2022年湖北省武汉市汉阳区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2022年湖北省武汉市汉阳区中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列事件中是必然事件的是

A. 从一个装有个红球、个黑球除颜色外无其他差别的不透明盒子里任意取个球；一定有黑球
B. 从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃
C. 射击运动员射击一次，击中靶心
D. 汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯

3. 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式中，计算结果为的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示的几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

6. 若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

7. 为落实“五育并举”，某校利用课后延时服务时间进行趣味运动，甲同学从跑道处匀速跑往处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为秒，甲、乙两人之间的距离为米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是

A.  B.  C.  D.

8. 两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起．从四张小图片中随机取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，某零件由个长为，宽为的矩形工件和个边长为的正方形工件组成一个轴对称图形，刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数与的图象交于点，则代数式的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 化简的结果是______ ．
12. 学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级共售书本，具体情况如下表：

则在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是______．

13. 计算： ______ ．
14. 如图，小丽同学为了测量某古塔的高度，她站在处仰望楼顶，仰角为，走到点处仰望楼顶，仰角为，眼睛，离同一水平地面的高度为米，米，则楼顶离地面的高度约是______米参考数据：，，按四舍五入法将结果精确到．

15. 抛物线的对称轴为，经过点，顶点为，下列四个结论：
    若，则；
    若与异号，则抛物线与轴有两个不同的交点；
    方程一定有两个不相等的实数解；
    设抛物线交轴于点，不论为何值，直线始终过定点．
    其中正确的是______填写序号．
16. 如图，在边长为的等边中，点在边上自向运动，点在边上自向运动，且运动速度相同，连接，交于点，连接，在运动过程中，线段扫过的面积为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解不等式组请按下列步骤完成解答：
    Ⅰ解不等式，得______；
    Ⅱ解不等式，得______；
    Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来；
    
    Ⅳ原不等式组的解集为______．
18. 已知，，平分交的延长线于点求的度数．
    
    
     

19. 某市举办中小学生经典诵读活动，激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书、读好书”，某校对九年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的数量最少的是本，最多的是本，并根据调查结果绘制了如图不完整的图表．
    
    补全条形统计图，扇形统计图中的______；
    本次抽样调查中，众数是______，扇形统计图中课外阅读本的扇形的圆心角大小是______；
    若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生课外阅读至少本的人数．
20. 如图，是的直径，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．
    求证：是的切线；
    若弦，，求的长．
     

21. 如图，在由边长为的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系，格点的顶点坐标分别为，，，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：
    画出格点关于直线的对称点，并写出点的坐标______；
    在上画点，使；
    在上画点，使；
    在上画点，使．

22. 为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是元，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量与销售价格元的函数关系如图所示．
    求与间的函数解析式；
    求这一天销售草皮获得的利润的最大值；
    若该公司按每销售草皮提取元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于元，直接写出该草皮销售价格的范围．

23. 【模型探究】如图，，，分别为三边，，上的点，且求证：∽；
    【模型应用】为等边三角形，其边长为，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
    如图，当点在线段上时，求的值；
    如图，当点落在线段的延长线上时，直接写出的长．

24. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点在轴上，，经过点，的抛物线交直线于另一点．
    求抛物线的解析式；
    点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点当时，求点的坐标；
    抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线不与轴平行与抛物线交于点，，直线，分别交轴于点，，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．
故的绝对值是．
故选：．
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】

【解析】解：、从一个装有个红球、个黑球除颜色外无其他差别的不透明盒子里任意取个球，一定有黑球，是必然事件，符合题意；
B、从一副扑克牌中任意抽取一张牌，这一张牌是红桃是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，击中靶心是随机事件，不符合题意；
D、汽车行驶到有信号灯控制的十字路口，正好遇到红灯是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意，；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
A 、 两项不能合并，错误；
C 、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
D 、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解： 、本选项不能合并，错误；
B 、本选项不能合并，错误；
C 、 ，本选项错误；
D 、 ，本选项正确，
故选 D   

5.【答案】

【解析】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．
故选：．
根据左视图即从左边观察所得图形．
本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．
 

6.【答案】

【解析】解：，
函数在第一象限和第三象限内的函数值随的增大而减小，
当时，，且，
，
故选：．
由函数的增减性解题．
本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
 

7.【答案】

【解析】解：由图象可得，
甲的速度为米秒，
乙的速度为：米秒，
则，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟跑的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
 

8.【答案】

【解析】解：将四张小图片分别记作、、、，
列表如下：

所有等可能的情况有种；其中两张小图片恰好合成一张完整图片的情况数目有种，
所以两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为，
故选：．
将四张小图片分别记作、、、，首先利用列表法展示所有可能的结果数，再找出两张小图片恰好合成一张完整图片的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】

【解析】解：作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，
则，，
设，则，
在中，，即，
在中，，即，
，
解得：，
则，
刚能将其完全覆盖的圆形纸片的最小半径为，
故选：．
作的垂直平分线交于，交于，作的垂直平分线交于，连接、，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，正确作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：函数与的图象交于点，
，，
，整理得，








．
故选：．
将点坐标代入到两个解析式，可以的到和，将代数式变形，代入即可解决．
本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，关键步骤是将代数式进行准确变形，再运用整体思想进行代入，是本题的突破口．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故应填．
由于的平方等于，而的算术平方根为，由此即可求解．
此题主要考查了平方根的性质，要求学生能够求解一些简单的算术平方根的值．
 

12.【答案】元

【解析】解：共有本图书，
从小到大排列第本和第本图书价格的平均值为中位数，
即中位数为：元．
故答案为：元．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

13.【答案】

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先通分，化成同分母分式再运算．
本题主要考查了分式的加减法，将异分母分式化成同分母分式是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：在直角中，，设，
，
在直角中，，则，
，
解得：，
，
则米．
答：楼顶离地面的高度约是米．
故答案为：．
根据锐角三角函数列式计算即可求出楼顶离地面的高度．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 

15.【答案】

【解析】解：的对称轴为，
，
，
抛物线经过，
，即，，
若，则，
，正确．
，
，
，
与异号，
，
抛物线与轴有个不同交点，正确．
，
，
方程中，
时，方程有两个相同实数解，错误．
抛物线对称轴为直线，
把代入得，
抛物线顶点坐标为，
把代入得，
点坐标为，
设解析式为，把，代入得，
解得，
，
把代入得，
直线经过，正确．
故答案为：．
由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断，由一元二次方程根与系数的关系判断，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，作于，连接，交于，

是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
是的垂直平分线，，
中，，
，，
，
≌，
，
，
，
，
点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，
线段扫过的面积

．
故答案为：．
如图，过点作于，作于，连接，交于，证明≌，得，再证明≌，可得，确定点的运动路径是以点为圆心，以为半径的弧，利用面积差可得线段扫过的面积．
本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点的运动轨迹等知识，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来如下：

Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
，，
，
，
平分，
，
．

【解析】由平行线的性质可得，，求得，，即可判定，则有，再由角平分线的定义可得，从而得解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

19.【答案】  本 

【解析】解：调查人数为：人，
所以“本”的学生人数为：人，
“本”的学生所占的百分比为，即，
故答案为：；
出现次数最多的是本，共有人，因此课外阅读本数最多的是本，即众数是本；
，
故答案为：本，；
人，
答：该校九年级学生课外阅读至少本的大约有人．
根据频率求出调查人数，进而求出“本”的学生人数，再求出其所占的百分比即可；
根据众数的定义可求出众数，求出“本”的学生所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；
求出样本中“课外阅读至少本”所占的百分比即可求出总体中相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，众数，理解条形统计图、扇形统计图所表示数量之间的关系以及众数的定义是正确解答的前提．
 

20.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作，垂足为，

，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
的长为．

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的性质可得，从而求出的度数，然后再利用平行线的性质，进行计算求出的度数，即可解答；
过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出，从而求出的长，然后再证明四边形是正方形，从而可得，最后利用平行线的性质可得，从而证明∽，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：如图，点即为所求，点的坐标．
故答案为：．
如图，点即为所求．
如图，点即为所求．
如图，点即为所求．

取格点，使为等腰直角三角形即可．
取格点，连接，交于点，则点即为所求．
取格点，连接，交于点，使得为等腰直角三角形，则点即为所求．
取格点，，连接，交于点，则点即为所求．
本题考查作图轴对称变换、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质，学会利用数形结合思想解决问题．
 

22.【答案】解：当时，设，
则，
解得：，
；
当时，；
综上，；
当时，，
此时，当时，取得最大值；
当时，，
此时，当时，取得最大值；
综上，这一天销售草皮获得的利润的最大值为元；
当时，
，
令，
，，
定价为；
当时，
，
解得，
．
综上，销售价格确定为或．

【解析】当时，设代，，求得和；当时，；
分别写出当时，当时，相应的函数关系式并求得其最大值，两者相比较，取较大者即可；
分两种情况：当时，当时，分别令其值等于或者大于等于，即可得解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】【模型探究】解：∽，
理由：，
在中，，
，
，
，
，
，
∽；
【模型应用】解：设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
；
解：设，，
是等边三角形，
，，
由折叠知，，，，
在中，，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
，
，，
．

【解析】【模型探究】利用等式的性质判断出，即可得出结论；
【模型应用】同【模型探究】的方法判断出∽，得出比例式，再设出，，进而表示出，，，代入比例式化简即可得出结论；
同的方法即可得出结论．
此题是相似三角形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等式的性质，判断出∽是解本题的关键．
 

24.【答案】解：在中，令得，令得，
，，，
，
，，
，
抛物线经过，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
设，则，，
，，
，
，
解得或与重合，舍去，
；
存在的值使得与的积为定值，理由如下：

在中，令得，
解得或，
，
设，，
设直线的解析式为，
将点代入，得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
设直线的解析式为，
点代入，得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
，
设直线的解析式为，
联立方程组，
，
，，
，
当时，为定值，
当时，．

【解析】在中，可得，，，即知，用待定系数法得抛物线的解析式为；
设，则，，可得，，由，得，即可解得；
由得，设，，直线的解析式为，可得，，同理得，
，从而，设直线的解析式为，有，根据韦达定理得，，可求得，故当时，．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数相关性质，熟练应用二次函数与一元二次方程的关系解决问题．