高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第四章 光综合与测试导学案

学法指导课 几何光学中的“玻璃砖”模型

互动探究·关键能力

题型一 三角形玻璃砖模型

例 如图，三角形 为某透明介质的横截面， 为 边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自 以角 入射，第一次到达 边恰好发生全反射。已知 ， 边长为 ，该介质的折射率为 。求：

（1）入射角 ；

（2）从入射到发生第一次全反射所用的时间（设光在真空中的传播速度为 ，可能用到 或 ）。

答案：（1） （2）

解析：（1）如图所示，根据全反射定律可知，光线在 面上 点的入射角等于临界角 ，由折射定律得

代入数据得

设光线在 面上的折射角为 ，由几何关系得

由折射定律得

联立代入数据得

（2）在 中，根据正弦定理得

设所用时间为 ，光线在介质中的传播速度为 ，得

联立解得

学法指导

几何光学的基本原理及应用

几何光学就是以光线为工具，研究光的传播规律。解几何光学的题目，首先根据几何光学的基本原理画出光路图，然后利用几何关系找出相应的角、边关系。

几何光学研究的是光线传播的规律，主要包括五条基本规律。

1.光的直线传播规律：光在同一种均匀介质中沿直线传播。

2.光的反射定律

（1）反射光线与入射光线、法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧。

（2）反射角等于入射角。

3.光的折射定律折射光线与入射光线、法线在同一平面内，折射光线、入射光线分居在法线两侧；入射角的正弦与折射角的正弦成正比。公式 ，其中 为入射光线与法线的夹角， 为折射光线与法线的夹角。

4.光的全反射规律发生全反射的条件是：

（1）由光密介质射向光疏介质；

（2）入射角 临界角 ，其中 。

5.光的可逆原理在反射、折射和直线传播中，光路都是可逆的。

迁移应用

1.如图所示，一棱镜的截面为直角三角形 ， ，斜边 。棱镜材料的折射率为 。在此截面所在的平面内，一条光线以45°的入射角从 边的中点 射入棱镜。画出光路图，并求光线从棱镜射出的点的位置（不考虑光线沿原路返回的情况）。

答案：见解析

解析：设入射角为 ，折射角为 ，由折射定律得

解得

如果入射光线在法线的右侧，光路图如图甲所示。设出射点为 ，由 得光线垂直于 射出，且由几何关系可得

甲

即出射点在 边上离 点 的位置

如果入射光线在法线的左侧，光路图如图乙所示

乙

设折射光线与 边的交点为 。由几何关系可知，在 点的入射角

设全反射的临界角为 ，则

解得

因此，光在 点发生全反射

设此光线的出射点为 ，由几何关系得

，

联立得

即出射点在 边上离 点 的位置

2.如图，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“ ”（图中 点），然后用横截面为等边三角形 的三棱镜压在这个标记上，小标记位于 边上。 位于 边上，过 点作 边的垂线交 于 。该同学在 点正上方向下顺着直线 的方向观察，恰好可以看到小标记的像；过 点作 边的垂线交直线 于 ； ， 。求三棱镜的折射率。（不考虑光线在三棱镜中的反射）

答案：

解析：过 点作 边的垂线 ，连接 ，则 为来自 点的光线在 点的入射角；设该光线在 点的折射角为β，如图所示

根据折射定律有

式中 为三棱镜的折射率

由几何关系可知

在 中有

解得

根据题给条件可知， 为等腰三角形，有

联立解得

题型二 半圆形玻璃砖模型

例 如图，一半径为 的玻璃半球， 点是半球的球心，虚线 表示光轴（过球心 与半球底面垂直的直线）。已知玻璃的折射率为 。现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）。求：

（1）从球面射出的光线对应的入射光线与光轴距离的最大值；

（2）距光轴 的入射光线经球面折射后与光轴的交点到 点的距离。

答案：（1） （2）

解析：（1）如图，从底面上 处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为 ，当 等于全反射的临界角 时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为 。

设 是玻璃的折射率，由临界角的定义有

由几何关系有

联立解得

（2）设与光轴相距 的光线在球面 点发生折射时的入射角和折射角分别为 和 ，由折射定律有

设折射光线与光轴的交点为 ，在 中，由正弦定理有

由几何关系有

联立解得

方法总结

光的折射和全反射问题的解题要点

迁移应用

1.如图，半径为 的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于 点。一细束单色光经球心 从空气中射入玻璃体内（入射面即纸面），入射角为45°，出射光线射在桌面上 点处。测得 之间的距离为 。现将入射光束在纸面内向左平移，求射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时，光束在上表面的入射点到 点的距离。（不考虑光线在玻璃体内的多次反射）

答案：

解析：当光线经球心 入射时，光路图如图 所示。设玻璃的折射率为n，由折射定律有 ，入射角 ， 为折射角。

为直角三角形，因此  发生全反射时，临界角 满足

在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如图 所示。设此时光线入射点为 ，折射光线射到玻璃体球面的 点。由题意有

在 内，根据正弦定理有

联立以上各式解得

2.一半径为 的半圆形玻璃砖，横截面如图甲所示。现有一单色光从图中的 点平行于底面入射，经半圆形玻璃砖折射，折射光线相对入射光线的方向偏转了15°，已知 点到底面高度为 ，现将一束该单色光与玻璃砖的底平面成 且与玻璃砖横截面平行的平行光入射到玻璃砖的半圆柱面上，如图乙所示。经柱面折射后，有部分光（包括与柱面相切的入射光）直接从玻璃砖底面射出。若忽略经半圆柱内表面反射后射出的光，求：

（1）半圆形玻璃砖的折射率；

（2）半圆形玻璃砖底面透光部分的宽度。

答案：（1） （2）

解析：（1）由题意可画出甲图中的光路图（如图1），由几何关系可得这时入射角 ，折射角 ，由折射定律有

图1

（2）由图乙可判断，沿半径方向射到圆心 的光线1（见图2），它在圆心处的入射角 ，恰好等于全反射临界角 ，故发生全反射。

在该光线1左侧的入射光线，经过柱面折射后，射在玻璃砖底面上的入射角大于临界角，因而在底面上发生全反射，不能直接折射出。

在该光线1右侧的光线经柱面折射后，射在玻璃砖底面上的入射角小于临界角，因此从底面射出。

在入射光线中，与玻璃砖相切的光线2（见图2），在玻璃砖中折射角为 ，折射光线恰好与底部垂直，出射点与圆心距离为

所以，圆形玻璃砖底面透光部分的宽度为

图2