2021-2022学年山东省枣庄市峄城区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省枣庄市峄城区九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列各数：，，，，其中比小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，该几何体的主视图是

A.
B.
C.
D.

3. 某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过立方米，每立方米元；超过部分每立方米元该地区某用户上月用水量为立方米，则应缴水费为

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

4. 下列命题是真命题的是

A. 五边形的内角和是
B. 三角形的任意两边之和大于第三边
C. 内错角相等
D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

5. 北京年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是

A.
B.
C.
D.

6. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是

A.  B.  C.  D.

7. 某天早晨：，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，：赶到了学校如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程结合图象，判断下列结论正确的是

A. 小明修车花了
B. 小明家距离学校
C. 小明修好车后花了到达学校
D. 小明修好车后骑行到学校的平均速度是

8. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为：，点，的对应点分别为点，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

9. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是

A. 四条边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形

10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
    ；；；．
    其中正确结论的个数是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 年月日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步目前探测器距离地球约千米，这个数据用科学记数法可表示为______ ．
12. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______ ．
13. 若，则的值为______ ．
14. 如图，圆的半径为，内接于圆若，，则 ______ ．
    
    
    
     

15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转角得到，并使点落在边上，则点所经过的路径长为______ 结果保留
     

16. 如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，当，转动到，时，点到的距离为______ 结果保留小数点后一位，参考数据：，

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 先化简，再求值：，其中．
18. 年是中国共产党成立周年为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
    甲班名学员测试成绩满分分统计如下：
    ，，，，，，，，，，，，，，．
    乙班名学员测试成绩满分分统计如下：
    ，，，，，，，，，，，，，，
    按如表分数段整理两班测试成绩

表中 ______ ；
补全甲班名学员测试成绩的频数分布直方图；

两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

表中 ______ ， ______ ．
以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是______ 班；
本次测试两班的最高分都是分，其中甲班人，乙班人现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．

19. 已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转旋转角为钝角，得到，连接，．
    
    如图，当且时，则与满足的数量关系是______；
    如图，当且时，中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
20. 某公司生产的一种营养品信息如表已知甲食材每千克的进价是乙食材的倍，用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克．

问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
该公司每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
已知每日其他费用为元，且生产的营养品当日全部售出若的数量不低于的数量，则为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

21. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．
    求反比例函数和一次函数的表达式；
    求的面积．

22. 问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．
    求证：四边形是正方形；
    延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
     

23. 如图，为线段上一点，以为圆心，长为半径的交于点，点在上，连接，满足．
    求证：是的切线；
    若，求的值．

24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的顶点是，将绕点顺时针旋转后得到，点恰好在抛物线上，与抛物线的对称轴交于点．

求抛物线的解析式；
   是线段上一动点，且不与点，重合，过点作平行于轴的直线，与的边分别交于，两点，将以直线为对称轴翻折，得到，设点的纵坐标为．
当在内部时，求的取值范围；
是否存在点，使，若存在，求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
其中比小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，可得如下图形：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．
应缴水费 立方米的水费 立方米的水费．
【解答】
解：根据题意知： 元 ．
故选： ．   

4.【答案】

【解析】解：、五边形的内角和为，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：．
利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的定义等知识，难度不大．
 

5.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

6.【答案】

【解析】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．正确画出树状图是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由横坐标看出，小明修车时间为分钟，故本选项符合题意；
B.由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为米，故本选项不合题意；
C.由横坐标看出，小明修好车后花了到达学校，故本选项不合题意；
D.小明修好车后骑行到学校的平均速度是：米分钟，故本选项不合题意；
故选：．
根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．
本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：图形甲与图形乙是位似图形，位似比为：，，
，即，
解得，，
故选：．
根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：．
 

10.【答案】

【解析】解：由图象知，抛物线与轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为，
，
，故正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
，
，
，而抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，故正确，
由图象知，当时，，
，故错误，
即正确的结论有个，
故选：．
先由抛物线与轴交点个数判断出结论，利用抛物线的对称轴为，判断出结论，先由抛物线的开口方向判断出，进而判断出，再用抛物线与轴的交点的位置判断出，判断出结论，最后用时，抛物线在轴下方，判断出结论，即可得出结论．
此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，
，
又，
．
故答案为：．
先估算出的大小，再估算的大小，即可得出整数的值．
本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是估算出的大小．
 

13.【答案】

【解析】解：，






，
故答案为：．
先把前两项提取公因式得，整体代入后，再提取公因式，再整体代入，即可得出结果．
利用提公因式法把多项式进行因式分解，分步整体代入计算是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，连接，，

在中，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，即是等腰直角三角形，又圆半径为，可得出结论．
本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：在中，，，，
，，
，
将绕点逆时针旋转角得到，
，
点所经过的路径长，
故答案为：
由直角三角形的性质可求，，由旋转的性质可求，由弧长公式可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，轨迹，弧长公式等知识，求出和是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作，垂足为，
在中，
，，
，
，
在中，
，
，
又，
，
，
即点到的距离约为，
故答案为：．
通过作垂线构造直角三角形，在在中，求出，在中，求出，即可求出，从而解决问题．
本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式，
当时，原式．

【解析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将的值代入求出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
 

18.【答案】解：；
补全甲班名学员测试成绩的频数分布直方图如下：

，；
乙；
把甲班人记为、，乙班人记为，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有种，
恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为．

【解析】解：由题意得：，
故答案为：；
补全甲班名学员测试成绩的频数分布直方图如下：

甲班名学员测试成绩中，分出现的次数最多，
，
按照从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，，
由题意得：乙班名学员测试成绩的中位数为，
故答案为：，；
以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：
甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数；
乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；
故答案为：乙；
见答案．

由甲班名学员的测试成绩即可求解；
由的结果，补全甲班名学员测试成绩的频数分布直方图即可；
由众数、中位数的定义求解即可；
从平均数、中位数、方差几个方面说明即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法、频数分布直方图、统计表、众数、中位数等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】

【解析】解：且，为边的中点，
，
将绕点顺时针方向旋转旋转角为钝角，得到，
旋转角，，
在和中，
，
≌，
；
故答案为：；
仍然成立，证明如下：
，为边的中点，
，
将绕点顺时针方向旋转旋转角为钝角，得到，
旋转角，，
在和中，
，
≌，
．
由且，为边的中点，得，根据将绕点顺时针方向旋转旋转角为钝角，得到，即有，，可证≌，从而；
同可证≌得．
本题考查三角形的旋转，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，证明≌．
 

20.【答案】解：设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
元，
答：甲食材每千克进价为元，乙食材每千克进价为元；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材千克，乙食材千克；
设为包，则为包，
的数量不低于的数量，
，
，
设总利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当时，的最大值为，
答：当为包时，总利润最大，最大总利润为元．

【解析】设乙食材每千克进价为元，则甲食材每千克进价为元，根据“用元购买的甲食材比用元购买的乙食材多千克”列分式方程解答即可；
设每日购进甲食材千克，乙食材千克，根据的结论以及“每日用元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
设为包，则为包，根据“的数量不低于的数量”求出的取值范围；设总利润为元，根据题意求出与的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
 

21.【答案】解：点在的图象上，
，
，
点在上，
，
，
一次函数的表达式为，
点在的图象上，
，
，
点在的图象上，
，
反比例函数的表达式为；
直线与轴交于点，
当时，，即，
．
的面积为．

【解析】先求出点坐标，再求出一次函数解析式，再求出点坐标，最后求出反比例函数解析式；
由一次函数解析式求出点坐标，再把三角形的面积转化为三角形和三角形面积之和，由面积公式求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
解：是等腰三角形，
理由：四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．

【解析】根据矩形的性质得，由等角的余角相等可得，利用可得≌，由全等三角形的性质得，即可得四边形是正方形；
利用可得≌，由全等三角形的性质得，由已知可得，根据线段垂直平分线的性质可得即可得，是等腰三角形．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，，，
，
，
∽，
．

【解析】由得，可证得∽，根据相似三角形的性质得，根据圆周角定理得，则，由得，等量代换可得，即，即可得出结论；
由可得，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质即可得出的值．
本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．
 

24.【答案】解：抛物线的顶点是，
抛物线的解析式为，
绕点顺时针旋转后得到，
，
把代入可得，
抛物线的解析式为，即，

如图中，

，
直线的解析式为，
，
，
，，
，
由题意，
．

直线的解析式为，直线的解析式为，
，
，，
，
，
，
整理得
解得舍弃或，
满足条件的的值为．

【解析】抛物线的顶点是，可以假设抛物线的解析式为，求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
根据在内部，构建不等式即可解决问题．
求出直线，的解析式，求出，利用面积关系构建方程即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中考压轴题．