2020-2021学年广东省深圳市南山区南头中学高一（下）期末数学调研试卷

2020-2021学年广东省深圳市南山区南头中学高一（下）期末数学调研试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2022•河南一模）设集合，，3，4，，则　　

A． B．， C．， D．，

2．（5分）（2021春•常州期末）已知，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）（2022•新华区校级模拟）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为　　

A．3 B． C．6 D．

4．（5分）（2021春•南山区校级期末）下列区间中，函数单调递增的区间是　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•淮安期末）古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为　　

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

6．（5分）（2021秋•青山区期末）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是　　

A．或 B． C．或 D．

7．（5分）（2020春•威海期末）如图所示，在平面四边形中，，，，，现将沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

8．（5分）（2021春•南山区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，若是角的平分线，，，求的长．　　

A．3 B．2 C． D．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知角，，，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）（2021春•南山区校级期末）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，2，3，4，5，6，7，，定义事件：，2，3，，事件：，5，6，，事件：，5，6，，则下列判断正确的是　　

A． B． 

C．（A）（B）（C） D．，，两两相互独立

11．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知是边长为1的等边三角形，点是边上，且，点是边上任意一点（包含，点），则的取值可能是　　

A． B． C．0 D．

12．（5分）（2020秋•江苏期末）已知四边形是等腰梯形（如图，，，，．将沿折起，使得（如图，连结，，设是的中点．下列结论中正确的是　　

A． 

B．点到平面的距离为 

C．平面 

D．四面体的外接球表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　．

14．（5分）（2021•山东模拟）平面内非零向量，，，有，，．且，则的最大值为 　　．

15．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知函数，若对任意，，存在，，使，则实数的取值范围是 　　．

16．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，点，分别是，的中点，，，，，则球的表面积为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2021春•市北区期末）已知复数是虚数单位）．

（Ⅰ）求复数的模长；

（Ⅱ）若，求，的值．

18．（12分）（2019秋•滨海县期末）如图，在中，，，，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

19．（12分）（2020春•烟台期末）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：，并将得到的数据按如下方式分为9组：，，，，，，．绘制得到如图的频率分布直方图：

（1）试估计抽查样本中用电量在，的用户数量；

（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；

（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为，和，的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率．

20．（12分）（2021春•南山区校级期末）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

①函数的图象关于原点对称；

②函数的图象关于直线对称

已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，____．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的取值范围．

21．（12分）（2020春•胶州市期末）如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，，点在上，点在上，，为的中点．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与直线所成角的余弦值；

（3）求二面角的正切值．

22．（12分）（2021春•南山区校级期末）已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；

（3）设，是否存在正实数，使得函数在，内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年广东省深圳市南山区南头中学高一（下）期末数学调研试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2022•河南一模）设集合，，3，4，，则　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：，或，

，3，4，，

，，

故选：．

2．（5分）（2021春•常州期末）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

故选：．

3．（5分）（2022•新华区校级模拟）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为　　

A．3 B． C．6 D．

【解答】解：设圆锥的母线长为，由底面半径为，侧面展开图为一个半圆，

所以，

所以该圆锥的母线长为．

故选：．

4．（5分）（2021春•南山区校级期末）下列区间中，函数单调递增的区间是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于函数，令，求得，

可得函数的单调递增的区间是，，，故排除、、，

由于，是，，的一个子集，

故函数在，上单调递增，

故选：．

5．（5分）（2021春•淮安期末）古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为　　

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

【解答】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，

则，，得，．

又圆台的高为1，

圆台的体积立方丈．

故选：．

6．（5分）（2021秋•青山区期末）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数的取值范围是　　

A．或 B． C．或 D．

【解答】解：由于二次函数的对称轴为，

若在区间内是单调增函数，则有．

若在区间内是单调减函数，则有．

故选：．

7．（5分）（2020春•威海期末）如图所示，在平面四边形中，，，，，现将沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大，

，，

的高为，是投影在的中点

平面平面，

三棱锥的高为，，，

又，，

平面外接圆半径，

设球心到圆心的距离为，

可得①

②

由①②解得

外接球的表面积；

故选：．

8．（5分）（2021春•南山区校级期末）的内角，，的对边分别为，，，已知，若是角的平分线，，，求的长．　　

A．3 B．2 C． D．

【解答】解：由余弦定理知，

，

，即，

由余弦定理知，，

，

．

由角分线定理知，

设，则，

在中，由余弦定理知，，

，

解得，

，，

，

在中，由余弦定理知，，

．

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知角，，，满足，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由于角，，，满足，，，故正确；

，即，，故错误；

，，故错误；

由于，即，，故正确，

故选：．

10．（5分）（2021春•南山区校级期末）一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，把它与地面接触的面上的数字记为，则，2，3，4，5，6，7，，定义事件：，2，3，，事件：，5，6，，事件：，5，6，，则下列判断正确的是　　

A． B． 

C．（A）（B）（C） D．，，两两相互独立

【解答】解：由题意，（A），同理（B）（C），

对于，，故选项错误；

对于，，故选项正确；

对于，，又（A）（B）（C），所以（A）（B）（C），故选项正确；

对于，，所以，，不是两两相互独立，故选项错误．

故选：．

11．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知是边长为1的等边三角形，点是边上，且，点是边上任意一点（包含，点），则的取值可能是　　

A． B． C．0 D．

【解答】解：如图，

点是边上任意一点（包含，点），

可设，其中，

，

，

的取值范围是：，，

故选：．

12．（5分）（2020秋•江苏期末）已知四边形是等腰梯形（如图，，，，．将沿折起，使得（如图，连结，，设是的中点．下列结论中正确的是　　

A． 

B．点到平面的距离为 

C．平面 

D．四面体的外接球表面积为

【解答】解：在图1中，过作

，四边形是矩形，

，．

四边形是等腰梯形，，．

，．

连接，则，

，，得，则

在图2中，，，，平面．

平面，．

，平面．

若，又，，平面，

过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故错误；

由，，得，又，

，而，

设点到平面的距离为，

由，得，

即，故正确；

假设平面，

，平面，平面，

平面，

又，平面平面，

而平面，平面，与平面平面矛盾．

假设不成立，故与平面不平行，故错误；

连接，

为△，为△，且为的中点，

，即为四面体的外接球的球心，

四面体的外接球的半径为，

则四面体的外接球表面积为，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　1　．

【解答】解：函数是偶函数，

为上的奇函数，

故也为上的奇函数，

所以，

所以．

法二：因为函数是偶函数，

所以，

即，

即，

即，

所以．

故答案为：1．

14．（5分）（2021•山东模拟）平面内非零向量，，，有，，．且，则的最大值为 　7　．

【解答】解：平面内非零向量，，，有，，．

故可建立如图所示的坐标系，

则，，

设，

因为，

，

即表示以为圆心，2为半径的圆上的点，

因为，

故的最大值为：，

故答案为：7．

15．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知函数，若对任意，，存在，，使，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：若对任意，，存在，，使，

可得，

由在，递增，可得的最小值为（1），

在，上递减，在，递增，可得的最小值为，

所以，

解得．

即的取值范围是，．

故答案为：，．

16．（5分）（2021春•南山区校级期末）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，点，分别是，的中点，，，，，则球的表面积为 　　．

【解答】解：由，，，，

得，，

可得，，

又，平面，

，分别是，的中点，且，，，

又，，有，

得，

将三棱锥放在长方体中，外接球的直径等于长方体的对角线，设外接球的半径为，

则，

外接球的表面积．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2021春•市北区期末）已知复数是虚数单位）．

（Ⅰ）求复数的模长；

（Ⅱ）若，求，的值．

【解答】解：（Ⅰ），

，

（Ⅱ），，

，

，．

18．（12分）（2019秋•滨海县期末）如图，在中，，，，，．

（1）求的长；

（2）求的值．

【解答】解：（1），

，

，

，即的长为；

（2），

．

19．（12分）（2020春•烟台期末）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：，并将得到的数据按如下方式分为9组：，，，，，，．绘制得到如图的频率分布直方图：

（1）试估计抽查样本中用电量在，的用户数量；

（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；

（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为，和，的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率．

【解答】解：（1）由频率分布直方图得：

样本落在，，，，，，，的频率为0.02，0.15，0.27，0.23，

落在，，，，，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01，

样本落在，的频率为：

，

样本中用电量在，的用户数为．

（2）为了使的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的分位数，

，．

的分位数必位于，内，

．

，

分位数为280．

第二档的范围可确定为，．

（3）由题可知，样本中用电量在，的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4，

在，的用户有2户，设编号为，，

则从6户中任取2户的样本空间为：

，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本，

设事件 “走访对象来自不同分组”，

则，，，，，，，，（A），

走访对象来自不同分组的概率．

20．（12分）（2021春•南山区校级期末）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

①函数的图象关于原点对称；

②函数的图象关于直线对称

已知函数，的图象相邻两条对称轴的距离为，____．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的取值范围．

【解答】解：（1）补充①函数的图象关于原点对称，

的图象相邻两条对称轴的距离为，

，即，

，

，

，

又函数的图象关于原点对称，

，即，

又，

，

的图象解析式为．

补充②函数的图象关于直线对称，

的图象相邻两条对称轴的距离为，

，即，

，

，

函数的图象关于直线对称，

，

，

，

又，

，

的图象解析式为．

（2），

，

，

，

，

，

，即，

函数在上的值域为，．

21．（12分）（2020春•胶州市期末）如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，，点在上，点在上，，为的中点．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求直线与直线所成角的余弦值；

（3）求二面角的正切值．

【解答】解：（1）由题意知，为正三角形，，

所以，

因为为圆柱的母线，

所以平面，

所以．

（2）过点作圆柱的母线交于

因为与均为圆柱的母线，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以且，所以为正三角形，

又因为为正三角形，所以，，

所以，所以为直线与所成的角，

在中，，

所以由余弦定理知：，

所以直线与直线所成角的余弦值为．

（3）因为平面，平面，所以，

又因为，，

所以平面，

所以，，因此为二面角的平面角，

在中，，，，

所以二面角的正切值为2．

22．（12分）（2021春•南山区校级期末）已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；

（3）设，是否存在正实数，使得函数在，内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解（1）函数．

由，即

函数的定义域为；

（2）函数，

函数在上有且仅有一个零点

可得函数与函数在上有且仅有一个交点；

上，那么，

又是单调递增函数，

，

故得实数的取值范围；

（3）函数在，内的最小值为4，

设，令，

可得，当时，可得等号；

此时，．

故存在函数在，内的最小值为4，此时的值为4．

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