浙江省瑞安市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019学年度第二学期

2019级高一期末考试——数学试题卷

（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.椭圆的焦点坐标是（    ）

A．，   B．，  C．，   D．，

2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，则

3.设，则“”是“”的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（    ）

A．        B．         C．         D．

5．设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

6.已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l过点P （－1,6），且与线段AB不相交，

则直线l斜率的取值范围是（  ）

A． B． C．     D．

7.点P从O出发, 按逆时针方向沿周长为的图形运动一周, 点O 、P 的距离（）与点P 走过的路程()的函数关系如图所示.那么点P所走过的图形是图中的(      ).

A．B． C． D．

8.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（   ）

A.            B.           C.           D.

9.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，是线段的中点，若点分别为线段上的动点，则的最小值为（    ）

A．          B．          C．            D．

10.设为正实数，数列满足，,则（    ）

A.任意，存在，  使得   B.存在，存在，  使得

C.任意，存在，使得  D.存在，存在，使得

二、填空题  本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.已知为实数，直线，直线，

(1)若，则__________；

(2)若，则__________． 

12.在数列中，是方程的两根，表示数列的前项和

(2)若是等比数列，则_______; 

(1)若是等差数列，则         .

13.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________.

14.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.

15.设等比数列的前项和是，若,则________.

16.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，

若,则实数的取值范围是           

17.已知椭圆的方程为，若为的右焦点，为的上顶点，为上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为__________．    

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.已知：实数使得椭圆的离心率.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19.点是圆上一动点，点.

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，求的取值范围.

20.如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

21.已知数列满足，且.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，

若对任意的，恒成立，求的取值范围.

22.已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．

2019级高一期末考试——数学试题答案解析

（本试卷满分共150分，考试时间:120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1--5  B C C A D   6--10 C B A D D

二、填空题  本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

 11.【答案】 4    -9     12. 【答案】(1). -5    (2). 18

   13.【答案】(1).   (2).  14.【答案】     

15.【答案】   16.【答案】  17.【答案】

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.已知：实数使得椭圆的离心率.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【试题解析】

（1）当时，∵，∴，∴，

当时，∵，∴解得.

综上所述实数的取值范围是或.

（2）∵，是的充分不必要条件，

∴. 所以，解得.

19.点是圆上一动点，点.

（Ⅰ）若，求直线的方程；

（Ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为，

求的取值范围.

解：（Ⅰ）.

∵，，，∴，是的切线.

设直线，即，∴，解得：.

∴直线的方程为：.

（Ⅱ）∵，∴在以为直径的圆上

，设，，，

与有交点，∴.

20.如图，已知四棱锥中，底面是矩形，

，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

解：（1）如图，取，的中点，，连接，，，

因为，，所以，，，

又，所以，，又因为，所以，

所以，即，

平面，

所以平面，而平面，所以平面平面；

（2）设到平面的距离为，因为，，

所以，由（1），，又，所以，平面，

所以平面，因为，所以点到平面的距离为，

所以，所以，

故直线与平面所成角的正弦值为.

21.已知数列满足，且.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.

（1）证明：因为，所以

即，则

从而数列是以6为首项，2为公比的等比数列

（2）解：由（1）知，即

所以

当为偶数时，

当为奇数时，

当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则；

当为奇数时，是递增的，此时，则.

综上，的取值范围是

22.已知椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点．

【详解】（1）由题意，椭圆过点，即，解得，

由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为：.

（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，

则，所以，解得，

当直线斜率存在时，设直线方程为，

联立方程组，得，

设，则 （*），

则，

将*式代入化简可得：，即，整理得，

代入直线方程，得，

即，联立方程组，解得，恒过定点.