2023年辽宁省丹东十九中中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省丹东十九中中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省丹东十九中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023的相反数是(    )
A. 12023 B. −12023 C. 2023 D. −2023
2. 下列运算正确的是(    )
A. a2+a3=a5 B. a2⋅a4=a6
C. (−a2)3=a6 D. −2a3b÷ab=−2a2b
3. 如图所示几何体的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 一组数据2，4，x，6，8的众数为2，则这组数据的中位数为(    )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 函数y=x x−5中，自变量x的取值范围是(    )
A. x>0且x≠5 B. x≥5 C. x>5 D. x≤5
6. 如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1//l2，BA=BC，BC⊥l2，若∠1=116°，则∠CAB的度数等于(    )
A. 20°
B. 22°
C. 24°
D. 26°
7. 甲、乙、丙、丁四支花样滑冰队的人数相同，且平均身高都是1.75m，身高的方差分别是S甲2=0.13，S乙2=0.11，S丙2=0.09，S丁2=0.15，则身高比较整齐的滑冰队是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 如图，在▱ABCD中，CD=4，∠B=60°，BE：EC=2：1，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于两点，过两个交点作直线交平行四边形的边BC于点E，则▱ABCD的面积为(    )
A. 12 B. 12 2 C. 12 3 D. 12 5
9. 如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD//BO，∠ABO=60°，AB=8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是(    )
A. 64π3 B. 32π3 C. 64π3−8 3 D. 64π3−32 3
10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对称轴为直线x=1.则下列结论：
①abc<0；
②2a+3b>0；
③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；
④若关于x的方程ax2+bx+c=a+5有两个相等的实数根，则a=−2．
正确的个数为(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 新冠病毒的直径大约是0.00000014米，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播．数据0.00000014用科学记数法表示为______．
12. 把多项式3mx2−12my2分解因式的结果是        ．
13. 关于x的不等式组x−a≥05−2x>3有2个整数解，则a的取值范围是______．
14. 不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是______ ．
15. 若关于x的方程(k−2)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．
16. 如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，AN与BM交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的反比例函数的解析式为______ ．


17. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E在射线BC上运动，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，EF交射线AD于G，如果△FAG是直角三角形，则BE的长为______ ．

18. 如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE.下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG=S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2−CH2=GQ⋅GD，正确的是______ (填序号即可)．


三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x+1，其中x=|1− 2|−2cos60°．
20. (本小题14.0分)
某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动.某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

(1)在这次调查中，被调查的学生总人数为______ 人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为______ %，
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)如果学校有1800名学生，请估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目．
(4)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学.现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请列表格或画树状图求出所抽取的2名同学恰好都是女同学的概率．
21. (本小题12.0分)
某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬25%，现A型机器人要搬运1000kg物品，B型机器人要搬运700kg物品，结果B型机器人提前1小时完成任务，求A、B型机器人每小时搬运多少千克的物品．
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点O作AB的垂线交BC的延长线于点F，交AC于点D，点E是DF的中点，连接CE．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若OA=4，EF=3，求弦AC的长．

23. (本小题12.0分)
如图，在河流的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i=1：2(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)的山坡CF，点E、点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为14°.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： 2≈1.41， 5≈2.24，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25)
(1)求点D到地面的垂直高度DE的长；
(2)求楼AB的高度．

24. (本小题12.0分)
第二十二届世界杯足球赛于2022年11月20日在卡塔尔境内举行.某经销商购进了一批以足球世界杯为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元.根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，每日销售量是500件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件.设该批文化衫的销售单价为x元(x>40)，每日销售量y件．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)若经销商获得了8000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？
(3)若经销商规定该文化衫销售单价不低于44元，且商场要完成不少于350件的销售任务，则该经销商销售该文化衫获得的最大利润是多少元？
25. (本小题12.0分)
将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α，连接BE，过点B作BF⊥直线DE，垂足为点F，连接CF．

(1)如图1，当α=30°时，△BEF的形状为        ，DECF的值为        ；
(2)当90°<α<180°时，
①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②如图3，正方形ABCD边长为4，DN⊥BE，CM⊥BE，在AE旋转的过程中，是否存在△AMN与△BEF相似？若存在，则CF的值为        ，若不存在，请说明理由．
26. (本小题14.0分)
如图1，抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B两点，与y轴交于点C(0,4)．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点，AD与BC交于点E，且AE=5DE，求点D的坐标；
(3)如图2，已知点M(0,1)，抛物线上是否存在点P，使锐角∠MBP满足tan∠MBP=12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：2023的相反数是−2023．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】B 
【解析】解：A：a2，a3不是同类项，不能合并，故A是错误的；
B：a2⋅a4=a6，故B是正确的；
C：(−a2)3=−a6，故C是错误的；
D：−2a3b÷ab=−2a2，故D是错误的；
故选：B．
分别根据整式的加减，同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式的除法运算法则求解．
本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：A．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵数据2，4，x，6，8的众数为2，
∴x=2，
则数据重新排列为2、2、4、6、8，
所以中位数为4，
故选：B．
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5.【答案】C 
【解析】解：由题意得：x−5>0，
解得：x>5，
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：过点A作AD⊥l1，

∵∠1=116°，
∴∠DAC=116°−90°=26°，
∵l1//l2，BC⊥l2，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠C=26°，
∵BA=BC，
∴∠CAB=∠C=26°，
故选：D．
过点A作AD⊥l1，即可求得∠DAC=116°−90°=26°，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠CAB=26°．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵s甲2=0.13，s乙2=0.11，s丙2=0.09，s丁2=0.15，且0.09<0.11<0.13<0.15，
∴身高比较整齐的游泳队是丙游泳队，
故选：C．
找出方差最小的游泳队即可．
本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定．

8.【答案】C 
【解析】解：过点A作AF⊥BC于点F，

在▱ABCD中，∵CD=4，
∴AB=CD=4，
由作法得EM垂直平分AB，
∴AE=BE=4，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=4，
∵BE：EC=2：1，
∴EC=2，BC=BE+EC=4+2=6；
又∵AF⊥BC，∠B=60°，
∴sin∠ABF=AFAB，
∴AF=AB⋅sin∠ABF=4× 32=2 3，
∴S▱ABCD=BC⋅AF=6×2 3=12 3．
故选：C．
利用基本作图得到EM垂直平分AB，根据平行四边形的性质以及等边三角形的判定和性质得出BE=4，再解直角△ABF，求出AF，进而得出▱ABCD的面积．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，也考查了作已知线段的垂直平分线，利用基本作图得到EM垂直平分AB是解题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，连接OA，

∵∠ABO=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=8，
∵AD//BO，
∴∠OAD=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵△OAD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，
∴S阴影=S扇形AOB=60π×82360=323π.
故选：B．
连接OA、OD，根据已知条件可得∠AOD=60°，△OAB是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，判断出△AOD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，且△AOB是等边三角形，利用扇形的面积公式求解是解题关键．

10.【答案】A 
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故②错误．
∵抛物线交x轴于点(−1,0)，(3,0)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
当x=1时，y的值最大，最大值为−4a，故③正确．
∵ax2+bx+c=a+5有两个相等的实数根，
∴a(x+1)(x−3)=a+5有两个相等的实数根，
∴ax2−2ax−4a−5=0，Δ=0，
∴4a2−4a(−4a−5)=0，
∴a(a+1)=0，
∴a=0(舍去)或a=−1，故④不正确，
故选：A．
①错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
②正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
③正确．设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，当x=1时，y的值最大，最大值为−4a；
④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式<0，解不等式即可．
本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，

11.【答案】1.4×10−7 
【解析】解：0.00000014=1.4×10−7，
故答案是：1.4×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查了科学记数法．解题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数的方法，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

12.【答案】3m(x−2y)(x+2y) 
【解析】解：3mx2−12my2
=3m(x2−4y2)
=3m(x−2y)(x+2y)，
故答案为：3m(x−2y)(x+2y)．
先提公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

13.【答案】−2 【解析】解：解不等式x−a≥0，得：x≥a，
解不等式5−2x>3，得：x<1，
∵不等式组有2个整数解，
∴−2 故答案为：−2 求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式，解之可得答案．
本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组中x的取值范围及整数解的个数得出关于a的不等式组．

14.【答案】14 
【解析】解：∵袋子中共有3+5+4=12个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为3，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是312=14，
故答案为：14．
用红色球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

15.【答案】k<6且k≠2 
【解析】解：∵关于x的方程(k−2)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k−2≠0△=(−4)2−4×1×(k−2)>0，
解得：k<6且k≠2．
故答案为：k<6且k≠2．
先根据关于x的方程(k−2)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．

16.【答案】y=5x 
【解析】解：∵矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，AN与BM交于点E，
∴12AO⋅ON=12ABAM，即：S△AON=S△AMB，
∴S△AON−S△AME=S△AMB−S△AME，即：△ABE的面积等于四边形EMON的面积，
∴S△ABE=1，
取AN的中点F，连接MF，则：MF//ON,MF=12ON，

∴MF//AB,MF=14AB，
∴△AEB∽△FEM，
∴ME：BE=MF：AB=1：4，
∴S△AME：S△ABE=ME：BE=1：4，
∴S△AME=14，
∴S△AMB=S△AME+S△ABE=54，即：12AB⋅AM=12AB⋅12OA=54，
∴AB⋅OA=5，即：矩形OABC的面积为5；
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k=S矩形OABC=5，
∴反比例函数的解析式为：y=5x；
故答案为：y=5x．
利用等积法，得到△ABE的面积等于四边形EMON的面积，取AN的中点F，连接MF，得到MF//ON,MF=12ON，进而得到MF//AB,MF=14AB，得到△AEB∽△FEM，得到ME：BE=1：4，得到△AME的面积，进而得到△ABM的面积，从而得到矩形OABC的面积，即可得解．
本题考查已知图形面积求k值，同时考查了矩形的性质，三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握k值的几何意义，添加辅助线构造三角形的中位线，证明三角形相似，是解题的关键．

17.【答案】3+3 3或6 3+12 
【解析】解：当∠AGF=90°时，如图所示，过点A作AH⊥BC于点H，则四边形AHEG是矩形，

∵折叠，
∴AH=AG，
∴四边形AHEG是正方形，
∴HE=AH，
∵AB=6，∠B=60°，
∴∠BAH=30°，EH=AH= 32AB=3 3，BH=12AB=3，
∴BE=BH+EH=3+3 3，
当∠FAG=90°时，如图所示，

∵∠F=∠B=60°，
∴∠FEH=30°，
∵AH=3 3，AF=AB=6，
∴FH=6+3 3，
∴HE= 3FH=6 3+9，
∵BH=3，
∴EB=HE+BH=6 3+12，
综上所述，BE的长为：3+3 3或6 3+12，
故答案为：3+3 3或6 3+12．
依题意分∠FAG=90°，∠AGF=90°，两种情况讨论即可求解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质与判定，勾股定理，折叠问题，分类讨论是解题的关键．

18.【答案】①③④ 
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°．
由折叠可知：∠GEP=∠BCD=90°，∠F=∠D=90°．
∴∠BEP+∠AEG=90°，
∵∠A=90°，
∴∠AEG+∠AGE=90°，
∴∠BEP=∠AGE．
∵∠FGQ=∠AGE，
∴∠BEP=∠FGQ．
∵∠B=∠F=90°，
∴△PBE～△QFG．
故①正确；
②过点C作CM⊥EG于M，
由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
在△BEC和△MEC中，
∠B=∠EMC=90°∠BEC=∠GECCE=CE，
∴△BEC≌△MEC(AAS)．
∴CB=CM，S△BEC=S△MEC．
∵CG=CG，
∴Rt△CMG≌Rt△CDG(HL)，
∴S△CMG=S△CDG，
∴S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC+S四边形CDQH，
∴②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠BEC=∠GEC，
即EC平分∠BEG．
∴③正确；
④连接DH，MH，HE，如图，

∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，
∴∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=12∠BCD=45°，
∵EC⊥HP，
∴∠CHP=45°．
∴∠GHQ=∠CHP=45°．
由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，
∴EH⊥CG．
∴EG2−EH2=GH2．
由折叠可知：EH=CH．
∴EG2−CH2=GH2．
∵CM⊥EG，EH⊥CG，
∴∠EMC=∠EHC=90°，
∴E，M，H，C四点共圆，
∴∠HMC=∠HEC=45°．
在△CMH和△CDH中，
CM=CD∠MCG=∠DCGCH=CH，
∴△CMH≌△CDH(SAS)．
∴∠CDH=∠CMH=45°，
∵∠CDA=90°，
∴∠GDH=45°，
∵∠GHQ=∠CHP=45°，
∴∠GHQ=∠GDH=45°．
∵∠HGQ=∠DGH，
∴△GHQ∽△GDH，
∴GQGH=GHGD．
∴GH2=GQ⋅GD．
∴GE2−CH2=GQ⋅GD．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故答案为：①③④．
①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；
②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG=S△BEC+S△CDG>S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；
③由折叠可得：∠GEC=∠DCE，由AB//CD可得∠BEC=∠DCE，结论③成立；
④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE=∠MCE，∠MCG=∠DCG，所以∠ECG=∠ECM+∠GCM=12∠BCD=45°，由于EC⊥HP，则∠CHP=45°，由折叠可得：∠EHP=∠CHP=45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2−EH2=GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC=∠EHC=90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC=∠HEC=45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH=∠CMH=45°，这样，∠GDH=45°，因为∠GHQ=∠CHP=45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2=GQ⋅GD，从而说明④成立．
本题主要考查了正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．

19.【答案】解：(x−1−3x+1)÷x2+4x+4x+1
=x2−1−3x+1×x+1(x+2)2
=(x+2)(x−2)x+1×x+1(x+2)2
=x−2x+2，
∵x=|1− 2|−2cos60°= 2−1−2×12= 2−2．
∴原式= 2−4 2=1−2 2． 
【解析】将所求分式通分，再将分式的除法转化为乘法，结合平方差公式，即可化简原式，代入得到的x的值，即可求解本题．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．

20.【答案】50  20 
【解析】解：(1)调查的总人数为：20÷40%=50(人)，“乒乓球”的百分比=1050×100%=20%；
故答案为：50、20；
(2)喜欢篮的人数有：50−20−10−15=5(人)，
补全统计图如下：

(3)1800×550=180(人)，
答：估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目为180人；
(4)画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
∴所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率=1220=35．
(1)先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，用乒乓球人数除以总人数即可计算出喜欢乒乓球项目的百分比；
(2)用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，补全条形统计图即可；
(3)用样本中喜欢篮球项目的情况估计总体即可；
(4)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

21.【答案】解：设B型机器人每小时搬运x千克的物品，则A型机器人每小时搬运(1+25%)x千克的物品，
依题意得：1000(1+25%)x−700x=1，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴(1+25%)x=125．
答：A型机器人每小时搬运125千克的物品，B型机器人每小时搬运100千克的物品． 
【解析】设B型机器人每小时搬运x千克的物品，则A型机器人每小时搬运(1+25%)x千克的物品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合B型机器人提前1小时完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠DCF，
∵点E是DF的中点，
∴EC=ED=EF，
∴∠DCE=∠EDC，
∵OF⊥AB，OA=OC，
∴∠DOA=∠A+∠ADO=90°，
∵∠A=∠OCA，∠ADO=∠CDE，
∴∠OCA+∠CDE=∠OCA+∠DCE=90°，
即EC⊥OC，
∵OC是半径，
∴EC是⊙O的切线；
(2)解：∵EF=3，
∴EC=DE=3，
∴OE= OC2+CE2= 42+32=5，
∴OD=OE−DE=2，
在Rt△AOD中，
AD= OA2+OD2= 42+22=2 5，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AOD，
∴△AOD∽△ACB，
∴OAAC=ADAB，
即4AC=2 58，
∴AC=16 55． 
【解析】(1)根据圆周角定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出EC⊥OC即可；
(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形，掌握切线的判断方法，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．

23.【答案】解：(1)由题意得：DE⊥EC，CD=20米，
∵山坡CF的坡度i=1：2，
∴DECE=12，
∴设DE=x米，则CE=2x米，
在Rt△DEC中，CD= DE2+CE2= x2+(2x)2= 5x(米)，
∴ 5x=20，
解得：x=4 5，
∴DE=4 5≈9.0(米)，CE=2x=8 5≈17.9(米)，
∴点D到地面的垂直高度DE的长约为9.0米；
(2)过点D作DG⊥AB，垂足为G，

由题意得：DE=BG=4 5米，DG=EB，
设BC=x米，
∵EC=8 5米，
∴DG=EB=EC+CB=(x+8 5)米，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC⋅tan45°=x(米)，
在Rt△ADG中，∠ADG=14°，
∴AG=DG⋅tan14°≈0.25(x+8 5)米，
∴AB=AG+BG=0.25(x+8 5)+4 5=(0.25x+6 5)米，
∴0.25x+6 5=x，
解得：x=8 5，
∴AB=8 5≈17.9(米)，
∴楼AB的高度约为17.9米． 
【解析】(1)由题意得：DE⊥EC，CD=20米，根据已知山坡CF的坡度i=1：2，可设DE=x米，则CE=2x米，然后在Rt△DEC中，利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，即可解答；
(2)过点D作DG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：DE=BG=4 5米，DG=EB，设BC=x米，则DG=EB=(x+8 5)米，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：(1)∵销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件，
∴y=500−10(x−40)=−10x+900；
(2)根据题意得：(x−30)(−10x+900)=8000，
解得x=70或x=50，
∴该文化衫单价x应为70元或50元；
(3)设经销商销售该文化衫获得的利润是w元，
∵销售单价不低于44元，且商场要完成不少于350件的销售任务，
∴x≥44−10x+900≥350，
解得44≤x≤55，
根据题意得：w=(x−30)(−10x+900)=−10x2+1200x−27000=−10(x−60)2+9000，
∵−10<0，对称轴为直线x=60，
∴当x=55时，w取最大值，最大值为−10×(55−60)2+9000=8750(元)，
∴该经销商销售该文化衫获得的最大利润是8750元． 
【解析】(1)由销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件，得y=500−10(x−40)=−10x+900；
(2)根据获得了8000元销售利润得：(x−30)(−10x+900)=8000，即可解得答案；
(3)设经销商销售该文化衫获得的利润是w元，由销售单价不低于44元，且商场要完成不少于350件的销售任务，可得44≤x≤55，而w=(x−30)(−10x+900)=−10x2+1200x−27000=−10(x−60)2+9000，根据二次函数性质可得答案．
本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

25.【答案】等腰直角三角形  2 4 55 
【解析】解：(1)如图，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD= 2BC，∠DBC=45°，
∵AB绕点A逆时针旋转30°至AE，
∴AB=AE，∠BAE=30°，
∴AD=AE，∠DAE=60°，∠AEB=∠ABE=75°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠DEA=60°，
∴∠BEF=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE= 2BF，∠EBF=45°=∠DBC，
∴∠DBE=∠CBF，BEBF=BDBC= 2，
∴△BCF∽△BDE，
∴DECF= 2，
故答案为：等腰直角三角形， 2；
(2)①结论仍然成立，理由如下：
连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD= 2BC，∠DBC=45°，
∵AB绕点A逆时针旋转至AE，
∴AB=AE，
∴AD=AE，∠AEB=∠ABE=45°−∠DAE2，
∴∠AED=90°--∠DAE2，
∴∠BEF=45°，
∵BF⊥DE，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE= 2BF，∠EBF=45°=∠DBC，
∴∠DBE=∠CBF，BEBF=BDBC= 2，
∴△BCF∽△BDE，
∴DECF= 2；
②如图，过点A作AH⊥BE于H，

∵90°<α<180°，
∴∠ANM与∠AMN都不等于90°，
∵△AMN∽△FEB，
∴∠AFB=∠MAN=90°，∠AMN=∠FEB=45°，∠ANM=∠FBE=45°，
∵CM⊥BE，AH⊥BE，
∴∠AHB=∠CMB=∠ABC=90°，
∴∠ABH+∠CBH=90°=∠CBH+∠BCM，
∴∠ABH=∠BCM，
又∵AB=BC，
∴△ABH≌△BCM(AAS)，
∴AH=BM，
∵∠ANM=∠AMN=45°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∵AH⊥MN，
∴NH=HM=AH，
∴AH=HM=BM，
∴BH=2AH，
∵AH2+BH2=AB2，
∴5AH2=16，
∴AH=4 55，
∴AH=BM=4 55，
∵AB=AE，AH⊥BE，
∴EH=BH，
∴EH−NH=BH−HM，
∴EN=BM=4 55，
∵DN⊥BE，∠FEB=45°，
∴△DEN是等腰直角三角形，
∴DE= 2EN=4 105，
由(2)可得DECF= 2，
∴CF=4 55，
故答案为：4 55．
(1)由旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=30°，可证△ADE是等边三角形，可得∠DEA=60°，可证△BEF是等腰三角形；通过证明△BCF∽△BDE，可得DECF= 2；
(2)①通过证明△BCF∽△BDE，可得DECF= 2；
②由“AAS”可证△ABH≌△BCM，可得AH=BM，由勾股定理可求AH=BM=4 55，由等腰直角三角形的性质可求DE的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．

26.【答案】解：(1)把A(−2,0)，C(0,4)代入y=ax2+23x+c(a≠0)，
得：4a−43+c=0c=4，
解得：a=−23c=4，
∴抛物线的解析式为y=−23x2+23x+4；
(2)过点D作DF//AB交BC于点F，

当y=0时，有−23x2+23x+4=0，
解得x1=−2，x2=3，
∴B(3,0)，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
代入B(3,0)，C(0,4)得：3k+b=0b=4，
解得k=−43b=4，
∴直线BC的解析式为：y=−43x+4，
设点D的横坐标为t，则D(t,−23t2+23t+4)，
∴F(12t2−12t,−23t2+23t+4)，
∴DF=t−(12t2−12t)=−12t2+32t，
∵A(−2,0)，B(3,0)
∴AB=5，
∵DF//AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴DFAB=DEAE，
∴−12t2+32t5=DE5DE=15，
∴−12t2+32t=1，
解得：t1=1，t2=2，
∴点D的坐标为(1,4)或(2,83)；
(3)存在点P，使tan∠MBP=12，
①当PB在MB上方时，过点M作IM⊥PB交PB于I，过I作IJ⊥y轴于J，
则tan∠MBI=MIMB=12，
∵∠JMI+∠JIM=90°，∠JMI+∠OMB=90°，
∴∠JIM=∠OMB，
又∵∠IJM=∠MOB=90°，
∴△MIJ∽△BMO，
∴IJMO=JMOB=IMMB，
∴IJ1=JM3=12，
∴IJ=12，JM=32，
∴OJ=JM+OM=52，
∴I(12,52)，
设直线BI的解析式为：y=mx+n，
代入B(3,0)，I(12,52)得：3m+n=012m+n=52，
解得：m=−1n=3，
∴直线BI的解析式为：y=−x+3，
联立y=−23x2+23x+4y=−x+3，
解得：x=−12y=72或x=3y=0(不合题意，舍去)，
∴此时点P的坐标为(−12,72)；
②当PB在MB下方时，过点M作KM⊥P′B交P′B于K，过K作KL⊥y轴于L，
同理可得，点P的坐标为(−3114,−7398)，
综上所述，点P的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．
 
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)过点D作DF//AB交BC于点F，求出点B坐标和直线BC的解析式，设点D的横坐标为t，可得D(t,−23t2+23t+4)，F(12t2−12t,−23t2+23t+4)，求出DF，证明△DEF∽△AEB利用相似三角形的性质列出比例式求出t的值即可；
(3)分情况讨论：①当PB在MB上方时，过点M作IM⊥PB交PB于I，过I作IJ⊥y轴于J，证明△MIJ∽△BMO，利用相似三角形的性质求出IJ=12，JM=32，进而可得点I的坐标，然后求出直线BI的解析式，联立抛物线和直线BI的解析式即可求出此时点P的坐标；②当PB在MB下方时，同理求解即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，利用数形结合的思想是解题的关键．