广西专用高考数学一轮复习单元质检三导数及其应用含解析

单元质检三　导数及其应用

(时间:100分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　)

A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s

答案:C

2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于(　　)

A.2 B.-2 C. D.-

答案:B

3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是(　　)

A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1

答案:B

4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-]∪[,+∞) B.[-]

C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-)

答案:B

5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:A

6.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

答案:D

解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.

由f'(x)=3x2+1,得曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.

7.已知当x∈时,a≤+ln x恒成立,则a的最大值为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:A

解析:令f(x)=+lnx,则f'(x)=.

当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.

∴f(x)在区间内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,

∴在区间上,f(x)min=f(1)=0,

∴a≤0,即a的最大值为0.

8.已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)<f(x2),则(　　)

A.x1-x2>0 B.x1+x2>0 C.>0 D.<0

答案:D

解析:由f(x)=xsinx,得f'(x)=sinx+xcosx,当x∈时,f'(x)>0,故f(x)在区间内单调递增.又f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),∴f(x)为偶函数,∴当f(x1)<f(x2)时,f(|x1|)<f(|x2|),

∴|x1|<|x2|,∴<0.故选D.

9.已知函数f(x)=ln x+tan α的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:∵f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=.

令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=,

即tanα=-lnx.

设g(x)=-lnx,显然g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,而当x→0时,g(x)→+∞,

故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1.

又0<α<,∴α∈.

10.已知函数f(x)=--x2的最大值为f(a),则a等于(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:∵f'(x)=--2x,

∴f'(1)=-f'(1)-2,解得f'(1)=-,

∴f(x)=-x2,f'(x)=.

令f'(x)>0,解得0<x<,令f'(x)<0,解得x>,

故f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,故f(x)的最大值是f,于是a=.

11.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,

则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.

由x2-ax+1=0,得a=x+.

因为x∈,y=x+的值域是,

当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.

所以实数a的取值范围是,故选C.

12.(2020广西贵港四模)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0.已知a=f,b=f(31.5),c=f(21.5),则(　　)

A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

答案:A

解析:∵当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,

∴'=>0,

∴在区间(0,+∞)内单调递增,

又f(x)是奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=0,

∴当x∈(0,1)时,f(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,

∴a=f=f(-2)=-f(2)<0.

∵31.5>21.5>1,∴f(31.5)>0,f(21.5)>0,

且,∴>1,

∴b=f(31.5)>f(21.5)=c>0.∴a<c<b.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于　　　　　. 

答案:

解析:由x-x2=0,得x=0或x=1.

因此,所围成的封闭图形的面积为(x-x2)dx=.

14.(2020广西钦州一模)已知函数f(x)=x(x5-16x2+x-4),且f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立,则曲线y=在点处的切线的斜率为　　　　. 

答案:17

解析:∵f(x)=x(x5-16x2+x-4)=x6-16x3+x2-4x=+(x-2)2-68,

∴当x=2时,函数f(x)取得最小值,∴x0=2.

∵'=5x4-32x+1,

∴曲线y=在点处的切线的斜率k=5×24-32×2+1=17.

15.已知函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:(2,+∞)

解析:由题意,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,可转化为f(x)min<g(x)max成立,

由函数f(x)=e|x-1|,根据指数函数的图象与性质可知,

当x=1时,函数f(x)=e|x-1|取得最小值,此时最小值为f(1)=1.

又由g(x)=lnx-x+a,则g'(x)=-1=(x>0),

当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;

当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,

所以当x=1时,函数有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,

令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).

16.已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个结论:

①0<x0<;②x0>;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.

其中正确的结论是　　　　　.(填出所有正确结论的序号) 

答案:①③

解析:由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g'(x)=+1,当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g>0,又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g>g(x0),所以0<x0<,即结论①正确,则结论②错误;

因为lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0++x0=x0(lnx0+x0+1)-=-<0,故结论③正确,而结论④错误,所以填①③.

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知函数f(x)=(x-)e-x.

(1)求f(x)的导函数;

(2)求f(x)在区间内的取值范围.

解:(1)因为(x-)'=1-,(e-x)'=-e-x,

所以f'(x)=e-x-(x-)e-x=.

(2)由f'(x)==0,

解得x=1或x=.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:

又f(x)=-1)2e-x≥0,

所以f(x)在区间内的取值范围是.

18.(12分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;

(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.

解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.

当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.

故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.

(2)f'(x)=ex-1-2ax.

由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.

当a≤时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内是增函数,因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0.符合题意.

当a>时,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).

所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),

故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0.不符合题意.

综上可得,a的取值范围为-∞,.

19.(12分)已知f(x)=x2-a2ln x,a>0.

(1)求函数f(x)的最小值;

(2)当x>2a时,证明:a.

答案:(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-.

当x∈(0,a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以当x=a时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)=a2-a2lna.

(2)证明由(1)知,f(x)在区间(2a,+∞)内单调递增,

则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0.

设g(x)=f(x)-f(2a)-a(x-2a),

则当x>2a时,g'(x)=f'(x)-a=x-a=>0,所以g(x)在区间(2a,+∞)内单调递增.

所以当x>2a时,g(x)>g(2a)=0,即f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0,故a.

20.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x,a∈R.

(1)当a≥0时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数h(x)=f(x)+3ax2+3x的极值大于零,求实数a的取值范围.

解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2ax-2=,

当a=0时,令f'(x)==0,得x=.

所以当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;

当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

当a>0时,令f'(x)=0,则-2ax2-2x+1=0.因为Δ=(-2)2-4×(-2a)=4+8a>0,x>0,所以x=.

故函数f(x)在区间0,内单调递增,

在区间内单调递减.

综上,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;

当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为0,,单调递减区间为.

(2)由题意可知,函数h(x)=lnx+2ax2+x,

所以h'(x)=+4ax+1=(x>0).

①当a≥0时,h'(x)>0,可知函数h(x)在区间(0,+∞)内单调递增,无极值,不符合题意;

②当a<0时,由h'(x)=0可得4ax2+x+1=0,

则Δ=1-16a>0,且两根之积为x1x2=<0,

不妨设x1<0,x2>0,x2=,

则由h'(x)=0可得x=x2,故h(x)在区间(0,x2)内单调递增,

在区间(x2,+∞)内单调递减,所以x=x2为极值点.

由题意可知,h(x2)=lnx2+2a+x2>0.

又4a+x2+1=0,所以lnx2+>0.

构造函数g(x)=lnx+(x>0),

则g'(x)=>0,

所以函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又g(1)=0,所以由g(x)>0,解得x>1,

即x2=>1,解得-<a<0.

故实数a的取值范围为.

21.(12分)(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.

(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1-.

(1)当a=e时,f(x)=ex-lnx+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.

直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为,2.

因此所求三角形的面积为.

(2)由题意a>0,当0<a<1时,f(1)=a+lna<1.

当a=1时,f(x)=ex-1-lnx,f'(x)=ex-1-.

当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.

所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.

当a>1时,f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx≥1.

综上,a的取值范围是[1,+∞).

22.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;

(2)证明:b2>3a;

(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.

答案:(1)解由f(x)=x3+ax2+bx+1,

得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-.

当x=-时,f'(x)有最小值,也是极小值,即b-.

因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f=-+1=0,又a>0,故b=.

因为f(x)有极值,故f'(x)=0有实根,

从而b-(27-a3)≤0,即a≥3.

当a=3时,f'(x)≥0且f'(x)不恒等于0,故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;

当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:

故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3.

因此b=,定义域为(3,+∞).

(2)证明由(1)知,.

设g(t)=,则g'(t)=.

当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在区间内单调递增.

因为a>3,所以a>3,故g(a)>g(3)=,

即.因此b2>3a.

(3)解由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,

且x1+x2=-a,.

从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+1

=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a()+b(x1+x2)+2

=+2=0.

记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a>3.

因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在区间(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),

故a≤6.

因此a的取值范围为(3,6].