鲁科版高中物理必修第一册第2章匀变速直线运动习题课一匀变速直线运动的推论学案

匀变速直线运动的推论

　　[要点归纳]

1．平均速度公式：＝v＝。

意义：做匀变速直线运动的物体，在任意一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。

2．公式推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为vt。

由s＝v0t＋at2得，平均速度＝＝v0＋at         ①

由vt＝v0＋at知，当t′＝时，有v＝v0＋a·        ②

由①②得＝v

又vt＝v＋a·           ③

由②③解得v＝

综上所述有＝v＝。

[特别提醒]　公式＝v＝只适用于匀变速直线运动，而＝适用于所有运动。

[例题1]　一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δs所用时间为t1。紧接着通过下一段位移Δs所用时间为t2，则物体运动的加速度为(　　)

A.　　　　　　 B.

C. D.

[解析]　物体做匀加速直线运动通过前一段Δs所用的时间为t1，平均速度为1＝；物体通过后一段Δs所用的时间为t2，平均速度为2＝。由t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度可知，速度由1变化到2的时间为Δt＝，所以加速度a＝＝，A正确。

[答案]　A

 运动学公式的“巧选”

运动学公式中常涉及v0、vt、a、t、s五个物理量，根据已知量和待求量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果。

[针对训练]

1．假设赛车启动时从静止开始做匀加速直线运动，达到速度v所需时间为t，则此过程中赛车的运动距离为(　　)

A．vt　　　　　　　　　 B.

C．2vt D．不能确定

解析：选B　赛车的运动距离为s＝ t＝t＝，故B正确。

2.某物体做直线运动，其v­t图像如图所示，则0～t1时间内物体的平均速度(　　)

A．等于

B．大于

C．小于

D．条件不足，无法比较

解析：选B　若物体在0～t1时间内做匀加速直线运动，作出其v­t图像如图所示，由v­t图像与时间轴围成的面积表示位移可知，物体实际运动位移大小大于物体做匀加速直线运动的位移大小，运动时间相同，则物体实际运动的平均速度大于物体做匀加速直线运动的平均速度，即1＞＝，故选项B正确。

3．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。求：滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少。

解析：方法一：速度公式法

由v－v＝2as

解得a＝0.128 m/s2

由vt＝v0＋at

解得t＝25 s

所以，中间时刻t′＝ s

v＝v0＋at′＝3.4 m/s。

方法二：平均速度公式法

v＝＝3.4 m/s。

答案：3.4 m/s

[要点归纳]

1．中点位置的瞬时速度公式：v＝ 。

意义：在匀变速直线运动中，某段位移中点位置的瞬时速度等于这段位移初、末位置的速度的“方、均、根”值。

2．公式推导：如图所示，前一段位移有v2－v＝2a·，后一段位移有v－v2＝2a·，所以有v2＝(v＋v)，即有v＝ 。

[特别提醒]

(1)公式v＝ 只适用于匀变速直线运动。

(2)对于任意一段匀变速直线运动：v＞v，即无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度总大于中间时刻的瞬时速度。

[例题2]　做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过某位置时的速度为1 m/s，车尾经过该位置时的速度为7 m/s，则车身的中部经过该位置时的速度为(　　)

A．3.5 m/s B．4.0 m/s

C．5 m/s D．5.5 m/s

[解析]　运动是相对的。若以列车为参考系，则该位置相对于列车做匀加速直线运动，该位置通过车身中部的速度v＝ ＝5 m/s(通过变换参考系，转化为求中点位置的速度)。选项C正确。

[答案]　C

[针对训练]

1．光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是(　　)

A．物体运动全过程中的平均速度是

B．物体在时的瞬时速度是

C．物体运动到斜面中点的瞬时速度是

D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是

解析：选B　全程的平均速度＝＝，A正确；时，物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为vt，则＝，vt＝，中间位置的速度v＝ ＝ ＝，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。

2．由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过s位移时的速度是v，那么经过位移为2s时的速度是(　　)

A．v B.v

C．2v D．4v

解析：选B　由推论公式得v＝ ，故v′＝v，B正确。

3．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有(　　)

A．物体经过AB位移中点的速度大小为

B．物体经过AB位移中点的速度大小为

C．物体通过AB这段位移的平均速度为

D．物体通过AB这段位移，中间时刻的速度为

解析：选BCD　设经过位移中点时的速度为v，则对前半段的位移有2a·＝v2－v，对后半段的位移有2a·＝v－v2，由以上两式得v＝ ，选项A错误，选项B正确；对匀变速直线运动而言，总有＝v＝，选项C、D正确。

[要点归纳]

1．逐差相等公式：Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。

意义：做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为sⅠ，sⅡ，sⅢ，…，sN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等时间间隔内的位移差都相等。

2．公式推导：(如图所示)

s1＝v0T＋aT2，s2＝v0·2T＋a·T2，

s3＝v0·3T＋a·T2

……

所以sⅠ＝s1＝v0T＋aT2，sⅡ＝s2－s1＝v0T＋aT2，sⅢ＝s3－s2＝v0T＋aT2

……

故sⅡ－sⅠ＝aT2，sⅢ－sⅡ＝aT2

……

所以，Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。

[特别提醒]　(1)公式中“T”具有任意性。

(2)对于不相邻的任意两段位移：sm－sn＝(m－n)aT2。

(3)推论只适用于匀变速直线运动。

3．应用

(1)判断物体是否做匀变速直线运动

如果Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－sN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。

(2)求加速度：利用Δs＝aT2，可求得a＝。

[例题3]　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。

[思路点拨]　(1)画出该物体的运动过程，如图所示。

(2)B是由A到C的中间时刻。

[解析]　方法一　基本公式法

由位移公式得s1＝vAT＋aT2，s2＝vA·2T＋a(2T)2－，vC＝vA＋a·2T，将s1＝24 m，s2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。

方法二　平均速度公式法

连续两段时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s。由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝，又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。

方法三　逐差相等公式法

由Δs＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2；又s1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。

[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2

“一题多解、优中选优”

运动学问题一般具有多种分析方法，在解题时应培养自己用多种方法进行分析及解答的能力，找出最优解法，以便快速解题。　　　　

[针对训练]

1．(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”。据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情境，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑出了7.5 m，第3 s内跑出了12.5 m。则(　　)

A．猎豹的加速度为5 m/s2

B．猎豹的加速度为10 m/s2

C．猎豹加速到最大速度所用时间为3 s

D．猎豹加速到最大速度所用时间为6 s

解析：选AD　由逐差相等公式sⅡ－sⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度a＝5 m/s2，故A错误，B正确；猎豹的最大速度vt＝108 km/h＝30 m/s，由vt＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。

2．一质点做匀加速直线运动时，速度变化Δv时位移变化s1, 紧接着速度变化相同的Δv时位移变化s2，则该质点的加速度为(　　)

A．Δv2 B.

C. D．Δv2

解析：选C　因为质点做匀加速直线运动，加速度不变，所以速度变化量相同，时间相同，设时间间隔为T，则有Δv＝aT，s2－s1＝aT2，联立解得a＝，故C正确，A、B、D错误。

3．一小球沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)

A．2 m/s,3 m/s,4 m/s

B．2 m/s,4 m/s,6 m/s

C．3 m/s,4 m/s,5 m/s

D．3 m/s,5 m/s,7 m/s

解析：选B　根据物体做匀加速直线运动的特点，两点之间的平均速度等于时间中点的瞬时速度，故B点的速度就是AC段的平均速度，vB＝＝4 m/s，又因为连续相等时间内的位移之差等于恒量，即Δs＝BC－AB＝aT2，解得a＝1 m/s2，再由速度公式v＝v0＋at，解得vA＝2 m/s，vC＝6 m/s，故选项B正确。

　　[要点归纳]

1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)如图所示

(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比：

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(由v＝at可推得)

(2)1T内、2T内、3T内……nT内位移之比：

s1∶s2∶s3∶…∶sn＝12∶22∶32∶…∶n2。(由s＝at2可推得)

(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……第N个T内的位移之比：

sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2N－1)。(由sⅠ＝s1，sⅡ＝s2－s1，sⅢ＝s3－s2，…可推得)

2．按位移等分(设相等的位移为s0)如图所示

(1)通过s0,2s0,3s0，…，ns0所用时间之比：

t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。(由s＝at2，可得t＝，所以可推得)

(2)通过第一个s0、第二个s0、第三个s0……第N个s0所用时间之比：

tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。(由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…可推得)

(3)s0末、2s0末、3s0末……ns0末的瞬时速度之比：

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。(由v＝2as，可得vt＝，所以可推得)

[特别提醒]　(1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。

(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用前面的比例关系可以快速解答此类问题。(逆向思维法)

[例题4]　(多选)如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一颗子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　)

A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1

B．v1∶v2∶v3＝∶∶1

C．t1∶t2∶t3＝1∶∶

D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1

[思路点拨]　(1)把子弹的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。

(2)本题属于按位移等分的情境。

[解析]　子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶，则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确。子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动通过每个木块所用时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确。

[答案]　BD

匀变速直线运动中“逆向思维法”

“逆向思维”是把人们通常思考问题的思维反过来思考的思维方式，运用逆向思维分析和解决问题的方法叫作逆向思维法。所谓逆向思维，简单来说就是“倒过来想一想”。匀变速直线运动中常把末速度为0的匀减速直线运动可看成初速度为0、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。　　　　

[针对训练]

1．(多选)对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是(　　)

A．物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5

B．物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为1∶3∶5

C．物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为1∶∶

D．物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为1∶∶

解析：选ACD　由v＝at得v∝t，故物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5，A正确；由s＝at2得s∝t2，故物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为12∶32∶52，B错误；由v2＝2as得v∝，故物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为1∶∶，C正确；由s＝at2得t∝，物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为1∶∶，D正确。

2．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为(　　)

A．1∶3∶5 B．1∶4∶9

C．1∶2∶3 D．1∶∶

解析：选A　根据初速度为0的匀加速直线运动的推论可知，物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比s1：s2：s3＝1∶3∶5，而平均速度＝，且三段时间都是1 s，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确。

3.图中ae为珠港澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则通过ce段的时间为(　　)

A．t B.t

C．(2－)t D．(2＋)t

解析：选C　对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，则由题可知tab∶tbc∶tcd∶tde＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)，所以tab∶tce＝1∶(2－)，因此tce＝(2－)t，选项C正确。

1．冰壶的运动可以看成匀减速直线运动，假设冰壶经过6 s停止运动，那么冰壶在先后连续相等的三个2 s内通过的位移之比s1∶s2∶s3为(　　)

A．1∶2∶3　　　　　 B．5∶3∶1

C．1∶4∶9 D．3∶2∶1

解析：选B　冰壶的运动过程可以看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动。根据初速度为零的匀加速直线运动的特点，该逆过程在三个连续2 s内的位移之比为1∶3∶5，所以冰壶在连续相等的三个2 s内的位移之比为5∶3∶1。故B正确。

2．一列做匀加速直线运动的火车，从某时刻开始计时，第1 min内火车前进了240 m，第6 min内火车前进了1 140 m，则该火车的加速度为(　　)

A．0.01 m/s2 B．0.03 m/s2

C．0.05 m/s2 D．0.1 m/s2

解析：选C　对于匀变速直线运动有Δs＝aT2。此题中T＝60 s，s1＝240 m，s6＝1 140 m，所以a＝＝0.05 m/s2。故C正确。

3．一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零。已知运动中滑块加速度恒定，若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为(　　)

A.t B．(2＋)t

C．3t D．2t

解析：选B　利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动。设后所需时间为t′，则＝at′2，全过程有L＝a(t＋t′)2，解得t′＝(＋1)t，所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确。

4．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)

A．物体的加速度为20 m/s

B．物体的加速度为25 m/s2

C．CD＝4 m

D．CD＝5 m

解析：选BC　由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即Δs＝aT2可得a＝＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。

5．如图，一个冰球在冰上向右做匀减速滑行时，依次通过长度为L＝ 3 m的两段相等的路程，并继续向前滑行，它通过第一段路程历时1 s，通过第二段路程历时2 s，求：

(1)冰球的加速度大小a；

(2)冰球通过B点时的速度大小vB。

解析：(1)对AB段，其中间时刻的速度v1＝＝＝3 m/s，

对BC段，其中间时刻的速度v2＝＝＝1.5 m/s，v1到v2经历的时间t＝＋＝1.5 s，

根据公式vt＝v0＋at，冰球加速度a＝＝＝－1 m/s2。故冰球的加速度大小为1 m/s2。

(2)根据速度—时间关系式

vt＝v0＋at，

且冰球速度由v1到vB，历时0.5 s，则

vB＝3 m/s－1 m/s2×0.5 s＝2.5 m/s。

答案：(1)1 m/s2　(2)2.5 m/s