广西专用高考数学一轮复习考点规范练53直线与圆锥曲线含解析新人教A版理

考点规范练53　直线与圆锥曲线

基础巩固

1.若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(　　)

A B.5 C D

答案:D

解析:不妨设双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=x与y=x2+1只有一个交点,

由得ax2-bx+a=0,

所以Δ=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,=5,e=故选D.

2.已知抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b(k≠0)有两个公共点,其横坐标分别是x1,x2,而直线y=kx+b与x轴焦点的横坐标是x3,则x1,x2,x3之间的关系是(　　)

A.x3=x1+x2 B.x3= 

C.x1x3=x1x2+x2x3 D.x1x2=x1x3+x2x3

答案:D

解析:由题意x3=-,联立抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b,得ax2-kx-b=0,Δ>0,

∴x1+x2=,x1x2=-,

=-,∴x1x2=x1x3+x2x3,故选D.

3.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x B.y=±2x C.y=±2x D.y=±2x

答案:B

解析:由题意得|AB|=,

∵S△AOB=,1=,∴3a2+8a-3=0.

∵a>0,b>0,∴a=,b=,

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x.故选B.

4.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)

A.2 B C D

答案:C

解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,

由消去y,

得5x2+8tx+4(t2-1)=0,Δ=64t2-20(4t2-4)>0,得t2<5,

则x1+x2=-t,x1x2=

所以|AB|=|x1-x2|

=

=

=,

当t=0时,|AB|max=

5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)

A.16 B.14 C.12 D.10

答案:A

解析:(方法一)由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.

设直线l1方程为y=k1(x-1),

联立抛物线方程,得

消去y,得x2-2x-4x+=0,

所以x1+x2=

同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=

由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p

=+4=+8≥2+8=16,

当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.

(方法二)如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为

作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得

所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=

同理可得|BF|=,所以|AB|=

又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,

则|DE|=,

所以|AB|+|DE|=16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.

6.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　　. 

答案:

解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为

由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于,要使距离d大于c恒成立,只需c即可,故c的最大值为

7.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.

解:(1)由题意可得,c=2,b=2,

由a2=b2+c2得a2=22+22=8,

故椭圆C的方程为=1.

(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),

由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,

则Δ=96-8m2>0,解得-2<m<2

x0==-,y0=x0+m=

因为点G(x0,y0)在圆x2+y2=1上,

所以=1.解得m=±

8.在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

(1)求;

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

解:(1)由已知得M(0,t),P

又N为M关于点P的对称点,

故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px,整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=

因此H

所以N为OH的中点,即=2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.

理由如下:

直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,

所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.

能力提升

9.(2020黑龙江哈尔滨模拟)已知椭圆=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若=3,则k=(　　)

A.1 B C D.2

答案:B

解析:∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=2

∴椭圆的右焦点F(2,0).

∴设过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为my=x-2,m≠0,其中m=

设A(x1,y1),B(x2,y2).联立

消去x,得到(4+m2)y2+4my-4=0.

∴y1+y2=,y1y2=

=3,即(2-x1,-y1)=3(x2-2,y2),

∴-y1=3y2,联立方程组

得到m2=,,即k2=2.

又k>0,∴k=故选B.

10.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)

A B.3 C.2 D.4

答案:B

解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±x,

所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.

不妨设∠OMN=90°,则|MN|=|OM|.

又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=,所以|MN|=3.

11.(2020重庆模拟)如图,O为坐标原点,过点P(0,3)作圆O的两条切线分别交椭圆C:=1于点A,B和点D,C.

(1)若圆O和椭圆C有4个公共点,求直线AB和CD的斜率之积的取值范围;

(2)四边形ABCD的对角线是否交于一个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

解:(1)若圆O和椭圆C有4个交点,则r2∈(3,4),

设过点P的切线方程为y=kx+3,

则r=(,2),即k2,①

又因为直线y=kx+3和椭圆有两个交点,

将y=kx+3代入椭圆C:=1,消去y,可得(3+4k2)x2+24kx+24=0,

因为Δ=96(2k2-3)>0,所以k2>,②

由①②可得k2,所以kABkCD=-k2

(2)设AC:y=kx+t,

由消去y,可得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,

设A(x1,y1),C(x2,y2),当Δ>0时,

则x1+x2=,x1x2=

由题设条件易知kPA+kPC=0,

所以kPA+kPC=

=

=

==0,

即2kx1x2+(t-3)(x1+x2)==0对一切k成立,

所以t=1,此时满足Δ>0,即直线AC过定点(0,1),

同理可得直线BD也过定点(0,1),

所以,四边形ABCD的对角线交于定点(0,1).

高考预测

12.已知椭圆C:=1,A,B分别为椭圆长轴的左、右端点,M为直线x=2上异于点B的任意一点,连接AM交椭圆于P点.

(1)求证:为定值;

(2)是否存在x轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点.

答案:(1)证明由椭圆的方程可得A(-2,0),B(2,0),设M(2,m),P(x0,y0)(m≠0,x0≠±2),

则=1,得=-

又kAP==kAM=,kBP=,

所以kAPkBP==-

又=-,整理可得2x0+my0=4,

所以=2x0+my0=4为定值.

(2)解定点Q存在.假设存在定点Q(n,0)满足要求,设M(2,m),P(x0,y0)(m≠0,x0≠±2),

则以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点,可得=0,

所以(n-2,-m)·(x0-2,y0)=nx0-2n-2x0+4-my0=0.①

由(1)得2x0+my0=4,②

由①②可得n(x0-2)=0.

因为x0≠2,解得n=0,

所以存在x轴上的定点Q(0,0),使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点.