2022年江苏省扬州市中考数学试卷（含解析）

2022年江苏省扬州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 孙子算经是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为

A.  B.
C.  D.

4. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是

A. 水落石出 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月

5. 如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是

A. 四棱柱
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 三棱锥

6. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
 

7. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点下列结论：∽；平分；，其中所有正确结论的序号是

A.  B.  C.  D.

8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9. 扬州某日的最高气温为，最低气温为，则该日的日温差是______
10. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
11. 分解因式：______．
12. 请填写一个常数，使得关于的方程______有两个不相等的实数根．
13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为______．
    
    
    
    
     

14. 掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为其中为大于的常数，那么震级为级的地震所释放的能量是震级为级的地震所释放能量的______倍．
15. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为、，则______填“”“”或“”

16. 将一副直角三角板如图放置，已知，，，则______

17. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第次折叠使点落在点处，折痕交于点若，则______．

18. 在中，，、、分别为、、的对边，若，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解不等式组并求出它的所有整数解的和．
21. 某校初一年级有名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
    调查组从初一体育社团中随机抽取名男生进行引体向上测试，调查组从初一所有男生中随机抽取名男生进行引体向上测试，其中______填“”或“”调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
    根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：

这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个；
若以中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．

22. 某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出个球不放回，再从余下的个球中任意摸出个球．
    用树状图列出所有等可能出现的结果；
    活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
23. 某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级班的个小组制作面彩旗，后因个小组另有任务，其余个小组的每名学生要比原计划多做面彩旗才能完成任务．如果这个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
24. 如图，在▱中，、分别平分、，交于点、．
    求证：，；
    过点作，垂足为若▱的周长为，，求的面积．

25. 如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．
    试判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的长．
    
     

26. 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
    【初步尝试】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
    【问题联想】如图，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
    【问题再解】如图，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
    友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹

27. 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度现计划将此余料进行切割：
    若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；
    若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；
    若切割成圆，判断能否切得半径为的圆，请说明理由．

28. 如图，在中，，，点在边上由点向点运动不与点、重合，过点作，交射线于点．
    分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由：
    点在线段的延长线上且；
    点在线段上且．
    若．
    当时，求的长；
    直接写出运动过程中线段长度的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的相反数是．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：，
，
点所在的象限是第二象限．
故选B．
根据平方数非负数判断出点的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】

【解析】解：设鸡有只，兔有只，可列方程组为：
．
故选：．
关系式为：鸡的只数兔的只数；鸡的只数兔的只数，把相关数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
 

4.【答案】

【解析】解：、水落石出，是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】

【解析】解：由于主视图与左视图是三角形，
俯视图是正方形，故该几何体是四棱锥，
故选：．
根据三视图即可判断该几何体．
本题主要考查由三视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C.，，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据，，，三角形形状确定，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：将以点为中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，
符合题意；
，，
∽，
符合题意；
，
，
，
∽，
，
，
符合题意；
故选：．
由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，可判断结论符合题意；由，，得出∽，可判断结论符合题意；由，得出，由相似三角形的旋转得出，进而得出，可判断结论符合题意；即可得出答案．
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数，
描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，
乙、丁两所学校的优秀人数相同，
点丙在反比例函数图象上面，
丙校的的值最大，即优秀人数最多，
故选：．
根据题意可知的值即为该校的优秀人数，再根据图象即可确定丙校的优秀人数最多．
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
则该日的日温差是．
故答案为：．
由最高气温减去最低气温确定出该日的日温差即可．
此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一

【解析】解：，．
，
．
故答案为：答案不唯一．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由图象可得，
当时，，该函数随的增大而减小，
不等式的解集为，
故答案为：．
根据函数图象中的数据和一次函数的性质，可以写出等式的解集．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
由题意列出算式：，进行计算即可得出答案．
本题考查了科学计算法，理解能量与震级的关系，掌握同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
故答案为：．
直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，，
，
，
，
故答案为：．
由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：如图，由折叠得：，，，

，
，
是的中位线，
，
，
．
故答案为：．
先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，可得答案．
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
 

18.【答案】．

【解析】解：在中，，
，
，
，
等式两边同时除以得：
，
令，则有，
，
解得：，舍去，
．
故答案为：．
根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．
本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质计算即可；
根据分式的混合运算法则计算．
本题考查的是分式的混合运算、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、零指数幂、二次根式的性质、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集是，
该不等式组的整数解是，，，，，，
，
该不等式组所有整数解的和是．

【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后即可求得该不等式组所有整数解的和．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

21.【答案】   

【解析】解：从初一所有男生中随机抽取名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：；
这组测试成绩的平均数为：个，
中位数为：个，
故答案为：，；
人，
答：校初一有名男生不能达到合格标准．
根据抽样调查的特点解答即可；
根据平均数，中位数计算公式解答即可；
用样本估计总体的思想解答即可．
本题主要考查的统计相关知识，熟练掌握平均数，中位数的计算，用样本估计总体的思想是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能出现的结果；
摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球分别对应的奖次为一等奖，理由如下：
由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有种，摸出颜色相同的两球的结果有种，
摸出颜色不同的两球的概率为，摸出颜色相同的两球的概率为，
一等奖的获奖率低于二等奖，，
摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖，摸出颜色相同的两球分别对应的奖次为一等奖．

【解析】画出树状图即可；
由树状图可知，摸出颜色不同的两球的结果有种，摸出颜色相同的两球的结果有种，再由概率公式去摸出颜色不同的两球的概率和摸出颜色相同的两球的概率，进而得出结论．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设每个小组有学生名，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
答：每个小组有学生名．

【解析】设每个小组有学生名，由题意得：，解分式方程并检验后即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：在▱中，，，
，，，
、分别平分、，
，
，，
，
；
在和中，
，
≌，
；
解：过点作于，

平分，，
，
▱的周长为，
，



．

【解析】根据平行四边形的性质可得，，，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而可证明；利用证明≌可得；
过点作于，由角平分线的性质可求解，根据平行四边形的性质可求解，再利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：直线与相切，
理由：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
直线与相切；
在中，，
，
设，则，
，
，
解得：或不符合题意，舍去，
，
，
，
，，
，
解得：，
的长为．

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，，结合对顶角的性质得出，由垂直的性质得出，进而得出，即可得出直线与相切；
由，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出的值，进而得出，再利用勾股定理得出，即可求出的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：【初步尝试】如图，直线即为所求；
【问题联想】如图，三角形即为所求；
【问题再解】如图中，即为所求．
 

【解析】【初步尝试】如图，作的角平分线即可；
【问题联想】如图，作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上截取，连接，，三角形即为所求；
【问题再解】构造等腰直角三角形，作，以为圆心，为半径画弧交于点，弧即为所求．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

27.【答案】解：如图，由题意得：，，，

设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
，
抛物线的解析式为：，
四边形是正方形，
，
设，
，
解得：，舍，
此正方形的面积；
如图，由知：设，

矩形的周长，
，
当时，矩形的周长最大，且最大值是；
若切割成圆，能切得半径为的圆，理由如下：
如图，为上一点，也是抛物线上一点，过作的切线交轴于，连接，过点作轴于，
则，，

设，
由勾股定理得：，
，
解得：，舍，
，
，
，
，
，
设的解析式为：，
，
，
的解析式为：，
，
，
，即此时为圆与抛物线在轴右侧的唯一公共点，
若切割成圆，能切得半径为的圆．

【解析】先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据计算的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
由知：设，表示矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；
设半径为的圆与相切，并与抛物线相交，设交点为，求出点的坐标，并计算点是圆与抛物线在轴右侧的切点即可．
本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．
 

28.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
；
，理由如下：
如图：

，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
过作于，如图：

，，
∽，
，即，
，
，
设，则，
在中，，
，
，即，
，
，，
，
∽，
，即，
；
作的中点，连接，如图：

，是斜边上的中线，
，，
当最小时，最小，此时，
，
，
，
，
，
此时，
答：线段长度的最小值为．

【解析】由，，，有，即可得，；
由，，，可得，即得，根据，可得，故AE；
过作于，证明∽，由，可得，设，则，在中，，而，可得，有，，，又，即可得；
作的中点，连接，根据，是斜边上的中线，得，即知当最小时，最小，此时，可证，从而得线段长度的最小值为．
本题考查三角形综合应用，涉及相似三角形性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，含的直角三角形三边关系等知识，解题的关键时作辅助线，构造直角三角形解决问题．