2022年湖北省随州市广水市中考数学适应性试卷（4月份）（含解析）

2022年湖北省随州市广水市中考数学适应性试卷（4月份）

一、选择题（本大题共9小题，共27分）

1. 的倒数是

A.  B.  C.  D.

2. 在一次数学测试中，小明成绩分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是

A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差

3. 如图是由个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，直线，于点，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 九章算术是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重斤古时斤两雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重两，燕重两，可列出方程组

A.  B.
C.  D.

6. 如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，与直角边相交于点若的面积为，则的值是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，是等边的内切圆，分别切，，于点，，，是上一点，则的度数是

A.
B.
C.
D.

8. 已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑自行车匀速行驶到达，乙骑摩托车，比甲迟出发，行至处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶他们离开地的路程与甲行驶时间的函数图象如图所示当乙再次追上甲时距离地

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数与轴交于，两点，与轴交于点下列说法正确的是
   线段的长度为；抛物线的对称轴为直线；是此抛物线的对称轴上的一个动点，当点坐标为时，的值最大；若是轴上的一个动点，是此抛物线上的一个动点，如果以，，，为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点有个．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

10. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
11. 在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团月日宣布：在广东、江苏等地投资亿元，开工建设个新能源项目，预计提供万个就业岗位将“亿元”用科学记数法表示为______元．
12. 如图所示，是的直径，弦于，，，则的半径是______．
    
     

13. 如图，中，点，，分别为，，的中点，点，，分别为，，的中点，若随机向内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为______．

14. 对于实数，规定，例如，，那么计算的结果是______ ．
15. 如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接若点的速度是点的速度的倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

16. 先化简，再求值：，其中．
17. 如图，在菱形中，对角线，交于点，交延长线于，交延长线于点．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求的长．

18. 我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
    根据图中信息，解答下列问题：
    此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
    补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
    若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
    李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．
19. 如图所示，建筑物一侧有一斜坡，在斜坡坡脚处测得建筑物顶部的仰角为，当太阳光线与水平线夹角成时，建筑物的影子的一部分在水平地面上处，另一部分影子落在斜坡上处，已知点的距水平地面的高度米，斜坡的坡度为即，且，，，在同一条直线上．测倾器的高度忽略不计，结果保留根号
    求此时建筑物落在斜坡上的影子的长；
    求建筑物的高度．

20. 如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为，的延长线与的延长线相交于点．
    求证：是的切线；
    若的半径为，，求的长度．
    
     

21. 如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形组成，矩形的长是，宽是按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，为一排平行于地面的加湿管．
    求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
    若加湿管的长度至少是，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
    若在加湿管上方还要再安装一排恒温管两排管道互相平行，且恒温管与加湿管相距，恒温管的长度至少是多少米？

22. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”、例如图，图，图中，，是的中线，，垂足为像这样的三角形均为“中垂三角形”设，，．
    
    【特例探索】：
    如图，当，时，______，______；
    如图，当，时，求和的值．
    【归纳证明】：
    请你观察中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你发现的关系式．
    利用中的结论，解答下列问题：在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图所示，求的值．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点，其中，．
    求该抛物线的解析式；
    如图，点，是线段上的两点在的右侧，，过点作轴，交直线上方抛物线于点，过点作轴于点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
    如图，在取得面积最大的条件下，连接，将线段沿射线方向平移，平移后的线段记为，为轴上的动点，是否存在以为直角边的等腰？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
的倒数是，
故选：．
根据倒数的意义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】

【解析】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：．
根据中位数的意义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
 

3.【答案】

【解析】解：从左面看易得下面一层有个正方形，上面一层左边有个正方形，如图所示：．
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】解：于点，，
．
，即．
．
直线，
．
故选：．
先在直角中可求得的度数，然后平行线的性质可求得的度数．
本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：根据题意，得：
，
故选：．
根据“五只雀、六只燕，共重斤等于两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：，
．
故选：．
过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，连接 ， ，求出 的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接 ， ．

是 的内切圆， ， 是切点，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：由图象可知：甲的速度为：，
乙追上甲时，甲走了，此时甲所用时间为：，
乙所用时间为：，
乙的速度为：，
设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为，
则：，
解得：，
此时甲距离地为：，
故选：．
根据图象信息先求出甲、乙速度，然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间，再求距离地的距离即可．
本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是读取图象中信息求出甲、乙的速度．
 

9.【答案】

【解析】解：二次函数与轴交于，两点，与轴交于点，
时，，当时，则，解得，，
，，，
，，
，故说法正确；
，
抛物线的对称轴为直线，故说法正确；
，，
直线为，
把代入得，，
当点坐标为时，的值最大，故说法错误；
当点在轴上方时，，则或，
当点在轴下方时，，则，
综上所述：点的坐标分别是或或，共个，故说法错误；
故选：．
求得抛物线与坐标轴的交点，然后根据勾股定理求得，即可判断；根据对称轴方程求得对称轴，即可判断；求得直线的解析式，求得直线与对称轴的交点即可判断；分两种情况讨论根据平行四边形的性质求得的坐标，即可判断．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定，此题综合性强，有一定的难度．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式中被开方数的取值范围，关键把握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得 ，再解不等式即可．
【解答】
解： 二次根式 在实数范围内有意义，
被开方数 为非负数，
，
解得： ．
故答案为： ．   

11.【答案】

【解析】解：亿．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此解答即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
连接 ，由圆周角定理和垂径定理得出 ， ，由直角三角形的性质得出 ， ， ，得出 ， ，求出 ．
【解答】
解：连接 ，如图所示：

是 的直径，弦 于 ，
， ，
，
，
在 中， ，
， ，
， ，
，
即 的半径是 ；
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：点，，分别为，，的中点，
，
又点，，分别为，，的中点，
，
米粒落在图中阴影部分的概率为，
故答案为：．
利用三角形中位线定理得出，根据米粒落在图中阴影部分的概率即为阴影部分与三角形的面积比即可得．
本题主要考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
，，，，，，，，
，，，，


．
故答案为：．
根据已知中的规定，分别计算，，，，的结果，发现算，从而可得结论．
本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
 

15.【答案】；

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于 首先利用相似三角形的性质证明 ，推出 ， ，当点 与 重合时， 的值最大，由勾股定理和直角三角形的性质求出 ， 即可解决问题．
【解答】
解：连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 于 ．
 
四边形 是矩形， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
∽ ，
，
，
，
， ，
当点 与 重合时， 的值最大，
此时 ， ，
，
， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，由于 和 点都是定点，所以其中点 也是定点，当 ， ， 共线时，此时 最小，
的最小值为 ，
故答案为 ， ．   

16.【答案】解：原式，
当时，
原式．

【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】证明：四边形是菱形，
．
，
四边形是平行四边形．
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，然后由勾股定理得，则，最后由勾股定理求解即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
 

18.【答案】，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为．

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：如图，作于则四边形是矩形．

，，
，米，
此时建筑物落在斜坡上的影子的长为米．

，，
，
，设米，则米，米，
在中，，
，

解得米，
米．

【解析】如图，作于则四边形是矩形．解直角三角形求出即可．
设米，在中，根据，可得，由此构建方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．
 

20.【答案】证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
于点，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：如图，，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长度为．

【解析】连接，由、证明，则，得，所以，即可证明是的切线；
由得，根据勾股定理求得，则，再证明∽，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，即可求得的长．
此题重点考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：将点，分别代入中，
得：，
解得：，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
抛物线的函数关系式为，拱顶到地面的距离为米；
由题意得：米，
将代入中，
解得：，
米，
加湿管与拱顶的距离至少是米；
米，
由题意得：，
当时，
解得：，，
，抛物线开口向下，
当时，或，
，
恒温管的长度至少是米．

【解析】根据已知条件，用待定系数法求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；
先求出点横坐标，再代入中解析式求出，然后用即可；
先用求出，先后代入解析式解方程，再求值即可．
本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，连接，则是的中位线，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
也是等腰直角三角形，
，，
，
，；
故答案为：，；
如图，
连接，则是的中位线．
，，，
，，
，，
，，
，，
，；
，理由如下：
如图，连接，
设，，
则，
，，
，，
，，
，，
．
，，
，则，
同理，
，
，
，，
，
，
同理：，
则；
故答案为：．
先判断是等腰直角三角形，再得到也是等腰直角三角形，最后计算即可；
先设，，表示出线段，，最后利用勾股定理即可．
证出，，则，即可求解．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解本题的关键．
 

23.【答案】解：将，代入，得
，解得：，
抛物线的解析式为：．
过点作于点，
令，得，
解得：，，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
解得：，
设直线的解析式为：，则
，解得：，
直线的解析式为：，
设，，则，
，
配方得：，
，
时，有最大值为，
点的坐标为时，的面积最大值为．
设，，
，，线段沿射线方向平移，
，
如图，当点在轴右侧，时，，
过点作轴于点，过点作于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，舍去；
如图，当点在轴右侧，时，，
过点作轴于点，过点作的延长线于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，
，，舍去；
如图，当点在轴左侧，时，，
过点作轴于点，过点作于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，
，，
点的坐标为；
如图，当点在轴左侧，时，，
过点作轴于点，过点作的延长线于点，则，，
，
，
≌，
，，
，，，，
，且，
，，
点的坐标为；
综上所述，是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标为或

【解析】将点和点分别代入求得和的值，得到抛物线的解析式；
过点作直线于点，由轴得到，然后由等角的余弦值相等得到的长，再求得直线的解析式，然后设点的坐标，得到点的坐标，进而得到的长，即可求得的面积，进而利用二次函数的性质求得的面积最大值和点的坐标；
分情况讨论：当点在轴的右侧和左侧时，分别讨论点为直角顶点和点为直角顶点几种情况，然后作出辅助线构造型全等，然后设点、点和点的坐标，根据全等三角形的性质列出方程求得点的坐标．
本题考查了二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．