2021-2022学年下学期高一数学暑假巩固练习5 不等式（二）

一、单选题．

1．若，且，则的最大值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

2．不等式解集为（    ）

A．  B．

C．  D．

3．若，且，则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．

4．下列各函数中，最小值为2的是（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知正实数满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

6．若不等式的解集为，则（    ）

A． B． C．1 D．2

7．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．若关于x的不等式在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知实数满足，且，则的值最小时，

实数（    ）

A． B． C． D．1

10．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

二、填空题．

11．不等式的解集为__________．

12．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．

13．若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．

14．如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_________．

三、解答题．

15．求不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

16．（1）已知，且，求的最小值；

（2）已知是正数，且满足，求的最小值．

17．如图，计划在一面墙进行粉刷与装饰，墙长为18 m．用彩带围成四个相同的长方形区域．

（1）若每个区域的面积为24 m2，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域长和宽分别是多少米？求彩带总长最小值？

（2）若每个区域矩形长为x(m)如图，宽为长的一半，每米彩带价格为5元，墙的粉刷与装饰费用每平方米为10元，总费用不超过180元．问每个区域应如何设计？

18．（1）若不等式对于一切成立，求a的范围；

（2）不等式的解集为M，若，求实数a的取值范围．

一、单选题．

1．【答案】A

【解析】因为，且，所以，

当且仅当时取等号，

故选A．

2．【答案】D

【解析】∵，∴，

∴不等式解集为，故选D．

3．【答案】D

【解析】因为，，

所以，

当且仅当时，即时，等号成立，

故选D．

4．【答案】D

【解析】时，，A错；

，当且仅当，即时取得，

而，则，因此B错；

，当且仅当时取等号，但此方程无实数解，C错；

，当且仅当，即时等号成立，D正确，

故选D．

5．【答案】D

【解析】因为，

所以

，

当且仅当时，取等号，的最小值是，

故选D．

6．【答案】B

【解析】由题意，的解是，

所以，解得，，

故选B．

7．【答案】D

【解析】因为，，，则，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，

故选D．

8．【答案】A

【解析】设，开口向上，对称轴为直线，

所以要使不等式在区间(1，5)内有解，只要即可，

即，得，

所以实数a的取值范围为，故选A．

9．【答案】A

【解析】设，解得，

所以，即，

设，

则，即，

当且仅当，即时取等号，

即，

则的值最小时，实数，故选．

10．【答案】C

【解析】因为不等式对恒成立，

所以对恒成立，

所以，当时，对恒成立；

当时，由题意，得，即，解得，

综上，的取值范围为，故选C．

二、填空题．

11．【答案】

【解析】由，得，即，解得或，

所以原不等式的解集为，

故答案为．

12．【答案】

【解析】因为，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故答案为．

13．【答案】

【解析】的定义域是R，则恒成立，

时，恒成立；

时，则，解得，

综上，，

故答案为．

14．【答案】56

【解析】中，，

中，由得，

所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为56，

故答案为56．

三、解答题．

15．【答案】（1）或；（2）；（3）或；（4）．

【解析】（1）由，得，解得或，

故不等式的解集为或．

（2）由，得，

故不等式的解集为．

（3）由可得，，解得或，

故不等式的解集为或．

（4）由，可得，∴，解得，

故不等式的解集为．

16．【答案】（1）16；（2）9．

【解析】（1）因为，

所以由基本不等式可得，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

（2）因为是正数，且满足，

所以由基本不等式可得，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为．

17．【答案】（1）每个区域的长和宽分别为6 m和4 m，彩带总长最小值为48 m；（2）每个区域矩形长为 m，宽为 m．

【解析】（1）设每个区域的长和宽分别为m和m，根据题意可得，

则彩带总长为，

当且仅当，即且时等号成立，

所以每个区域的长和宽分别为6 m和4 m时，彩带总长最小，且最小值为48 m．

（2）由题知每个区域矩形长为x m，宽为 m， m，

则长方形区域的面积为，彩带总长为，

∴总费用，

又总费用不超过180元，∴，

又，∴，

故每个区域矩形长不超过m，费用不超过180元．

18．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．

由于对勾函数在上递减，所以当时，y有最小值为，

则有，解得，

故a的取值范围为．

（2）设，有．

①当时，，；

②当时，或2．

若时，，故舍去；

若时，，

③当时，有或．

设方程的两根为，，且，那么，

由可得，

故应有，且的对称轴，即，

，解得，

综上可得，a的取值范围是．