2022年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷（含解析）

2022年山东省聊城市冠县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列各数是负分数的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是由个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是

A. 主视图和左视图
B. 主视图和俯视图
C. 左视图和俯视图
D. 三个视图均相同
 

3. 一个水分子的质量大约为克，一滴水的质量大约为克．则一滴水大约含______个水分子．

A.  B.  C.  D.

4. 用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图

A. 作一条线段等于已知线段 B. 作一个角等于已知角
C. 作一个角的平分线 D. 作一条线段的垂直平分线

5. 舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：
   从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；
   从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
   按统计表的数据绘制折线统计图；
   整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．
   正确统计步骤的顺序是

A.  B.
C.  D.

6. 计算，，，，，，并观察这些幂的个位数字，根据你发现的规律，判断的个位数字跟______的个位数字相同．

A.  B.  C.  D.

7. 关于的一元二次方程，如果有一个根为，那么另一个根为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，公园内有一个半径为米的圆形草坪，从地走到地有观赏路劣弧和便民路线段已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走米

A.
B.
C.
D.

9. 如果不等式组的解集中任何一个的值均在的范围内，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知抛物线经过点，与轴交于，且顶点在第一象限，那么下列结论：；是方程的解；；，其中正确的结论为

A.  B.  C.  D.

11. 图，在中，，点从点出发，沿三角形的边以秒的速度逆时针运动一周，图是点运动时，线段的长度随运动时间秒变化的关系图象，则图中点的坐标是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连接若，，，则的值为
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

13. ______．
14. 有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁，现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的概率是______ ．
15. 用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为______．
16. 某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星、、、、是正五边形的五个顶点，则图中的度数是______度．
    
    
     

17. 如图，正方形的边长为，的半径为若在正方形内平移可以与该正方形的边相切，则点到上的点的距离的最大值为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共69分）

18. 先化简再求值，其中．
19. 我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：类接种了只需要注射一针的疫苗；类接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；类接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；类还没有接种图与图是根据此次调查得到的统计图不完整．
    
    请根据统计图回答下列问题
    此次抽样调查的人数是多少人？
    接种类疫苗的人数的百分比是多少？接种类疫苗的人数是多少人？
    请估计该小区所居住的名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
    为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
20. 一张方桌由一个桌面和四条腿组成，如果立方米料可制作方桌的桌面个或制作桌腿条，现有立方米木料，请设计一个方案，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
21. 如图，已知在正方形的一边上，连接，并过点作，交正方形的外角的平分线于点求证：．
     

22. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度点处时，无人机测得操控者的俯角为，测得小区楼房顶端点处的俯角为已知操控者和小区楼房之间的距离为米，小区楼房的高度为米
    求此时无人机的高度；
    在条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以米秒的速度继续向前匀速飞行问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？假定点，，，都在同一平面内参考数据：，计算结果保留根号
    
     

23. 如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为：．
    求一次函数的表达式；
    求点的坐标及外接圆半径的长．

24. 如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，是的直径，连接．
    求证：；
    若，于点，，，求的值．

25. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
    求抛物线的解析式；
    点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标；
    已知点是轴上的动点，过点作的垂线交抛物线于点，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】A.是负整数，故A错误，不符合题意；
B.是正分数，故B错误，不符合题意；
C.是负分数，故C正确，符合题意；
D.既不是正数也不是负数，故D错误，不符合题意．
故选：．
理解负分数的定义．
本题考查了负分数，解决本题的关键是理解负分数的定义．
 

2.【答案】

【解析】解：如图所示：

故该组合体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，
故选：．
先得到该几何体的三视图，再进行判断即可．
考查了简单组合体的三视图，关键是得到该几何体的三视图．
 

3.【答案】

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】

【解析】解：作三角形的外接圆时，先作三条边的垂直平分线，则它们的交点为三角形外接圆的圆心，这个交点到三角形顶点的距离为这个圆的半径．
故选：．
根据三角形外接圆的圆心的性质得到圆心为三角形三边的垂直平分线的交点．
本题考查了作图复杂作图：熟练掌握基本作图是解决题目的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理．
 

5.【答案】

【解析】解：正确统计步骤的顺序是：从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；
整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表；
按统计表的数据绘制折线统计图；
从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势．
故选：．
根据折线统计图的制作步骤即可求解．
本题是一道统计型题目，解题的关键是熟悉折线统计图的制作步骤．
 

6.【答案】

【解析】解：，，，，，，
的幂的个位数字每次运算循环一次，
，
的个位数字跟的个位数字相同，
故选：．
分别求出的幂的部分运算结果，从而可得个位数字每次运算循环一次，由此可求解．
本题考查数字的变化规律，通过计算，发现尾数的循环规律是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：设方程的另一根为．
关于的一元二次方程的一个根是，
满足关于的一元二次方程，
，
关于的一元二次方程为，
又由根与系数的关系知，
解得，即方程的另一根为．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，将代入关于的一元二次方程，求得的值，再利用根与系数的关系求得方程的另一根．
本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
 

8.【答案】

【解析】解：作于，如图，，

则，
，
，
在中，米，
米，
米，
又米，
走便民路比走观赏路少走米，
故选：．
作于，如图，根据垂径定理得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到和，可得，然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．
本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
 

9.【答案】

【解析】解：由，得：，
由，得：，
解集中任何一个的值均在的范围内，
且，
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：把代入，得，
，
故正确；
抛物线经过点，
当时，，
当时，方程成立，
是方程的解，
故正确；
由于函数图象开口向下知，，
抛物线与轴交于正半轴，
，
抛物线的顶点在第一象限，
，
，
，
故错误；
抛物线与与轴交于，
，
，
，
故正确；
故选：．
把代入抛物线的解析式，便可判断的正误；根据二次函数与一元二次方程的关系，便可判断的正误；由抛物线的开口方向确定的正负，再根据顶点坐标的位置，可以确定的正负，由抛物线与轴交点位置，可以确定的正负，于是便可判断的正误；把代入抛物线的解析式，便可求得的值，结合的正负便可判断的正误．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由图象可知：，，
当时，即点运动了，
此时点在线段上，，
则点为的中点，
又因为，
所以．
所以图中的坐标为．
故选：．
图中的图象有三段，正好对应图中的线段，，，所以，，当时，则点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得此时的长度，即图中点的纵坐标．
本题考查了动点问题的函数图象，解题时注意图中的点的并不是最小值，另外不要求成图中的点的坐标．
 

12.【答案】

【解析】解：轴于点，轴于点，
四边形是矩形，
，
把代入，求得，
，
，
，
，
轴于点，
把代入得，，
，
，，
在中，，
，解得，
在第一象限，
，
故选：．
根据题意求得，进而求得，然后根据勾股定理得到，解方程即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，表示出线段的长度是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
利用二次根式的除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：列表如下：其中，，，分别表示四把钥匙，，表示四把锁，能开启，能开启，

所有等可能的情况有种，任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况有种，，，
则．
故答案为：
列表得出所有等可能的情况数，找出任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次就能打开锁的情况，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故答案为．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，

正五角星中，五边形是正五边形，
，
，
．
故答案为：．
正五角星中，五边形是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得，然后根据三角形的内角和定理可求得的度数．
本题考查了多边形的内角与外角，正确理解五边形是正五边形是解题关键．
 

17.【答案】

【解析】解：当与、相切时，点到上的点的距离最大，如图，
过点作于，于，
，
平分，
四边形为正方形，
点在上，
，，
，
即点到上的点的距离的最大值为，
故答案为．
当与、相切时，点到上的点的距离最大，如图，过点作于，于，根据切线的性质得到，利用正方形的性质得到点在上，然后计算出的长即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形的性质．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：此次抽样调查的人数为：人；
接种类疫苗的人数的百分比为：，
接种类疫苗的人数为：人；
人，
即估计该小区所居住的名居民中有人进行了新冠疫苗接种．
画树状图如图：

共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有种，
恰好抽到一男和一女的概率为．

【解析】由类的人数除以所占百分比即可求解；
由接种类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出此次抽样调查的人数所占的百分比，再由此次抽样调查的人数乘以接种类疫苗的人数所占的百分比即可；
由该小区所居住的总人数乘以、、三类所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：设用立方米木料做桌面，用立方米木料做桌腿，则恰好配成方桌张，
依题意得：，
解得：，
．
答：用立方米木料做桌面，用立方米木料做桌腿，恰好配成方桌张．

【解析】设用立方米木料做桌面，用立方米木料做桌腿，则恰好配成方桌张，根据制作桌面和桌腿的木料共立方米且一张方桌由一个桌面和四条腿组成，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将的值代入中即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

21.【答案】证明：在边上截取，连接，如右图所示，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】要证明，只要证明和全等即可，然后根据正方形的性质可以得到两个三角形全等的条件，从而可以证明三角形全等，然后即可证明结论成立．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：
则四边形是矩形，
由题意得：米，，，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
米，，
在中，，
，
，
，
米，
答：此时无人机的高度为米．
米，
米，
过点作，交的延长线于，作于，
在中，，米，米，
，
在中，米，
米，
米，
秒，
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．

【解析】过点作于点，过点作于点，由题意得米，，，再由锐角三角函数定义表示出的长，然后表示求出的长，进而得到，即可求得．
求得，即可求得，进而即可求得无人机刚好离开操控者的视线所用的时间．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．
 

23.【答案】解：过点作于点，
，
，
，
又，，
≌，
，，
对直线，当时，，
，，
设，则，，
的面积与的面积之比为：．
，
，化简得：，
又，即：，
，
解得：，，
，
，，
把点，代入，得：
，解得：，
一次函数的表达式为：．
由，得：，
，
正方形的顶点，，，
，
，
为直角三角形，且，
线段是的外接圆直径，
外接圆半径为：．

【解析】作于点，得到≌，结合面积比，求出，，得到一次函数表达式；
联立一次函数和反比例函数，求出点坐标，由直角三角形和“的圆周角所对的弦是直径”得到外接圆的半径．
本题考查了正方形的性质、一次函数解析式和的圆周角所对的弦是直径，其中通过作辅助线构造全等三角形求出点、是这个题目的突破点．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

是的切线，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
解：，，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，即．

【解析】如图，连接，先根据切线的性质和同圆的半径相等，及等边对等角可得：，从而得结论；
证明∽，得，再证明∽，列比例式可得结论．
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，第二问证明∽列比例式计算的长是解本题的关键．
 

25.【答案】解：将点，分别代入中，得：，解得，
抛物线得函数关系为；

由抛物线的表达式知，其对称轴为，
故设点，
设点，
当以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则且，
解得或，
故点、的坐标分别为、或、；

当时，，解得：，，
，
又，
抛物线得顶点得坐标为，
、、，
，，，
，
是直角三角形，且，
设点得坐标，则点得坐标为，
根据题意知：，
要使以、、为顶点得三角形与相似，需要满足条件：，
当时，此时有：，
解得：，或，，都不符合，所以时无解；
当时，此时有：，
解得：，不符合要求，舍去或，不符合要求，舍去，
或，
当时，此时有：或，
解得：不符合要求，舍去或，不符要求，舍去，
点或，
答：存在点，使得、、为顶点得三角形与相似，点的坐标为：或或或．

【解析】用待定系数法即可求解；
当以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形时，点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样向右平移个单位向上平移个单位得到点，即可求解；
要使以、、为顶点得三角形与相似，需要满足条件：，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．