2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习05《函数的奇偶性与周期性》(含详解)

这是一份2022年高考数学(理数)一轮考点精选练习05《函数的奇偶性与周期性》(含详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，
则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B.(－1，2)
C.(－2，1)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案为：C；
已知函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，设a=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(82,11)))，b=－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(50,9)))，c=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,7)))，则下列结论正确的是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.b＞c＞a D.c＞a＞b
已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)=3x－1，
则f( SKIPIF 1 < 0 )=( )
A.eq \r(3)＋1 B.eq \r(3)－1 C.－eq \r(3)－1 D.－eq \r(3)＋1
已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)=－f(x)；
当x＞eq \f(1,2)时，f(x+ eq \f(1,2))=f(x- eq \f(1,2))，则f(6)=( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)=lg2x，则f(－eq \r(2))=( )
A.－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.2 D.－2
设函数f(x)=x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)的值域为R
D.f(x)是周期函数
已知定义在R上的函数f(x)=2|x＋m|－1(m为实数)为偶函数，记a=f( SKIPIF 1 < 0 )，b=f( SKIPIF 1 < 0 )，
c=f(m＋1)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x＋1)，给出下列命题：
①当x>0时，f(x)=e－x(x－1)；
②函数f(x)有3个零点；
③f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)；
④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|<2.
正确个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y=ex＋e－x B.y=ln(|x|＋1) C.y=eq \f(sinx,|x|) D.y=x－eq \f(1,x)
已知函数f(x)=3x－(eq \f(1,3))x，则f(x)( )
A.是奇函数，且在R上是增函数
B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数
D.是偶函数，且在R上是减函数
已知函数f(x)=ln(eq \r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg0.5)等于( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y=ex＋e－x B.y=ln(|x|＋1) C.y=eq \f(sinx,|x|) D.y=x－eq \f(1,x)
二、填空题
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)，f(x＋2)=－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于直线x=1对称；
③f(x)在[1,2]上是减函数；
④f(2)=f(0)，
其中正确命题的序号是 (请把正确命题的序号全部写出来).
若f(x)=ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a= .
定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)，f(x＋2)=－f(x)且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于x=1对称；
③f(x)在[1，2]上是减函数；
④f(2)=f(0).
其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来).
设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a，－1≤x＜0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－x))，0≤x＜1，))
其中a∈R.若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))，则f(5a)的值是 .
若函数f(x)=ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)=________.
已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时， f(x)=eq \r(x)＋1，则当x<0时，f(x)=______.
\s 0 答案解析
答案为：C.
解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)=(－x)2－2x，
∴－f(x)=x2－2x，∴f(x)=－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，
结合图象可知f(x)是R上的增函数，
由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.
答案为：B；
解析：由函数f(x)是偶函数，f(x＋1)是奇函数，可知函数的周期为4，
则a=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(82,11)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,11)))，b=－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(50,9)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))，c=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,7)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,7))).由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，
可知函数是区间[0,1]上的减函数，据此可得b＞a＞c.
答案为：D.
解析：由题可知f(x＋2)=f(x)=－f(－x)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 008＋\f(3,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))=－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))=－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
又当x∈(0,1)时，f(x)=3x－1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \r(3)－1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2)))=－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=－eq \r(3)＋1.
答案为：D；
解析：当x＞eq \f(1,2)时，由f(x+ eq \f(1,2))=f(x- eq \f(1,2))可得f(x)=f(x＋1)，所以f(6)=f(1)，
又由题意知f(1)=－f(－1)，f(－1)=(－1)3－1=－2，所以f(6)=2，故选D.
答案为：B.
解析：由已知得f(－eq \r(2))=f(eq \r(2))=lg2eq \r(2)=eq \f(1,2).故选B.
答案为：D
解析：因为f(－x)=－x＋sin(－x)=－(x＋sin x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)=1＋cs x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误.
答案为：D.
解析：由函数f(x)为偶函数，可知m=0，即f(x)=2|x|－1，
显然f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又| SKIPIF 1 < 0 |>1，| SKIPIF 1 < 0 |=|lg32|<1，m＋1=1，
∴a=f( SKIPIF 1 < 0 )>c=f(m＋1)>b=f( SKIPIF 1 < 0 )，故选D.
答案为：B.
解析：由题意得，当x>0时，则－x<0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)=－f(－x)=－e－x(－x＋1)=e－x(x－1)，所以①是正确的；
令ex(x＋1)=0，可解得x=－1，当e－x(x－1)=0时，可解得x=1，
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以有f(0)=0，故函数的零点有3个，所以②是正确的；
因为当x<0时，由f(x)=ex(x＋1)>0，解得－1当x>0时，由f(x)=e－x(x－1)>0，解得x>1，
故f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)，所以③是不正确的；
因为当x>0时，由f(x)=e－x(x－1)，图象过点(1,0)，
又f′(x)=e－x(2－x)，可知当00，当x>2时，f′(x)<0，
所以函数在x=2处取得极大值f(2)=eq \f(1,e2)，且当x→0时，函数值趋向于－1，
当x→＋∞时，函数值趋向于0，由奇函数的图象关于原点对称可作函数f(x)的图象，
可得－1综上所述正确的个数为3，故选B.
答案为：D.
解析：选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y=x－eq \f(1,x)是奇函数，且y=x和y=－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上均为增函数，故y=x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确.
答案为：A；
解析：易知函数f(x)的定义域为R且关于原点对称.
∵f(－x)=3－x－(eq \f(1,3))-x=(eq \f(1,3))x－3x=－f(x)，∴f(x)为奇函数.
又∵y=3x在R上是增函数，y=－(eq \f(1,3))x在R上是增函数，
∴f(x)=3x－(eq \f(1,3))x在R上是增函数.故选A.
答案为：D；
解析：设g(x)=ln(eq \r(1＋9x2)－3x)=f(x)－1，
g(－x)=ln(eq \r(1＋9x2)＋3x)=lneq \f(1,\r(1＋9x2)－3x)=－g(x).
∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋f(lg0.5)－1=g(lg 2)＋g(lg0.5)=0，
因此f(lg 2)＋f(lg0.5)=2.
答案为：D；
解析：选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y=x－eq \f(1,x)是奇函数，且y=x和y=－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上均为增函数，故y=x－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确.
答案为：①②③④；
解析：f(x＋y)=f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立.
令x=y=0，所以f(0)=0.令x＋y=0，所以y=－x，所以f(0)=f(x)＋f(－x).
所以f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数.
因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，
又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数.
由f(x＋2)=－f(x)⇒f(x＋4)=－f(x＋2)⇒f(x＋4)=f(x)，
所以周期T=4，即f(x)为周期函数.f(x＋2)=－f(x)⇒f(－x＋2)=－f(－x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)=f(x)，所以函数关于直线x=1对称.
由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于直线x=1对称，
所以f(x)在[1,2]上为减函数.
由f(x＋2)=－f(x)，令x=0得f(2)=－f(0)=f(0).
答案为：－eq \f(3,2).
解析：由于f(－x)=f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax=ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x=0(x∈R)，则2a＋3=0，∴a=－eq \f(3,2).
答案为：①②③④
解析：f(x＋y)=f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立.
令x=y=0，所以f(0)=0.令x＋y=0，所以y=－x，所以f(0)=f(x)＋f(－x).
所以f(－x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数.
因为f(x)在x∈[－1，0]上为增函数，又f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数.
由f(x＋2)=－f(x)⇒f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，所以周期T=4，即f(x)为周期函数.
f(x＋2)=－f(x)⇒f(－x＋2)=－f(－x).
又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)=f(x)，
所以函数关于x=1对称.
由f(x)在[0，1]上为增函数，又关于x=1对称，
所以f(x)在[1，2]上为减函数.
由f(x＋2)=－f(x)，令x=0得f(2)=－f(0)=f(0).
答案为：－0.4.
解析：因为f(x)的周期为2，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))=－eq \f(1,2)＋a，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))=eq \f(1,10)，即－eq \f(1,2)＋a=eq \f(1,10)，所以a=0.6，
故f(5a)=f(3)=f(－1)=－0.4.
答案为：5
解析：∵函数f(x)=ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，
∴－1－a＋2a=0，即a=1.∵f(x)=f(－x)，∴ax2＋bx＋1=ax2－bx＋1，∴b=0，
即f(x)=x2＋1.则f(2a－b)=f(2)=5.
答案为：－eq \r(－x)－1
解析：∵f(x)为奇函数，且x>0时， f(x)=eq \r(x)＋1，∴当x<0时，即－x>0，
有 f(x)=－f(－x)=－(eq \r(－x)＋1)，即x<0时， f(x)=－(eq \r(－x)＋1)=－eq \r(－x)－1.