河北省邯郸市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

2018-2019学年度第二学期期末考试

高一数学试卷

   本卷 满分：150分   考试时间：120分钟   

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)              

1.在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A．                 B．                  C． 1                      D． 3

2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，

如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f()等于(　　)

A．                  B．                       C．                      D． 1

3.若向量a＝，|b|＝2，若a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　)

A．                B．                    C．                   D．

4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pan＋q，且a2＝3，a4＝15，则p，q的值为(　　)

A．      B．               C．或    D． 以上都不对

5.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f，则(　　)

A．a＋b＝0     B．a－b＝0        C．a＋b＝1      D．a－b＝1

6.△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B＋3cos(C)＋2＝0，b＝，则c：sinC等于(　　)

A． 3：1          B．：1             C．：1               D． 2：1

7.若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　)

A． 39　　　  B． 20                C． 19.5　   　　  D． 33

8.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝，n＝(cosA，sinA)，若m与n夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于(　　)

A．                      B．                         C．               D．

9.在数列{an}中，如果a1，a2－a1，a3－a2，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，那么an等于

(　　)

A．       B．    C．    D．

10.已知，则的最小值是(　　)

A．         B． 4           C．       D． 5

11.若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)

A． (－，＋∞)     B． [－，1]       C． (1，＋∞)    D． (－∞，－)

12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是(　　)

A．             B．                      C． 3                         D．

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)                                                                         

13.已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝______.

14.若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是{x|x<－2或x>－1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集是____________．

15.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.

16.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()＝________.

三、解答题(共6小题,共70分)                                                                         

17.（10分）已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，－1)，m＝a＋3b，n＝a－kb.

(1)若m∥n，求k的值；

(2)当k＝2时，求m与n夹角的余弦值．

18. （12分）已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sinsin.

(1)若tanα＝2，求f(α)；

(2)若x∈，求f(x)的取值范围．

19. （12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.

(1)若sinB＝cosC，求tanC的大小；

(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c.

20. （12分）设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

21. （12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

22. （12分）设二次函数f(x)＝ax2＋bx.

(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；

(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．

答案

1. B

2. D

3. A

4. C

5. C

6. D

7. D

8. B

9. C

10. C

11. A

12. A

13.

14. {x|－1<x<－}

15.

16. 3

17.解　(1)由题意，得m＝(1，－2)，n＝(－2－k,1＋k)．因为m∥n，

所以1×(1＋k)＝－2×(－2－k)，解得k＝－3.

(2)当k＝2时，n＝(－4,3)．

设m与n的夹角为θ，则cosθ＝

＝＝－.

所以m与n夹角的余弦值为－.

18. 解(1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋cos 2x

＝＋sin 2x＋cos  2x

＝(sin 2x＋cos 2x)＋，

由tanα＝2，得sin  2α＝＝＝，

cos 2α＝＝＝－，所以f(α)＝×＋＝.

(2)由(1)，得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋＝sin＋，

由x∈，得2x＋∈，所以sin∈，

从而f(x)＝sin＋∈.

19.解　(1)由3(b2＋c2)＝3a2＋2bc变形得

＝，则cosA＝.

∴sinA＝.

∵sinB＝sin(A＋C)＝cosC＋sinC＝cosC，

∴cosC＝sinC.

∵0<C<π，∴tanC＝.

(2)由S＝，得bcsinA＝.

∵sinA＝，∴bc＝.①

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

即22＝b2＋c2－2bc×.

化简得b2＋c2＝5.②

∵b>c，并联立①②解得b＝，c＝.

20. Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]

解 (1) 由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1

＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.

又a1＝2，∴ 数列{an}的通项公式为an＝22n－1.

(2) 由bn＝nan＝n·22n－1得

Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1……………… ①

∴ 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1……………… ②

由①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，

即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．

21. (1)an＝2n－2(2 )Tn＝n2－n.

解　(1) ∵S6≠2S6，∴q≠1. ∴，解得q＝2，a1＝.

∴an＝a1qn－1＝2n－2.

(2 )∵bn＝6n－61＋log22n－2＝6n－61＋n－2＝7n－63.

∴bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，∴数列{an}是等差数列．

又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7＝－56n＋n(n－1)×7＝n2－n.

22.解 (1)方法一　⇒

∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.

方法二　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，

下同方法一．

(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，

即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；

当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；

当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，

而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；

当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，

而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，

∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．