广西专用高考数学一轮复习单元质检十二概率B含解析

单元质检十二　概率(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是(　　)

A. B. 

C. D.

答案:C

解析:∵X~B(100,p),∴E(X)=100p.

又E(X)=24,∴24=100p,即p=.

2.两名教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为(　　)

A.0.44 B.0.56 C.0.41 D.0.39

答案:A

解析:用(x,y)表示两名教师的批改成绩,则(x,y)的所有可能情况为10×10=100(种).

当x=50时,y可取50,51,52,共3种可能;

当x=51时,y可取50,51,52,53,共4种可能;

当x=52,53,54,55,56,57时,y的取法均有5种,共30种可能;

当x=58时,y可取56,57,58,59,共4种可能;

当x=59时,y可取57,58,59,共3种可能.

综上可得,两名教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种.

由古典概型概率公式可得,

所求概率P==0.44.

3.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

答案:A

解析:(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A,

则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,

得P(A|B)=.

(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C,

则P(C)=1-P()P()=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.

故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为.

故选A.

4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.一个用七巧板拼成的正方形如图所示,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

答案:B

解析:不妨设小正方形的边长为1,则最小的两个等腰直角三角形的边长为1,1,,左上角的等腰直角三角形的边长为,2,两个最大的等腰直角三角形的边长为2,2,2,即大正方形的边长为2,

故所求概率P=1-.

5.(2020山东烟台期中)已知随机变量X~N(0.4,),Y~N(0.8,),其正态分布曲线如图所示,则下列说法错误的是(　　)

A.P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)

B.P(X≥0)=P(Y≥0)

C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右

D.两支密度曲线与x轴之间的面积均为1

答案:B

解析:由已知得μ1=0.4,μ2=0.8,σ1<σ2.

因为P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)=0.5,所以A正确;

由图象可知,P(X≥0)>P(Y≥0).故B错误;

分布列X~N(0.4,)的图象比Y~N(0.8,)的图象更“高瘦”,故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,故C正确;

显然,两支密度曲线与x轴之间的面积均为1,故D正确.

故选B.

6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=(　　)

A.0.7 B.0.6 

C.0.4 D.0.3

答案:B

解析:由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,

∴p(1-p)=0.24,

由P(X=4)<P(X=6)知p4·(1-p)6<p6(1-p)4,

即p2>(1-p)2,

∴p>0.5,

∴p=0.6(其中p=0.4舍去).

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.若10件产品包含2件次品,今在其中任取两件,则在已知两件中有一件不是次品的条件下,另一件是次品的概率为　　　　　. 

答案:

解析:设事件A={两件中有一件不是次品},事件B={两件中恰有一件是次品},

则P(B|A)=.

8.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的均值为　　　　　. 

答案:

解析:根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有=240(种),而X=1,2,

则P(X=1)=,

P(X=2)=,

故E(X)=1×+2×.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)(2020全国Ⅰ,理19)甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.

经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

解:(1)甲连胜四场的概率为.

(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.

比赛四场结束,共有三种情况:

甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;

丙上场后连胜三场的概率为.

所以需要进行第五场比赛的概率为1-.

(3)丙最终获胜,有两种情况:

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;

比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为.因此丙最终获胜的概率为.

10.(15分)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:

女生统计图

男生统计图

(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;

(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X);

(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)

解:(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.

故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×=240.

(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4,

故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.

由题意可得

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=.

所以随机变量X的分布列为

均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.

(3)由折线图可得.

11.(15分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

①证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=(1-α)β,

P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),

P(X=1)=α(1-β).

所以X的分布列为

(2)①证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,

故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),

即pi+1-pi=4(pi-pi-1).

又因为p1-p0=p1≠0,

所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列.

②由①可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=p1.

由于p8=1,故p1=,

所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p1=.

p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.