2023年江苏省扬州市中考数学试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则括号内应填的单项式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  空气的成分除去水汽、杂质等是：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占要反映上述信息，宜采用的统计图是(    )

A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图

4.  下列图形是棱锥侧面展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知，，，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  函数的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知二次函数为常数，且，下列结论：函数图象一定经过第一、二、四象限；函数图象一定不经过第三象限；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  扬州市大力推进城市绿化发展，年新增城市绿地面积约平方米，数据用科学记数法表示为______ ．

10.  分解因式：______．

11.  如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为______ ．

12.  某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：

这种绿豆发芽的概率的估计值为______ 精确到．

13.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．

14.  用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______ ．

15.  某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于______ ．

16.  我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成如图，直角三角形的直角边长为、，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为______ ．

17.  如图，中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长为______ ．

18.  如图，已知正方形的边长为，点、分别在边、上，将正方形沿着翻折，点恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为：，那么线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．

21.  本小题分
某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出名学生参加环保知识竞赛满分分，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：

根据以上信息，回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ；
七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断 ______ 填“”“”或“”；
从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．

22.  本小题分
扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览．
甲选择景点的概率为______ ；
请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．

23.  本小题分
甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．

24.  本小题分
如图，点、、、分别是平行四边形各边的中点，连接、相交于点，连接、相交于点．
求证：四边形是平行四边形；
若▱的面积为，求▱的面积．

25.  本小题分
如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过、两点．
试判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，的半径为，求的长．

26.  本小题分
近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔只，乙种头盔只，共花费元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高元．
甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
商店决定再次购进甲、乙两种头盔共只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价元出售如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？

27.  本小题分
【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设．
【操作探究】
如图，先将和的边、重合，再将绕着点按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
当时， ______ ；当时， ______ ；
当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
如图，取的中点，将绕着点旋转一周，点的运动路径长为______ ．

 

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上．
如果四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上．
______ ；
如图，已知菱形的顶点、、在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
如图，已知正方形的顶点、在该二次函数的图象上，点、在轴的同侧，且点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，试探究是否为定值如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
已知正方形的顶点、在二次函数为常数，且的图象上，点在点的左侧，设点、的横坐标分别为、，直接写出、满足的等量关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义即可求得答案．
本题考查绝对值的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
即括号内应填的单项式是，
故选：．
根据单项式乘单项式法则或根据单项式除以单项式法则求出答案即可．
本题考查了单项式乘单项式法则，能熟记掌握单项式乘单项式法则是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图．
故选：．
根据扇形统计图的特点：用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．易于显示每组数据相对于总数的大小即可得到答案．
此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形．
故选：．
由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．
本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
则，
故选：．
一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：由函数可知，函数是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
故选：．
函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限．
考查了函数的图象，函数的图象是双曲线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，作的高、．

是锐角三角形，
、在的内部，即，．
在直角中，，，
，
；
又，
，
综观各选项，可以为．
故选：．
作的高、根据锐角三角形的三条高均在三角形的内部得出，解直角三角形求出，即可求解．
本题考查了解直角三角形，三角形的高，三角形的三边关系，得出的范围是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：时，抛物线开口向上对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，函数图象一定不经过第三象限．
故选：．
由的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：多边形的边数是：，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
根据多边形的外角和是度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是．
故答案为：．
当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出是解题的关键．
【解答】
解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
则，
解得：，
故答案为：．
根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设气球内气体的压强与气球体积之间的函数解析式为．
当时，，
，
，
气球内的气压大于时，气球将爆炸，
时，气球不爆炸，
，
解得：，
为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于．
故答案为：．
设气球内气体的压强与气球体积之间的函数解析式为，把时，代入解析式求出值，得到关于的函数解析式，再根据气球内的气体压强大于得到关于的不等式，从而确定正确的答案．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，
且、均大于，
解得，
每个直角三角形的面积为，
故答案为：．
根据勾股定理可知，再根据，，即可得到、的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作与点．
在中，，，中，
，
，，平分，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，过点作与点证明，利用面积法求解．
本题考查作图基本作图，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作，

已知正方形的边长为，四边形与四边形的面积比为：，
，
设，则，，
，
即，
解得，
，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
又，，
≌，
，
在中，，
，
解得．
故答案为：．
连接，过点作，设，则，，根据已知条件，分别表示出、、，证明≌，得出，在中，根据勾股定理建立方程即可解答．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；

原式
． 

【解析】利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可；
根据分式的乘除运算法则进行计算即可．
本题考查实数及分式的运算，它们的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：七年级成绩中分的最多有个，所以众数，
将八年级样成绩重新排列为：，，，，，，，，，，
所以中位数，
故答案为：，；
七年级的方差是，
八年级的方差是，
；
故答案为：；
因为平均数相同，七年级的中位数较大，所以七年级的成绩较好．
根据众数和中位数的定义即可求出和的值；
根据方差公式分别计算出和即可；
从平均数、和中位数进行分析即可．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差，明确平均数、中位数、众数、方差所反映数据的特征是解决问题、做出判断的前提．
 

22.【答案】 

【解析】解：甲选择景点的概率为，
故答案为：；
根据题意画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择景点的情况有种，
甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率是．
由概率公式直接可得答案；
先画出树状图，共有种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．
本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：乙同学骑自行车的速度为． 

【解析】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，根据甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：点、、、分别是平行四边形各边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
同理可得，四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形；
如图所示，连接，
，分别是，的中点，
点是的重心，
，
，
又是的中线，
，
又是平行四边形和平行四边形的对角线，
，
又▱的面积为，
▱的面积为． 

【解析】依据四边形是平行四边形，可得，依据四边形是平行四边形，可得，进而得出四边形是平行四边形；
连接，依据三角形重心的性质，即可得到，再根据是的中线，即可得出，进而得到，依据▱的面积为，即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质．
 

25.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
，，
，
，
在中，，
设，，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，等量代换得到，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据三角函数的定义得到，求得，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

26.【答案】解：设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种头盔单价是元，乙种头盔单价是元；
设再次购进甲种头盔只，总费用为元，
根据题意，得，
解得，
，
，
随着增大而增大，
当时，取得最小值，
即购买只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为元，
答：购买只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为元． 

【解析】设甲种头盔的单价为元，乙种头盔的单价为元，根据购买甲种头盔只，乙种头盔只，共花费元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高元，列二元一次方程组，求解即可；
设再次购进甲种头盔只，总费用为元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出取值范围，再表示出与的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键．
 

27.【答案】  或   

【解析】解：如图：

，，
，
当时，，，共线，，，共线，
，
是等边三角形，
；
当时，过作于，
如图：

，
，
，
，
，
；
如图：

同理可得，
，
当时，或；
故答案为：，或；
如图：

，，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
同理，
两块三角板重叠部分图形的面积为；
连接，如图：

，为中点，
，
的轨迹是以为直径的圆，
点的运动路径长为．
故答案为：．
当时，，，共线，，，共线，可得是等边三角形，故BC；当时，过作于，分两种情况画出图形，可得答案；
画出图形，可得，，故，同理，从而两块三角板重叠部分图形的面积为；
连接，由，为中点，知，故F的轨迹是以为直径的圆，用圆周长公式可得答案．
本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换，与圆有关的计算问题，解题的关键是读懂题意，画出图形，灵活运用旋转的性质．
 

28.【答案】 

【解析】解：在中，令得，
在二次函数为常数，且的图象上，不在二次函数为常数，且的图象上，
四个点、、、中恰有三个点在二次函数为常数，且的图象上，
二次函数为常数，且的图象上的三个点是，，，
把代入得：，
故答案为：；
设交轴于，如图：

设菱形的边长为，则，
，关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
把代入得：
，
解得或舍去，
菱形的边长为；
是为定值，理由如下：
过作轴于，过作轴于，如图：

点、的横坐标分别为、，
，，
，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
点、在轴的同侧，
，
；
过作轴于，过作轴于，
点、的横坐标分别为、，
，，
当，在轴左侧时，如图：

，，，，
同理可得≌，
，，
，，
，
，
，
；
当在轴左侧，在轴右侧时，如图：

，，，，
同理可得≌，
，，
，，
，
，
或；
当，在轴右侧时，如图：

，，，，
同理可得≌，
，，
，，
，
，

；
综上所述，、满足的等量关系式为或．
在中，令得，即知不在二次函数为常数，且的图象上，用待定系数法可得；
设交轴于，设菱形的边长为，可得，故AE，，代入得，可解得，故菱形的边长为；
过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，可得，，，，证明≌，有，，故，，即可得；
过作轴于，过作轴于，由点、的横坐标分别为、，知，，分三种情况：当，在轴左侧时，由≌，可得，，故；当在轴左侧，在轴右侧时，由≌，有，，知或；当，在轴右侧时，，，可得．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．