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2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（）上单调递增的是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝|tanx| D．y＝cos2x
3．（5分）为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：cm），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（ ）
A．171、170、168.5 B．171、170、169
C．171.5、172、169 D．172、172、169
4．（5分）下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．已知直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α
C．已知直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n
D．已知m为直线，α、β为平面，若m∥α且m⊥β，则α⊥β
5．（5分）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因．若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi；则他们的子女的血型为（ ）
A．O型或A型 B．A型或B型 C．B型或AB型 D．A型或AB型
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A． B． C． D．1
7．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则ab＝（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。
9．（5分）下列叙述中，正确的是（ ）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%
B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查．已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为8：5：4：k，若从四年级中抽取75名学生，则k＝3
C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6
D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6
10．（5分）已知函数f（x）＝的最大值为1，则（ ）
A．a＝﹣1
B．（，0）是函数f（x）的对称中心
C．f（x）在区间[，]上单调递减
D．f（x）≥0成立的x的集合为（k∈Z）
11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A．BM∥平面A1DE恒成立
B．：＝1：3
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．线段BM的长为定值
12．（5分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0）、A（2，9）、B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且•＝0，R为线段OQ上的一个动点，则（ ）
A．点P的纵坐标为﹣5
B．向量在向量上的投影向量为﹣
C．＝2
D．•的最大值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝ ．
14．（5分）已知向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝ ．
15．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为V1、S1，球的体积和表面积分别为V2、S2，则＝ ．
16．（5分）随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园
儿童公园
湖连潮头中央公园
下沙公园
有意向的家族组
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：KW•h），发现他们的用电量都在34KW•h至474KW•h之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；并求被调查用户中，用电量在[200，350）（kW•h）的户数；
（2）为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位：kW•h）．
18．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x，g（x）是由y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到的函数，令h（x）＝g（x）﹣f（x）．
（1）求函数h（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）当x∈[，π]时，h（x）≥m2+3m恒成立，求m的取值范围．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．
20．（12分）已知关于x的二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1，令集合M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对（m，n）．
（1）列举数对（m，n）的样本空间；
（2）记事件A为“二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）”，求事件A的概率；
（3）记事件B为“关于x的一元二次方程|f（x）|＝2有4个零点”，求事件B的概率．
21．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝2．
（1）若△ABC的面积为，求AC的长；
（2）若AD＝，∠ACB＝∠ACD+．求∠ACD的大小．
22．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF．
（1）当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的几何意义判断即可．
【解答】解：复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点为（4，3），在第一象限．
故选：A．
2．（5分）下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（）上单调递增的是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝|tanx| D．y＝cos2x
【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性，分别判断各选项即可．
【解答】解：A．f（﹣x）＝|sin（﹣x）|＝|﹣sinx|＝|sinx|＝f（x），则f（x）是偶函数，
当x∈（）时，f（x）＝sinx为减函数，不满足条件．
B．y＝cosx是偶函数，当x∈（）时，f（x）＝cosx为减函数，不满足条件．
C．f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|﹣tanx|＝|tanx|＝f（x），则f（x）是偶函数，
当x∈（）时，f（x）＝﹣tanx为减函数，不满足条件．
D．y＝cos2x是偶函数，当x∈（）时，2x∈（π，2π），f（x）＝cos2x为增函数，满足条件．
故选：D．
3．（5分）为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：cm），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（ ）
A．171、170、168.5 B．171、170、169
C．171.5、172、169 D．172、172、169
【分析】利用中位数，众数，百分位数的定义求解即可．
【解答】解：这24个数据的中位数为＝171.5，
众数为172，
∵24×30%＝7.2，∴第30百分位数为第8个数169，
故选：C．
4．（5分）下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．已知直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α
C．已知直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n
D．已知m为直线，α、β为平面，若m∥α且m⊥β，则α⊥β
【分析】由平行线的传递性可判断A；由线面垂直的定义可判断B；由线面平行的定义可判断C；由线面平行的性质和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断D．
【解答】解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；
由线面垂直的定义可得，若直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α，故B正确；
由线面平行的定义可得，若直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n或m，n异面，故C错误；
若m∥α，由线面平行的性质，可得过m的平面与α的交线l与m平行，
又m⊥β，可得l⊥β，结合l⊂α，可得α⊥β，故D正确．
故选：C．
5．（5分）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因．若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi；则他们的子女的血型为（ ）
A．O型或A型 B．A型或B型 C．B型或AB型 D．A型或AB型
【分析】利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案．
【解答】解：因为一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi，
则他们的子女的基因类型为：ab，ai，
所以对应的血型为A型或AB型．
故选：D．
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据AD为BC边上的中线，E为AD的中点，得到＝﹣+，然后结合＝λ+μ，求出λ+μ的值．
【解答】解：∵AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
∴＝+＝+
＝﹣+（﹣）＝﹣+，
∵＝λ+μ，∴λ＝﹣，μ＝，
∴λ+μ＝﹣，
故选：B．
7．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取A1D1中点，则有EF∥BC1，故四点B，C1，E，F共面，所以过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，根据已知，即可求解．
【解答】解：如图，取A1D1中点，则有EF∥BC1，故四点B，C1，E，F共面，
所以过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，
其中EF＝，，BE＝FC1＝，
可得梯形的高h＝＝，
梯形EFC1B的面积S＝（）××＝．
故选：B．
8．（5分）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则ab＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a，b的方程组，求解即可．
【解答】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，
则ab+①，
又三个社团都进不了的概率为，
所以②，
由①②可得，ab＝．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。
9．（5分）下列叙述中，正确的是（ ）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%
B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查．已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为8：5：4：k，若从四年级中抽取75名学生，则k＝3
C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6
D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6
【分析】求出学生被抽到的可能性，即可判断A；根据抽样比列方程，求出k，即可判断B；假设这组数据有6，求出方程，即可判断C，求出众数，中位数，平均数，即可判断D．
【解答】解：A：∵学号为04的学生被抽到的可能性为＝10%，∴A错误，
B：∵抽样比为＝，∴k＝3，∴B正确，
C：若这组数据有6，则方差s2≥＝＞2.4，∴C正确，
D：∵数据1，4，4，x，7，8（其中x≠7）的中位数为，众数为4，
∴＝4×，∴x＝6，
∴该组数据的平均数是＝5，∴D错误．
故选：BC．
10．（5分）已知函数f（x）＝的最大值为1，则（ ）
A．a＝﹣1
B．（，0）是函数f（x）的对称中心
C．f（x）在区间[，]上单调递减
D．f（x）≥0成立的x的集合为（k∈Z）
【分析】由条件利用三角函数恒等变换化简函数的解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+a，进而利用正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．
【解答】解：f（x）＝sin（2x+）+cos（2x﹣）+a＝sin2x•cos+cos2x•sin+cos2xcos+sin2xsin+a＝sin2x+cos2x+a＝2sin（2x+）+a，
又f（x）max＝2+a＝1，
所以解得a＝﹣1，故A正确；
可得f（x）＝2sin（2x+）﹣1，
因为f（）＝2sin（2×+）﹣1＝1≠0，故B错误；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
可得f（x）在区间[，]上单调递减，故C正确；
令f（x）＝2sin（2x+）﹣1＞0，解得sin（2x+）＞，可得2x+∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
解得x∈（kπ，kπ+），k∈Z，故D正确．
故选：ACD．
11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A．BM∥平面A1DE恒成立
B．：＝1：3
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．线段BM的长为定值
【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明BM∥A1DE，从而判断A；A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，直接求出，即可判断B；由A1C在平面ABCD中的射影在AC上，AC与DE不垂直，DE与A1C不垂直，从而判断C；由余弦定理，可得MB，结合MF，FB为定值，即可判断D．
【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，如图所示，
则MF∥A1D，FB∥DE，则可得平面MBF∥平面A1DE，
∵BM⊂平面MBF，BM⊄平面A1DE，
∴BM∥A1DE，故A选项正确，
设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，
则＝
＝ ，故B选项正确，
A1C在平面ABCD中的射影在AC上，
∵AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故C选项错误，
∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，
又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，且MF，FB为定值，
∴MB为定值．
故选：ABD．
12．（5分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0）、A（2，9）、B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且•＝0，R为线段OQ上的一个动点，则（ ）
A．点P的纵坐标为﹣5
B．向量在向量上的投影向量为﹣
C．＝2
D．•的最大值为1
【分析】对于A：设P（14，y），再由由O、B、P三点共线，得存在λ∈R，使得＝λ，即可记得λ，y，即可判断A是否正确；
对于B：向量在向量上的投影向量为•，计算即可判断B是否正确；
对于C：设Q（a，b），由•＝0，得3a＝4b①，由点Q在边AB上，得＝②，解得a，b，进而可得Q点坐标，计算，，即可判断C是否正确；
对于D：由R为线段OQ上的一个动点，设R（4t，3t），且0≤t≤1，利用二次函数的性质，计算•最大值，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：设P（14，y），
则＝（14，y），＝（﹣8，﹣3﹣y），
由O、B、P三点共线，得存在λ∈R，使得＝λ，
得（14，y）＝λ（﹣8，﹣3﹣y），
解得λ＝﹣，y＝﹣7，
所以P（14，﹣7），故A错误；
对于B：由上可知A（2，9），＝（8，﹣4）
向量在向量上的投影向量为•＝•＝﹣，故B正确；
对于C：设Q（a，b），则＝（a，b），
又＝（12，﹣16），
则由•＝0，得3a＝4b①，
因为点Q在边AB上，
所以＝，即3a+b﹣15＝0②，
由①②得，a＝4，b＝3，
所以Q（4，3），
所以＝（2，﹣6），＝（4，﹣12），
所以＝2，故C正确；
对于D：因为R为线段OQ上的一个动点，
设R（4t，3t），且0≤t≤1，
则＝（4t﹣4，3t﹣3），＝（6﹣4t，﹣3t﹣3），
所以•＝（4t﹣4，3t﹣3）•（6﹣4t，﹣3t﹣3）＝﹣25t2+40t﹣15，0≤t≤1，
所以当t＝时，•的最大值为1．故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝ 1+i ．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），
化为2z＝2（i+1），
∴z＝1+i．
故答案为：1+i．
14．（5分）已知向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝ ．
【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，
则|﹣|＝＝＝．
故答案为：．
15．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为V1、S1，球的体积和表面积分别为V2、S2，则＝ 1 ．
【分析】设球的半径为R，确定圆柱的底面半径以及高，利用圆柱和球的体积公式以及表面积公式，列式求解即可．
【解答】解：设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
所以，，
，，
故＝．
故答案为：1．
16．（5分）随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园
儿童公园
湖连潮头中央公园
下沙公园
有意向的家族组
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为 ．
【分析】分以下三种情况枚举所有情况即可，①选儿童公园和湖连潮头中央公园，②选儿童公园和下沙公园，③选下沙公园和湖连潮头中央公园，利用古典概型计算公式即可．
【解答】解：①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；
②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；
③选下沙公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；
④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；
丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；
甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；
共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：KW•h），发现他们的用电量都在34KW•h至474KW•h之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；并求被调查用户中，用电量在[200，350）（kW•h）的户数；
（2）为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位：kW•h）．
【分析】（1）由频率分布直方图即可求出m及样本落在[200，350）的频率，由此能求出样本中用电量在[200，350）的用户数．
（2）由图计算可得频率和为0.75对应的数据在第七组，即可对应求出第一档用电量最高值；再求出前八组频率和，即可得到第二档用电量最高值．
【解答】解：（1）依题意，（0.0008×2+0.0016×2+0.002×2+0.0024+0.0036+m）×50＝1，解得m＝0.004，
根据频率分布直方图，用电量在[200，350）的频率为（0.004+0.0024+0.0002）×50＝0.42，
则用电量在[200，350）的户数为0.42×200＝84户；
（2）根据频率分布直方图，前六组的频率和为：（0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024）×50＝0.72＜0.75，
前七组的频率和为：（0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002）×50＝0.82＞0.75，
所以，频率和为0.75对应的数据在第七组，第一档用电量最高为300+＝315；
前八组的频率之和为：0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002+0.0016）×50＝0.9，
第二档用电量最高为400kW•h，
所以，第二档月平均用电范围为[315，400）（kW•h）．
18．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x，g（x）是由y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到的函数，令h（x）＝g（x）﹣f（x）．
（1）求函数h（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）当x∈[，π]时，h（x）≥m2+3m恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）化简函数f（x），求出f（x）的解析式，由图象变换求出函数g（x），再写出函数h（x）的解析式，求出它的最小正周期和对称轴方程；
（2）求出x∈[，π]时h（x）的最小值，把不等式h（x）≥m2+3m化为m2+3m+2≤0，求出解集即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝cos4x﹣sin4x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x，
y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到函数g（x）＝sin2x，
h（x）＝g（x）﹣f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）；
所以函数h（x）的最小正周期为T＝＝π，
令2x﹣＝kπ+，k∈Z，
解得x＝+，k∈Z；
所以函数h（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z；
（2）当x∈[，π]时，2x﹣∈[，]，
当2x﹣＝时，h（x）取得最小值为h（x）min＝﹣，
所以不等式h（x）≥m2+3m恒成立，等价于×（﹣）≥m2+3m，
整理得m2+3m+2≤0，
解得﹣2≤m≤﹣1，
所以m的取值范围是[﹣2，﹣1]．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．
【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得BC⊥PA．利用线面垂直的判定定理，可BC⊥平面PAC；
（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，证出QM是△PAC的中位线，得QM∥PC．利用线面平行的判定定理证出QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，根据面面平行的判定定理，可得平面OQG∥平面PBC．
【解答】解：（1）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．
∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC；
（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，
∵G为△AOC的重心，∴OM是△AOC的中线，
∵Q为PA的中点，M为AC的中点，∴QM∥PC，
∵QM⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴QM∥平面PBC，
同理可得QO∥平面PBC，
∵QM、QO是平面OQG内的相交直线，∴平面OQG∥平面PBC．
20．（12分）已知关于x的二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1，令集合M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对（m，n）．
（1）列举数对（m，n）的样本空间；
（2）记事件A为“二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）”，求事件A的概率；
（3）记事件B为“关于x的一元二次方程|f（x）|＝2有4个零点”，求事件B的概率．
【分析】（1）直接列举即可；
（2）由二次函数的性质可得，n＝2m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；
（3）由函数与方程的关系，求出n2＞4m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，m∈{1，2，3，4}，n∈{﹣1，2，4，6，8}，
数对（m，n）的样本空间为Ω＝{（1，﹣1），（1，2），（1，4），（1，6），（1，8），（2，﹣1），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（3，﹣1），（3，2），（3，4），（3，6），（3，8），（4，﹣1），（4，2），（4，4），（4，6），（4，8）}；
（2）若二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），
则二次函数f（x）的对称轴，即n＝2m，
由（1）可得，总的基本事件个数为20个，
符合n＝2m的基本事件为：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），共4个，
所以P（A）＝＝；
（3）因为m＞0，二次函数的图象开口向上，
方程|f（x）|＝2有4个零点，即方程f（x）＝2和f（x）＝﹣2各有2个零点，
等价于二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1的最小值小于﹣2，
所以，即n2＞4m，
样本空间中符合n2＞4m的基本事件有：（1，4），（1，6），（1，8），（2，4），（2，6），（2，8），（3，4），（3，6），（3，8），（4，6），（4，8），共11个，
所以P（B）＝．
21．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝2．
（1）若△ABC的面积为，求AC的长；
（2）若AD＝，∠ACB＝∠ACD+．求∠ACD的大小．
【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可求AC的值．
（2）设∠ACD＝α，由已知可求AC＝，利用三角形内角和定理可求∠BAC＝﹣α，由正弦定理，可得＝，求得sin（﹣α）＝sinα，由﹣α＝α，可求∠ACD的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为BC＝2，∠ABC＝，
△ABC的面积为＝AB•BC•sin∠ABC，
所以×AB＝，解得AB＝3，
在△ABC中，由余弦定理，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝7，
所以AC＝．
（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，
如图，在Rt△ACD中，因为AD＝，
所以AC＝＝，
在△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠ABC＝﹣α，
由正弦定理，可得＝，即＝，
所以sin（﹣α）＝sinα，
由α为锐角，可得﹣α＝α，
解得α＝，即∠ACD的值为．
22．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF．
（1）当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
【分析】（1）利用锥体的体积公式表示出，然后利用二次函数的性质确定取最值时x的值，从而得到的E，F分别为AB，BC的中点，取EF的中点O，连接OB，OB1，利用二面角的平面角的定义可得，∠BOB1为二面角B1﹣EF﹣B的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可；
（2）在AD上取点H，使得AH＝AE＝BF，利用异面直线所成角的定义确定∠HA1E即为异面直线A1E与B1F所成的角，然后利用边角关系求出cos∠HA1E，再求解其取值范围，从而得到角的范围．
【解答】解：（1）不妨设AB＝a，AE＝x，
因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，则BB1⊥平面ABCD，
所以＝＝，
故当时，三棱推B1﹣BEF的体积最大，
此时E，F分别为AB，BC的中点，
取EF的中点O，连接OB，OB1，
因为BE＝BF，B1E＝B1F，所以BO⊥EF，B1O⊥EF，
则∠BOB1为二面角B1﹣EF﹣B的平面角，
在Rt△BEF中，BO＝EF＝，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝，
所以当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为；
（2）在AD上取点H，使得AH＝AE＝BF，
则在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，HF∥AB∥A1B1，HF＝AB＝A1B1，
所以A1H∥B1F，
则∠HA1E即为异面直线A1E与B1F所成的角，
在Rt△A1AH中，A1H＝，
在Rt△A1AE中，A1E＝，
在Rt△HAE中，HE＝，
在△HA1E中，cos∠HA1E＝，
由题意可知，因为0＜x≤a，则a2＜a2+x2≤2a2，
故，
所以cos∠HA1E＜1，
又∠HA1E，
故0＜∠HA1E，
所以异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围为．
2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（）上单调递增的是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝|tanx| D．y＝cos2x
3．（5分）为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：cm），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（ ）
A．171、170、168.5 B．171、170、169
C．171.5、172、169 D．172、172、169
4．（5分）下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．已知直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α
C．已知直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n
D．已知m为直线，α、β为平面，若m∥α且m⊥β，则α⊥β
5．（5分）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因．若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi；则他们的子女的血型为（ ）
A．O型或A型 B．A型或B型 C．B型或AB型 D．A型或AB型
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A． B． C． D．1
7．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则ab＝（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。
9．（5分）下列叙述中，正确的是（ ）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%
B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查．已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为8：5：4：k，若从四年级中抽取75名学生，则k＝3
C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6
D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6
10．（5分）已知函数f（x）＝的最大值为1，则（ ）
A．a＝﹣1
B．（，0）是函数f（x）的对称中心
C．f（x）在区间[，]上单调递减
D．f（x）≥0成立的x的集合为（k∈Z）
11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A．BM∥平面A1DE恒成立
B．：＝1：3
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．线段BM的长为定值
12．（5分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0）、A（2，9）、B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且•＝0，R为线段OQ上的一个动点，则（ ）
A．点P的纵坐标为﹣5
B．向量在向量上的投影向量为﹣
C．＝2
D．•的最大值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝ ．
14．（5分）已知向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝ ．
15．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为V1、S1，球的体积和表面积分别为V2、S2，则＝ ．
16．（5分）随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园
儿童公园
湖连潮头中央公园
下沙公园
有意向的家族组
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：KW•h），发现他们的用电量都在34KW•h至474KW•h之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；并求被调查用户中，用电量在[200，350）（kW•h）的户数；
（2）为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位：kW•h）．
18．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x，g（x）是由y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到的函数，令h（x）＝g（x）﹣f（x）．
（1）求函数h（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）当x∈[，π]时，h（x）≥m2+3m恒成立，求m的取值范围．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．
20．（12分）已知关于x的二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1，令集合M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对（m，n）．
（1）列举数对（m，n）的样本空间；
（2）记事件A为“二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）”，求事件A的概率；
（3）记事件B为“关于x的一元二次方程|f（x）|＝2有4个零点”，求事件B的概率．
21．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝2．
（1）若△ABC的面积为，求AC的长；
（2）若AD＝，∠ACB＝∠ACD+．求∠ACD的大小．
22．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF．
（1）当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的几何意义判断即可．
【解答】解：复数z＝4+3i（其中i为数单位），则z在复平面上对应的点为（4，3），在第一象限．
故选：A．
2．（5分）下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（）上单调递增的是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝|tanx| D．y＝cos2x
【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性，分别判断各选项即可．
【解答】解：A．f（﹣x）＝|sin（﹣x）|＝|﹣sinx|＝|sinx|＝f（x），则f（x）是偶函数，
当x∈（）时，f（x）＝sinx为减函数，不满足条件．
B．y＝cosx是偶函数，当x∈（）时，f（x）＝cosx为减函数，不满足条件．
C．f（﹣x）＝|tan（﹣x）|＝|﹣tanx|＝|tanx|＝f（x），则f（x）是偶函数，
当x∈（）时，f（x）＝﹣tanx为减函数，不满足条件．
D．y＝cos2x是偶函数，当x∈（）时，2x∈（π，2π），f（x）＝cos2x为增函数，满足条件．
故选：D．
3．（5分）为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0，165.0，165.0，166.0，167.0，168.0，168.0，169.0，170.0，170.0，171.0，171.0，172.0，172.0，172.0，173.0，174.0，175.0，175.0，176.0，176.0，177.0，177.0，178.0（单位：cm），则这24个数据的中位数、众数，以及预估该班男生的第30百分位数为（ ）
A．171、170、168.5 B．171、170、169
C．171.5、172、169 D．172、172、169
【分析】利用中位数，众数，百分位数的定义求解即可．
【解答】解：这24个数据的中位数为＝171.5，
众数为172，
∵24×30%＝7.2，∴第30百分位数为第8个数169，
故选：C．
4．（5分）下列命题中，错误的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行
B．已知直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α
C．已知直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n
D．已知m为直线，α、β为平面，若m∥α且m⊥β，则α⊥β
【分析】由平行线的传递性可判断A；由线面垂直的定义可判断B；由线面平行的定义可判断C；由线面平行的性质和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断D．
【解答】解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；
由线面垂直的定义可得，若直线m垂直于平面α内的任意一条直线，则直线m垂直于平面α，故B正确；
由线面平行的定义可得，若直线m∥平面α，直线n⊂α，则直线m∥n或m，n异面，故C错误；
若m∥α，由线面平行的性质，可得过m的平面与α的交线l与m平行，
又m⊥β，可得l⊥β，结合l⊂α，可得α⊥β，故D正确．
故选：C．
5．（5分）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab，其中a、b是显性基因，i是隐性基因．若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi；则他们的子女的血型为（ ）
A．O型或A型 B．A型或B型 C．B型或AB型 D．A型或AB型
【分析】利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案．
【解答】解：因为一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa，一个B型，基因类型为bi，
则他们的子女的基因类型为：ab，ai，
所以对应的血型为A型或AB型．
故选：D．
6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若＝λ+μ，则λ+μ＝（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据AD为BC边上的中线，E为AD的中点，得到＝﹣+，然后结合＝λ+μ，求出λ+μ的值．
【解答】解：∵AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
∴＝+＝+
＝﹣+（﹣）＝﹣+，
∵＝λ+μ，∴λ＝﹣，μ＝，
∴λ+μ＝﹣，
故选：B．
7．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取A1D1中点，则有EF∥BC1，故四点B，C1，E，F共面，所以过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，根据已知，即可求解．
【解答】解：如图，取A1D1中点，则有EF∥BC1，故四点B，C1，E，F共面，
所以过B、C1、E三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EFC1B，
其中EF＝，，BE＝FC1＝，
可得梯形的高h＝＝，
梯形EFC1B的面积S＝（）××＝．
故选：B．
8．（5分）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立．假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、，该同学可以进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则ab＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a，b的方程组，求解即可．
【解答】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，
则ab+①，
又三个社团都进不了的概率为，
所以②，
由①②可得，ab＝．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。
9．（5分）下列叙述中，正确的是（ ）
A．某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为40%
B．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查．已知该校一、二、三、四年级木科生人数之比为8：5：4：k，若从四年级中抽取75名学生，则k＝3
C．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据的平均数为2，方差为2.4，则这组数据一定没有出现6
D．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中x≠7），若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数是6
【分析】求出学生被抽到的可能性，即可判断A；根据抽样比列方程，求出k，即可判断B；假设这组数据有6，求出方程，即可判断C，求出众数，中位数，平均数，即可判断D．
【解答】解：A：∵学号为04的学生被抽到的可能性为＝10%，∴A错误，
B：∵抽样比为＝，∴k＝3，∴B正确，
C：若这组数据有6，则方差s2≥＝＞2.4，∴C正确，
D：∵数据1，4，4，x，7，8（其中x≠7）的中位数为，众数为4，
∴＝4×，∴x＝6，
∴该组数据的平均数是＝5，∴D错误．
故选：BC．
10．（5分）已知函数f（x）＝的最大值为1，则（ ）
A．a＝﹣1
B．（，0）是函数f（x）的对称中心
C．f（x）在区间[，]上单调递减
D．f（x）≥0成立的x的集合为（k∈Z）
【分析】由条件利用三角函数恒等变换化简函数的解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+a，进而利用正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解．
【解答】解：f（x）＝sin（2x+）+cos（2x﹣）+a＝sin2x•cos+cos2x•sin+cos2xcos+sin2xsin+a＝sin2x+cos2x+a＝2sin（2x+）+a，
又f（x）max＝2+a＝1，
所以解得a＝﹣1，故A正确；
可得f（x）＝2sin（2x+）﹣1，
因为f（）＝2sin（2×+）﹣1＝1≠0，故B错误；
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
可得f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
可得f（x）在区间[，]上单调递减，故C正确；
令f（x）＝2sin（2x+）﹣1＞0，解得sin（2x+）＞，可得2x+∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，
解得x∈（kπ，kπ+），k∈Z，故D正确．
故选：ACD．
11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E是边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A1不落在底面BCDE内），连接A1B、A1C．若M为线段A1C的中点，则在△ADE的翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A．BM∥平面A1DE恒成立
B．：＝1：3
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．线段BM的长为定值
【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明BM∥A1DE，从而判断A；A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，直接求出，即可判断B；由A1C在平面ABCD中的射影在AC上，AC与DE不垂直，DE与A1C不垂直，从而判断C；由余弦定理，可得MB，结合MF，FB为定值，即可判断D．
【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，如图所示，
则MF∥A1D，FB∥DE，则可得平面MBF∥平面A1DE，
∵BM⊂平面MBF，BM⊄平面A1DE，
∴BM∥A1DE，故A选项正确，
设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h'，
则＝
＝ ，故B选项正确，
A1C在平面ABCD中的射影在AC上，
∵AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故C选项错误，
∵∠MFB＝∠A1DE＝45°，
又∵由余弦定理，可得MB2＝MF2+FB2﹣2MF•FB•cos∠MFB，且MF，FB为定值，
∴MB为定值．
故选：ABD．
12．（5分）已知△OAB的顶点坐标为O（0，0）、A（2，9）、B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且•＝0，R为线段OQ上的一个动点，则（ ）
A．点P的纵坐标为﹣5
B．向量在向量上的投影向量为﹣
C．＝2
D．•的最大值为1
【分析】对于A：设P（14，y），再由由O、B、P三点共线，得存在λ∈R，使得＝λ，即可记得λ，y，即可判断A是否正确；
对于B：向量在向量上的投影向量为•，计算即可判断B是否正确；
对于C：设Q（a，b），由•＝0，得3a＝4b①，由点Q在边AB上，得＝②，解得a，b，进而可得Q点坐标，计算，，即可判断C是否正确；
对于D：由R为线段OQ上的一个动点，设R（4t，3t），且0≤t≤1，利用二次函数的性质，计算•最大值，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：设P（14，y），
则＝（14，y），＝（﹣8，﹣3﹣y），
由O、B、P三点共线，得存在λ∈R，使得＝λ，
得（14，y）＝λ（﹣8，﹣3﹣y），
解得λ＝﹣，y＝﹣7，
所以P（14，﹣7），故A错误；
对于B：由上可知A（2，9），＝（8，﹣4）
向量在向量上的投影向量为•＝•＝﹣，故B正确；
对于C：设Q（a，b），则＝（a，b），
又＝（12，﹣16），
则由•＝0，得3a＝4b①，
因为点Q在边AB上，
所以＝，即3a+b﹣15＝0②，
由①②得，a＝4，b＝3，
所以Q（4，3），
所以＝（2，﹣6），＝（4，﹣12），
所以＝2，故C正确；
对于D：因为R为线段OQ上的一个动点，
设R（4t，3t），且0≤t≤1，
则＝（4t﹣4，3t﹣3），＝（6﹣4t，﹣3t﹣3），
所以•＝（4t﹣4，3t﹣3）•（6﹣4t，﹣3t﹣3）＝﹣25t2+40t﹣15，0≤t≤1，
所以当t＝时，•的最大值为1．故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2i，则复数z＝ 1+i ．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），
化为2z＝2（i+1），
∴z＝1+i．
故答案为：1+i．
14．（5分）已知向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，则|﹣|＝ ．
【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：向量、满足||＝3，||＝4，、的夹角为60°，
则|﹣|＝＝＝．
故答案为：．
15．（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为V1、S1，球的体积和表面积分别为V2、S2，则＝ 1 ．
【分析】设球的半径为R，确定圆柱的底面半径以及高，利用圆柱和球的体积公式以及表面积公式，列式求解即可．
【解答】解：设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
所以，，
，，
故＝．
故答案为：1．
16．（5分）随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下：
公园
儿童公园
湖连潮头中央公园
下沙公园
有意向的家族组
甲、乙、丙
甲、乙、丁
乙、丙、丁
若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为 ．
【分析】分以下三种情况枚举所有情况即可，①选儿童公园和湖连潮头中央公园，②选儿童公园和下沙公园，③选下沙公园和湖连潮头中央公园，利用古典概型计算公式即可．
【解答】解：①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；
②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；
③选下沙公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；
④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁；
丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；
甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；
共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：KW•h），发现他们的用电量都在34KW•h至474KW•h之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．
（1）求m的值；并求被调查用户中，用电量在[200，350）（kW•h）的户数；
（2）为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴费位于第二档月平均用电量标准的范围（单位：kW•h）．
【分析】（1）由频率分布直方图即可求出m及样本落在[200，350）的频率，由此能求出样本中用电量在[200，350）的用户数．
（2）由图计算可得频率和为0.75对应的数据在第七组，即可对应求出第一档用电量最高值；再求出前八组频率和，即可得到第二档用电量最高值．
【解答】解：（1）依题意，（0.0008×2+0.0016×2+0.002×2+0.0024+0.0036+m）×50＝1，解得m＝0.004，
根据频率分布直方图，用电量在[200，350）的频率为（0.004+0.0024+0.0002）×50＝0.42，
则用电量在[200，350）的户数为0.42×200＝84户；
（2）根据频率分布直方图，前六组的频率和为：（0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024）×50＝0.72＜0.75，
前七组的频率和为：（0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002）×50＝0.82＞0.75，
所以，频率和为0.75对应的数据在第七组，第一档用电量最高为300+＝315；
前八组的频率之和为：0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002+0.0016）×50＝0.9，
第二档用电量最高为400kW•h，
所以，第二档月平均用电范围为[315，400）（kW•h）．
18．（12分）已知函数f（x）＝cos4x﹣sin4x，g（x）是由y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到的函数，令h（x）＝g（x）﹣f（x）．
（1）求函数h（x）的最小正周期及其对称轴方程；
（2）当x∈[，π]时，h（x）≥m2+3m恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）化简函数f（x），求出f（x）的解析式，由图象变换求出函数g（x），再写出函数h（x）的解析式，求出它的最小正周期和对称轴方程；
（2）求出x∈[，π]时h（x）的最小值，把不等式h（x）≥m2+3m化为m2+3m+2≤0，求出解集即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝cos4x﹣sin4x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x，
y＝sinx横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变得到函数g（x）＝sin2x，
h（x）＝g（x）﹣f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）；
所以函数h（x）的最小正周期为T＝＝π，
令2x﹣＝kπ+，k∈Z，
解得x＝+，k∈Z；
所以函数h（x）的对称轴方程为x＝+，k∈Z；
（2）当x∈[，π]时，2x﹣∈[，]，
当2x﹣＝时，h（x）取得最小值为h（x）min＝﹣，
所以不等式h（x）≥m2+3m恒成立，等价于×（﹣）≥m2+3m，
整理得m2+3m+2≤0，
解得﹣2≤m≤﹣1，
所以m的取值范围是[﹣2，﹣1]．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC．
【分析】（1）根据圆直径的性质，得BC⊥AC，由PA⊥平面ABC得BC⊥PA．利用线面垂直的判定定理，可BC⊥平面PAC；
（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，证出QM是△PAC的中位线，得QM∥PC．利用线面平行的判定定理证出QM∥平面PBC，同理可得QO∥平面PBC，根据面面平行的判定定理，可得平面OQG∥平面PBC．
【解答】解：（1）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．
∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC；
（2）取延长OG，交AC于M，连结GM、QM，
∵G为△AOC的重心，∴OM是△AOC的中线，
∵Q为PA的中点，M为AC的中点，∴QM∥PC，
∵QM⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，∴QM∥平面PBC，
同理可得QO∥平面PBC，
∵QM、QO是平面OQG内的相交直线，∴平面OQG∥平面PBC．
20．（12分）已知关于x的二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1，令集合M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣1，2，4，6，8}，若分别从集合M、N中随机抽取一个数m和n，构成数对（m，n）．
（1）列举数对（m，n）的样本空间；
（2）记事件A为“二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞）”，求事件A的概率；
（3）记事件B为“关于x的一元二次方程|f（x）|＝2有4个零点”，求事件B的概率．
【分析】（1）直接列举即可；
（2）由二次函数的性质可得，n＝2m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；
（3）由函数与方程的关系，求出n2＞4m，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，m∈{1，2，3，4}，n∈{﹣1，2，4，6，8}，
数对（m，n）的样本空间为Ω＝{（1，﹣1），（1，2），（1，4），（1，6），（1，8），（2，﹣1），（2，2），（2，4），（2，6），（2，8），（3，﹣1），（3，2），（3，4），（3，6），（3，8），（4，﹣1），（4，2），（4，4），（4，6），（4，8）}；
（2）若二次函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），
则二次函数f（x）的对称轴，即n＝2m，
由（1）可得，总的基本事件个数为20个，
符合n＝2m的基本事件为：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），共4个，
所以P（A）＝＝；
（3）因为m＞0，二次函数的图象开口向上，
方程|f（x）|＝2有4个零点，即方程f（x）＝2和f（x）＝﹣2各有2个零点，
等价于二次函数f（x）＝mx2﹣nx﹣1的最小值小于﹣2，
所以，即n2＞4m，
样本空间中符合n2＞4m的基本事件有：（1，4），（1，6），（1，8），（2，4），（2，6），（2，8），（3，4），（3，6），（3，8），（4，6），（4，8），共11个，
所以P（B）＝．
21．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝2．
（1）若△ABC的面积为，求AC的长；
（2）若AD＝，∠ACB＝∠ACD+．求∠ACD的大小．
【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可求AC的值．
（2）设∠ACD＝α，由已知可求AC＝，利用三角形内角和定理可求∠BAC＝﹣α，由正弦定理，可得＝，求得sin（﹣α）＝sinα，由﹣α＝α，可求∠ACD的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，因为BC＝2，∠ABC＝，
△ABC的面积为＝AB•BC•sin∠ABC，
所以×AB＝，解得AB＝3，
在△ABC中，由余弦定理，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝7，
所以AC＝．
（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，
如图，在Rt△ACD中，因为AD＝，
所以AC＝＝，
在△ABC中，∠BAC＝π﹣∠ACB﹣∠ABC＝﹣α，
由正弦定理，可得＝，即＝，
所以sin（﹣α）＝sinα，
由α为锐角，可得﹣α＝α，
解得α＝，即∠ACD的值为．
22．（12分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF．
（1）当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，求二面角B1﹣EF﹣B的正切值；
（2）求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围．
【分析】（1）利用锥体的体积公式表示出，然后利用二次函数的性质确定取最值时x的值，从而得到的E，F分别为AB，BC的中点，取EF的中点O，连接OB，OB1，利用二面角的平面角的定义可得，∠BOB1为二面角B1﹣EF﹣B的平面角，在三角形中，利用边角关系求解即可；
（2）在AD上取点H，使得AH＝AE＝BF，利用异面直线所成角的定义确定∠HA1E即为异面直线A1E与B1F所成的角，然后利用边角关系求出cos∠HA1E，再求解其取值范围，从而得到角的范围．
【解答】解：（1）不妨设AB＝a，AE＝x，
因为ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，则BB1⊥平面ABCD，
所以＝＝，
故当时，三棱推B1﹣BEF的体积最大，
此时E，F分别为AB，BC的中点，
取EF的中点O，连接OB，OB1，
因为BE＝BF，B1E＝B1F，所以BO⊥EF，B1O⊥EF，
则∠BOB1为二面角B1﹣EF﹣B的平面角，
在Rt△BEF中，BO＝EF＝，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝，
所以当三棱推B1﹣BEF的体积最大时，二面角B1﹣EF﹣B的正切值为；
（2）在AD上取点H，使得AH＝AE＝BF，
则在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，HF∥AB∥A1B1，HF＝AB＝A1B1，
所以A1H∥B1F，
则∠HA1E即为异面直线A1E与B1F所成的角，
在Rt△A1AH中，A1H＝，
在Rt△A1AE中，A1E＝，
在Rt△HAE中，HE＝，
在△HA1E中，cos∠HA1E＝，
由题意可知，因为0＜x≤a，则a2＜a2+x2≤2a2，
故，
所以cos∠HA1E＜1，
又∠HA1E，
故0＜∠HA1E，
所以异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围为．
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