河北省邯郸市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

邯郸市2022－2023学年第二学期质量检测

高一数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足，则复数的虚部是（   ）

A. B. C. D.

2.已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）

A.若，，则

B.若且，则

C.若，，则直线与是异面直线

D.若，，，则直线与是异面直线

3.已知，，则向量在向量上的投影向量为（   ）

A. B. C. D.

4.为了解不同年级男、女学生对食堂饭菜的满意程度，某中学采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级的所有学生中抽取样本进行调查.该中学高一、高二、高三年级学生的比例与高一男、女生人数如图所示，若抽取的样本中有高一男生140人，则样本容量为（   ）

A.500 B.600 C.700 D.800

5.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为（   ）

A. B. C. D.

6.在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（   ）

A.0 B.4 C. D.

7.武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得点A的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度AB约为（   ）（参考数据：）

A.22m B.27m C.30m D.33m

8.如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为.若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为.设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是（   ）

A.与为互斥事件  B.与相互独立

C.与为互斥事件  D.与相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下图为2022年2月至2023年2月建筑业和服务业的商务活动指数，该指数等于反映该行业经济与上月比较无变化，大于反映该行业经济比上月总体上升，小于反映该行业经济比上月总体下降，则下列说法正确的是（   ）

A.2022年9月至12月服务业经济持续下降

B.2022年9月至12月建筑业经济持续下降

C.2022年5月建筑业经济上升幅度最小

D.2023年2月服务业经济上升幅度最大

10.对于非零复数，，下列结论正确的是（   ）

A.若和互为共轭复数，则为实数 B.若为纯虚数，则

C.若，则  D.若，则的最大值为

11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则下列说法正确的是（   ）

A.若，则有两组解

B.若，则有两组解

C.若为锐角三角形，则

D.若为等腰三角形，则或

12.在棱长为4的正方体中，动点在正方形（包括边界）内运动，且满足平面，则下列结论正确的是（   ）

A.线段长度的最小值为

B.三棱锥的体积为定值

C.异面直线与所成角正弦值的取值范围为

D.若动点在线段上，则线段长度的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.

13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则_________.

14.已知非零向量满足，且，则与的夹角为_________.

15.已知某圆台的高为4，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为_________.

16.在中，，为的中点，，沿将折起.当时，三棱锥的外接球半径为_________；当，且时，过点作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.为了推进共同富裕，国家选择在某省建设共同富裕示范区，为全国推动共同富裕提供范例.为了了解共同富裕示范区的建设成果，某统计机构调查了该省某示范区100位居民2022年整年的可支配收入，整理后得到如下频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图估计这100位居民可支配收入的众数和分位数；

（2）居民人均可支配收入的中位数和平均数的比值是衡量收入分配的指标之一，比值越大收入分配越公平.已知2022年全国居民的人均可支配收入为36883元，人均可支配收入的中位数是平均数的.请根据频率分布直方图说明该示范区是否起到了示范的作用（利用平均数，中位数和平均数的比值进行说明）.

18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正切值.

19.在中，.

（1）若，用表示；

（2），线段交于点，且，求的值.

20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求的值；

（2）若，角的平分线与交于点，，求的面积.

21.五行，指金、木、水、火、土五个元素.五行学说用五行之间的生、克关系来阐释事物之间的相互关系，是中国文化的重要组成部分，五行之间相生相克的关系如图所示.现有一个不透明的盒子，盒子中有5个完全相同的小球，5个小球上分别标有“金、木、水、火、土”5个字，代表5个元素.现在甲、乙两人各从盒子中随机抽取一个球：

（1）若甲抽到的元素克乙抽取的元素，则甲分；

（2）若甲抽到的元素生乙抽取的元素，则甲分；

（3）若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，则甲分；

（4）若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，则甲分；

（5）若甲抽到的元素与乙抽取的元素相同，则甲不计分.

现有两个游戏方案可供甲选择：

方案一：乙先从盒子中随机抽取一个元素后放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素；

方案二：乙先从盒子中随机抽取一个元素不放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素.

每次积完分后把所有小球放回盒子再进行下次游戏.

（1）若按方案一进行两次游戏，求两次游戏后甲的积分之和为1分的概率；

（2）现在要从方案一或方案二中选一个方案进行两次游戏，若两次游戏后甲的积分之和超过1分，则甲获得胜利.为了尽可能获胜，甲应该选择哪个方案，请说明理由.

22.在正三棱锥中，，点在线段上.过点作平行于和的平面，分别交棱于点M，N，O.

（1）证明：四边形为矩形；

（2）若，求多面体MNPOBC的体积.

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高一数学参考答案

13. 14. 15. 16.；

17.解：（1）由频率分布直方图可得，人数最多的为，所以众数为.

的人数占比为，的人数占比为，

的人数占比为，

所以该示范区100位居民可支配收入的分位数落在区间内，

设该示范区100位居民可支配收入的分位数为，则，解得，

故该示范区100位居民可支配收入的分位数为9.

（2）该示范区居民可支配收入的平均数为

（万元元.

设该示范区100位居民可支配收入的中位数为，

则，解得（万元）.

，所以该示范区起到了示范作用.

18.解：（1）连接交于点，连接，

在中，分别为的中点，所以.

因为平面，平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，因为，所以.

因为，，，所以平面，所以.

又因为，所以平面.

因此，即为与平面所成角.

设，则，，所以.

所以与平面所成角的正切值为.

19.解：（1）因为，，

所以，所以，

因为，所以.

（2）如图所示，

因为C，G，D三点共线，

所以.

因为E，G，B三点共线，

所以.

所以解得

所以，，所以.

20.解：（1）因为，所以，

由正弦定理得，

所以，即.

（2）设，

因为，，

所以，.

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

将代入，解得，.

所以，

因为，所以.

所以.

21.解：（1）按方案一进行第一次游戏，记甲的积分为，

分析可知且出现的概率相同，均为；

按方案一进行第二次游戏，记甲的积分为，

分析可知且出现的概率相同，均为；

样本空间，

每个样本点出现的概率相等，均为，

设按方案一进行两次游戏后甲的积分之和为1分为事件，

则，所以.

（2）设两次游戏甲的积分分别为m，n，两次游戏后甲的积分和超过1分记为事件.

若按方案一进行两次游戏，由（1）知，，

所以.

若按方案二进行两次游戏，则样本空间，

每个样本点出现的概率相等，均为，

则，所以.

因为，所以甲应该选择方案二.

22.解：（1）因为平面，平面，

平面平面，所以.

同理，，所以.

因为平面，平面，

平面平面，所以.

同理，，所以，所以四边形为平行四边形.

取的中点，连接，

因为，，所以，

而，所以平面，又平面，所以，

而，，所以.所以四边形为矩形.

（2）由题意可知该三棱锥的所有棱长均为3，

过点作平面，垂足为，可得，所以.

连接，此多面体由四棱雉和三棱锥两部分组成.

因为，所以点到平面的距离为，

，故.

，点到平面的距离为.

故.

所以多面体的体积为.