鲁科版高中物理必修第一册第2章匀变速直线运动学法指导课追及相遇问题学案

学法指导课　追及、相遇问题

题型一　追及、相遇中的极值问题

　　例　一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以v0=6 m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车,求:

(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远,最远距离是多少?

(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度大小。

答案　(1)2 s　6 m

(2) 12 m/s

解析　方法一　分析法

(1)当汽车的速度为v=6 m/s时,二者相距最远,所用时间为

t==2 s

最远距离为Δs=v0t-at2=6 m

(2)两车距离最近时有

v0t1=a

解得t1=4 s

汽车的速度为

v'=at1=12 m/s

方法二　图像法

(1)汽车和自行车的v-t图像如图所示,由图像可得t=2 s时,二者相距最远,最远距离等于图中阴影部分的面积,即

Δs=×6×2 m=6 m

(2)两车距离最近时,即两个v-t图线下方面积相等,由图像得此时汽车的速度为v=12 m/s

方法三　函数法

(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为Δs=v0t-at2

因二次项系数小于零

当t==2 s时Δs有最大值

Δsm=v0t-at2=6×2 m-×3×22 m=6 m

(2)当Δs=v0t-at2=0时,两车相遇

解得t'=4 s,汽车的速度为v=at'=12 m/s

解题感悟

1.讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系

　　2.解答追及和相遇问题的常用方法:

(1)物理分析法:求追及问题中的极值,一般从“速度相等”入手,有两种情况:

①当后车比前车运动快时,两车距离减小,速度相等时距离最小。

②当后车比前车运动慢时,两车距离增大,速度相等时距离最大。

(2)数学函数法:

①根据两车位移差随时间变化的关系式,求二次函数的极值,即两车最近或最远距离。

②根据位移关系方程,由一元二次方程的判别式,判断是一个解、两个解还是无解,确定相遇次数。

(3)图像法:

根据v-t图线下方“面积”,计算两物体位移差,结合初始距离判断情况。

常见的追及、相遇问题的图像分析方法:

　　注:(1)s0为开始时两物体之间的距离。

(2)Δx为从开始追赶到两者速度相等时,后面的物体多发生的位移。

(3)时间关系t2-t0=t0-t1。

(4)v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度。

1.自行车和汽车同时驶过平直公路上的同一地点,此后其运动的v-t图像如图所示,自行车在t=50 s时追上汽车,则              (　　)

A.汽车的位移为100 m

B.汽车的运动时间为20 s

C.汽车的加速度大小为0.25 m/s2

D.汽车停止运动时,二者间距最大

答案　C　t=0时刻自行车和汽车位于同一地点,自行车在t=50 s时追上汽车,两者的位移相等,由图线与时间轴包围的面积表示位移求出自行车的位移,从而得到汽车的位移,根据平均速度公式求汽车运动的时间,由速度公式求加速度,通过分析两者速度关系分析得出两者何时间距最大。汽车的位移等于自行车的位移s=v自t=4×50 m=200 m,故A项错误;设汽车运动时间为t0,则有s=t0,得t0== s=40 s,故B项错误;汽车的加速度大小为a== m/s2=0.25 m/s2,故C项正确;在两者速度相等前,汽车的速度大于自行车的速度,汽车在自行车的前方,两者间距增大,速度相等后,汽车的速度小于自行车的速度,汽车仍在自行车的前方,两者间距减小,所以两者速度相等时间距最大,故D项错误。

2.火车以速率v1向前行驶,司机突然发现在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车,它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动,于是司机立即使火车做匀减速运动,加速度大小为a,要使两车不相撞,求a的最小值。

答案　

解析　设经过t时刻两车相遇,则有v2t+s=v1t-at2,整理得

at2+2(v2-v1)t+2s=0,要使两车不相撞

Δ=b2-4ac=4(v2-v1)2-8as≤0

解得a≥

所以最小加速度为

题型二　刹车中的追及、相遇问题

　　例　某高速公路同一直线车道上同向匀速行驶的轿车和货车,其速度大小分别为v1=40 m/s、v2=25 m/s,轿车在与货车距离s0=22 m时才发现前方有货车,若此时轿车立即刹车,则轿车要经过s=160 m才停下来,两车均可视为质点。

(1)若轿车刹车时货车以v2匀速行驶,通过计算分析两车是否会相撞?

(2)若轿车在刹车的同时给货车发信号,货车司机经t0=2 s收到信号后立即以加速度大小a2=2.5 m/s2匀加速前进,通过计算分析两车会不会相撞?

答案　见解析

解析　(1)轿车经过s=160 m才停下来,由=2a1s得

轿车刹车过程的加速度大小

a1=5 m/s2

当两车的速度相等时

v1-a1t1=v2

得t1==3 s

轿车前进的距离

s1=t1=97.5 m

货车前进的距离

s2=v2t1=75 m

因s1-s2=22.5 m>s0,所以两车会相撞

(2)当两车的速度相等时

v1-a1t=v2+a2(t-t0)

轿车前进的距离

s1'=v1t-a1t2

货车前进的距离

s2'=v2t0+v2(t-t0)+a2(t-t0)2

得s1'= m,s2'= m

因s1'-s2'≈21.7 m<s0,所以两车不会相撞

学法指导

刹车中的追及和相遇问题要注意的两种情况:

1.当后面的车刹车时,与前面车辆恰好不相撞的条件是:速度相等时刚好追上。

2.当前面的车刹车时,先要计算刹车停止的时间和位移,根据位移关系,判断相遇情况:

(1)若在前车停止前相遇,可以根据位移关系直接列方程求解。

(2)若在前车停止后相遇,需要分别计算停车前后的运动时间和位移。

1.在有雾霾的早晨,一辆小汽车以25 m/s的速度行驶在平直高速公路上,突然发现正前方50 m处有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶,司机紧急刹车后小汽车做匀减速直线运动,在前1.5 s内的v-t图像如图所示,则              (　　)

A.第3 s末小汽车的速度会减到10 m/s

B.在t=3.5 s时两车会相撞

C.由于刹车及时,两车不会相撞

D.两车最近距离为30 m

答案　C　由v-t图像可知,司机有0.5 s的反应时间,小汽车减速时的加速度大小a= m/s2=5 m/s2,故第3 s末小汽车的速度v=v0-at=25 m/s-5×2.5 m/s=12.5 m/s,A项错误;当两车达到共同速度时,25 m/s-5t0=10 m/s,解得t0=3 s,即在3.5 s时达到共同速度,此时两车之间距离最近Δs=50 m+10×3.5 m-(25×0.5+×3) m=20 m,B、D错误,C项正确。

2.如图所示,A、B两物体在同一直线上运动,当它们相距7 m时,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以4 m/s的速度向右做匀速运动,而物体B此时速度为10 m/s,方向向右,它在摩擦力作用下做匀减速运动,加速度大小为2 m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为              (　　)

A.7 s　　　B.8 s　　　C.9 s　　　D.10 s

答案　B　物体B做匀减速运动,到速度为0时,所需时间t1= s=5 s,运动的位移sB== m=25 m,在这段时间内物体A的位移sA=vAt1=4×5 m=20 m;显然还没有追上,此后物体B静止,设追上所用时间为t,则有4t=s+25 m,所以t=8 s,故选B。

题型三　有限速下的追及、相遇问题

　　例　一辆摩托车能达到的最大速度为30 m/s,要想在3 min内由静止起沿一条平直公路追上前面1 000 m处正以20 m/s的速度匀速行驶的汽车,则摩托车至少以多大的加速度启动?(保留两位有效数字)

甲同学的解法是:设摩托车恰好在3 min时追上汽车,则at2=vt+s0,代入数据得a=0.28 m/s2。

乙同学的解法是:设摩托车追上汽车时,摩托车的速度恰好是30 m/s,则=2as=2a(vt+s0),代入数据得a=0.10 m/s2。

你认为他们的解法正确吗?若错误,请说明理由,并写出正确的解法。

答案　见解析

解析　甲错,因为vm=at=0.28×180 m/s=50.4 m/s>30 m/s

已经超过了最大速度

乙错,因为t== s=300 s>180 s

已经超过了最长时间

正确解法:通过甲、乙的计算可知:摩托车不可能一直加速追上汽车,只有先加速再匀速,才能在满足条件的情况下追上汽车

摩托车的最大速度vm=at1

a+vm(t-t1)=1 000 m+vt

解得a≈0.56 m/s2

学法指导

在追及问题中,不少问题中会有多个限定条件:例如“最大速度”“最大距离”和“最长时间”等,这类问题中要注意研究对象的运动有多种可能:可能是一直加速追上,也可能是先加速再匀速追上,要先根据限定条件计算,判断是哪种运动情况,再列出相应的关系式求解。

要熟练掌握以下关键条件(1)一定能追上:速度相等时两者距离最大。(2)有可能追上:在两者速度相等时①没有追上,此时距离最小;②刚好追上,只能相遇1次或恰好相遇;③超过,相遇2次或在此之前已经发生相撞,从时间、位移、速度三个角度列式求解。

一辆货车正以12 m/s的速度在平直公路上前进,发现货物掉下后,立即关闭油门以大小为2 m/s2的加速度做匀减速直线运动,货车开始做匀减速直线运动的同时,在其后16 m处一辆自行车上的人立即拾起货物由静止出发,以2 m/s2的加速度同方向追赶货车,已知自行车能达到的最大速度为8 m/s。求:

(1)货车做匀减速运动的位移大小;

(2)自行车至少经过多长时间才能追上货车。

答案　(1)36 m　(2)8.5 s

解析　(1)已知货车的初速度为v1=12 m/s,加速度大小为a1=2 m/s2

货车做匀减速运动的时间为

t1== s=6 s

货车做匀减速运动的位移为

s1== m=36 m

(2)已知该自行车的加速度为a2=2 m/s2,最大速度为v2=8 m/s

自行车做匀加速运动达到最大速度的时间和位移分别为

t2== s=4 s,

s2== m=16 m

之后自行车以最大速度做匀速直线运动,其位移为

s3=v2(t1-t2)=8×2 m=16 m

由于s2+s3<s1+16 m,故货车停止运动时,自行车还没有追上货车,然后自行车继续以最大速度匀速运动追赶货车,则

s1+16 m-s2-s3=v2t3

代入数据解得t3=2.5 s

自行车追上货车的时间

t=t1+t3=8.5 s