广西专用高考数学一轮复习单元质检二函数含解析

单元质检二　函数

(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.设集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|lox<1,x∈R},则M∩N等于(　　)

A. B.(0,1) C. D.(-∞,1)

答案:A

2.已知函数f(x)=若f(a)=,则实数a的值为(　　)

A.-1 B. C.-1或 D.1或-

答案:C

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是(　　)

A.y=- B.y=-x2 C.y=e-x+ex D.y=|x+1|

答案:C

4.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.2

答案:D

5.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f,f(1),f的大小关系为(　　)

A.f<f(1)<f

B.f(1)<f<f

C.f<f<f(1)

D.f<f(1)<f

答案:C

解析:∵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),

∴f(x+2)=f(x).

∴f=f=f,f=f=f=f.

∵f(x)在区间[0,1]上单调递增,

∴f<f<f(1).

∴f<f<f(1),故选C.

6.已知函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,则函数f(x)的值域为(　　)

A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-3,3) D.(-4,4)

答案:A

解析:由f(x)是奇函数,可知f(-x)=-f(x),所以a-=-a+,所以2a=,所以a==1,所以f(x)=1-.因为ex+1>1,所以0<<1,所以-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).

7.若方程lo(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为(　　)

A.2 B.1 C. D.

答案:B

解析:若方程lo(a-2x)=2+x有解,则=a-2x有解,

即+2x=a有解.

∵+2x≥1,当且仅当=2x,

即x=-1时,等号成立,∴a的最小值为1,故选B.

8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(31)=(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.2

答案:C

解析:∵函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),

∴函数f(x)是奇函数.

∴f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),

即f(x+2)=-f(x).

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的函数.

∵当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),

∴f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1,

故选C.

9.函数f(x)=的图象大致为(　　)

答案:A

解析:由题意可知,f(x)的定义域为R,关于原点对称.

又f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,故排除D.当x>0时,f(x)>0,故排除B.因为f(4)==2,f(8)==2,所以f(4)>f(8),故排除C.故选A.

10.已知g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是(　　)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)

C.(1,2) D.(-2,1)

答案:D

解析:由题意,当x>0时,

g(x)=-g(-x)=ln(1+x),

故函数f(x)=

因此当x≤0时,f(x)=x3为单调递增函数,值域为(-∞,0].

当x>0时,f(x)=ln(1+x)为单调递增函数,值域为(0,+∞).

所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.

因为f(2-x2)>f(x),所以2-x2>x,

解得-2<x<1.故选D.

11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　)km处.

A.5 B.4 C.3 D.2

答案:A

解析:设仓库到车站的距离为xkm,由题意,得y1=,y2=k2x,其中x>0.由当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,故y1+y2=x≥2=8,当且仅当x,即x=5时取等号,故选A.

12.设min{m,n}表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min(x>0).若∀x1∈[-5,a](a≥-4),∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为(　　)

A.-4 B.-3 C.-2 D.0

答案:C

解析:由题意得g(x)=则g(x)max=g(1)=2.

在同一平面直角坐标系作出函数f(x)和g(x)的图象,如图所示.

由f(x)=2得x=-6或x=-2.

∵∀x1∈[-5,a],∃x2∈(0,+∞),

使得f(x1)=g(x2)成立,∴a≤-2.

∴a的最大值为-2.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知p:函数f(x)=|x+a|在区间(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)内是增函数,则?p是q的　　　　　　　.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 

答案:充要条件

解析:由p成立,得a≤1;由q成立,得a>1.故?p成立时a>1,即?p是q的充要条件.

14.函数f(x)=log3(8x+1)的值域为　　　　　. 

答案:(0,+∞)

解析:由指数函数的性质可知8x>0,所以8x+1>1.

据此可知f(x)=log3(8x+1)>0,所以函数的值域为(0,+∞).

15.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=　　　　　. 

答案:

解析:∵f(x)=的图象关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,得a=1.

∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,

∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,

∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,

∴lg=lg(10x+1)+2bx,

∴-x=2bx对一切x恒成立,

∴b=-,∴a+b=.

16.已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t的取值范围是　　　　　. 

答案:[,+∞)

解析:(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,

∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).

当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不可能,故t≥0.

∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,

∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),

即(x+t)2≥2x2,

∴x+t≥x,

∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.

∴t≥(-1)(t+2),解得t≥.

(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,

∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),

∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在区间[t,t+2]上恒成立,

∴x+t≥x在区间[t,t+2]上恒成立,

即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,

∴t≥(-1)(t+2),

解得t≥,故答案为[,+∞).

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知函数f(x)=m+logax(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1,-1).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.

解:(1)由

得解得

故函数f(x)的解析式为f(x)=-1+log2x.

(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x>1).

因为=(x-1)++2≥2+2=4,

当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以log2-1≥log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.

18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.

(1)求a,b的值;

(2)若当x∈[-1,1]时不等式f(2x)-k·2x≥0有解,求实数k的取值范围.

解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.

因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得

(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,可化为1+-2·≥k.

令t=,则k≤t2-2t+1.

因为x∈[-1,1],所以t∈.

记h(t)=t2-2t+1,t∈,

因为t∈,所以h(t)max=1.

所以k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].

19.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两个城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=4-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).

(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司的总收益;

(2)试问:如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大?

解:(1)若投资甲城市128万元,则投资乙城市112万元,

所以f(128)=4×-6+×112+2=88.

故此时公司的总收益为88万元.

(2)由题意知,若投资甲城市x万元,则投资乙城市(240-x)万元,

依题意得

解得80≤x≤160,

当80≤x<120,即120<240-x≤160时,f(x)=4-6+32=4+26<26+16;

当120≤x≤160,即80≤240-x≤120时,f(x)=4-6+(240-x)+2=-x+4+56.

令t=,则t∈[2,4],

所以y=-t2+4t+56=-(t-8)2+88,

当t=8,即x=128时,y的最大值为88.

因为88-(26+16)=2×(31-8)>0,故f(x)的最大值为88.

故当投资甲城市128万元,投资乙城市112万元时,才能使公司总收益最大,且最大总收益为88万元.

20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.

(1)求y=f(x)的解析式;

(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.

解:(1)设f(x)=a(a>0).

因为f(1)=0,所以(a-1)=0.

又因为t≠0,所以a=1,

所以f(x)=(t≠0).

(2)因为f(x)=(t≠0),所以当<-1,即t<-4时,f(x)在区间上的最小值f(x)min=f(-1)==-5,所以t=-;

当-1≤,即-4≤t≤-1时,f(x)在区间上的最小值f(x)min=f=-=-5,

所以t=±2(舍去);

当,即t>-1时,f(x)在区间上的最小值f(x)min=f=-5,

所以t=-(舍去).

综上所述,可得t=-.

21.(12分)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).

(1)当a=时,求函数f(x)的定义域;

(2)当a>1时,求关于x的不等式f(x)<f(1)的解集;

(3)当a=2时,若不等式f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,求实数m的取值范围.

解:(1)当a=时,f(x)=lo,

故-1>0,解得x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞,0).

(2)由题意知,f(x)=loga(ax-1)(a>1),定义域为(0,+∞),易知f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,由f(x)<f(1),知∴x∈(0,1).

(3)设g(x)=f(x)-log2(1+2x)=log2,x∈[1,3],

设t==1-,x∈[1,3],

故2x+1∈[3,9],t=1-,

故g(x)min=g(1)=-log23.

又∵f(x)-log2(1+2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立,

故m<g(x)min=-log23.

∴m的取值范围为(-∞,-log23).

22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;

(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.

解:(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.

取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),

即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.

(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.

∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,

∴f(x2)<-f(-x1).

又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)在区间(-∞,+∞)内是减函数.

∴对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).

∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,

∴f(-3)=-f(3)=6,

∴f(x)在区间[-3,3]上的最大值为6.

(3)∵f(x)为奇函数,

∴整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).

∴f(ax2-2x)<f(ax-2).

∵f(x)在区间(-∞,+∞)内是减函数,

∴ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.

∴当a=0时,x∈(-∞,1);

当a=2时,x∈{x∈R|x≠1};

当a<0时,x∈;

当0<a<2时,x∈;

当a>2时,x∈.

综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-∞,1);

当a=2时,原不等式的解集为{x∈R|x≠1};

当a<0时,原不等式的解集为;

当0<a<2时,原不等式的解集为;

当a>2时,原不等式的解集为.