=1,

得sinsin=1,

即sincos=1,

可得2sin=1,

即sinα=.

又α∈(0,π),解得α=.