2023年湖北省武汉市汉阳区中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年湖北省武汉市汉阳区中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省武汉市汉阳区中考数学模拟试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −37的相反数是(    )
A. 37 B. −37 C. −73 D. 73
2. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船开启中国航天新征程.下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是(    )
A. 34 B. 12 C. 13 D. 14
4. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是(    )


A. B. C. D.
5. 计算(−4m2n)3的结果是(    )
A. 64m6n3 B. −64m6n3 C. 12m6n3 D. −12m6n3
6. 若点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(    )
A. x1 7. 已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为(    )
A. 0 B. −10 C. 3 D. 10
8. 如图，OA和BA分别表示甲乙两名学生运动的一次函数的图象，图s和t分别表示路程和时间，根据图象判定快者比慢者的速度每秒快(    )
A. 2.5米
B. 2米
C. 1.5米
D. 1米
9. 已知锐角△ABC内切于⊙O，如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有两个，那么k的取值范围是(    )
A. k=8 3 B. 0 C. 12 10. 同一平面内15条直线最多可以将平面分成个部分．(    )
A. 120 B. 121 C. 122 D. 123
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 写出一个大于2而小于4的无理数______．
12. 利用中国北斗技术，截止到2022年12月，中国测得珠穆朗玛峰的高度为8848.86米.将8848.86用科学记数法表示为______ ．
13. 一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是______ ．
14. 如图所示是某商场自动扶梯的示意图.自动扶梯的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，若测得A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD= ______ m.(精确到0.01)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)


15. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，B(m,0)两点，且10时，现有下列四个结论：
①b<0；②a+b>0；③a+2b=0；④若点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，有(x1−x2)(y1−y2)<0，则x1+x2<1．
其中正确的是______ (填写序号)．
16. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在CB的延长线上，且∠DAE=120°，若AB=2 3，DB=3，求CE的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组x−3<2x①x+13≥x−12②，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集为______ ．
18. (本小题8.0分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE和CD是中线．
(1)求证：BE=CD．
(2)直接写出S△ADES四边形BDEC的值．

19. (本小题8.0分)
某市三景区是人们节假日游玩的热点景区，某学校对九(1)班学生“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别，A：三个景区；B：游两个景区；C：游一个景区；D：不到这三个景区游玩，现根据调查结果绘制了不完全的条形统计图和扇形统计图如下：

请结合图中信息解答下列问题：
(1)九(1)班现有学生______ 人，在扇形统计图中表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为______ ；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校九年级有1000名学生，求计划“五一”小长假随父母不到这三个景区游玩的学生多少名？
20. (本小题8.0分)
如图1，在△ABC中，AB=BC=10，AC=16，以AB为直径作半圆交AC于D，F为劣弧AD上一点，过D作DE⊥BC于E，DE的反向延长线交AF于G．
(1)求证：D是AC中点；
(2)如图2，若F是AD的中点，连结FB交AC于H，求FH的长．


21. (本小题8.0分)
如图1是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上，E为BC与网格线的交点.仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

(1)如图1，在AB上画F点，使EF⊥AB于F，再画△ABC的角平分线AD；
(2)如图2，在BC上画点G，再作直线EG，使直线GE平分△ABC的面积．
22. (本小题10.0分)
原地正面掷实心球是体育训练项目之一.受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩.实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x(m)与竖直高度y(m)的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
2.1
1.6
0.9
求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系y=−0.08x2+0.64x+1.6，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？
23. (本小题10.0分)
问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，E为直角边CB上一点，F为AE上一点，连BF，且∠BFE=45°，若F在CD上，则直接写出∠CFE与∠BFD间满足的数量关系______ ．

数学思考：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，E为直角边CB中点，F为AE上一点，连BF，且∠BFE=45°.求证：CF⊥AE于F．
拓展运用：如图3，在△ABC中，D为AC边中点，E为AB边上一点，∠ACB=∠CEB=45°，若BE= 5，BC=5，直接写出DE的长．
24. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于点A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OC=OB．
(1)直接写出a的值；
(2)如图1，点P为第一象限的抛物线上一点，且满足∠BCP=∠ACO，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB//AQ，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−37的相反数是37；
故选：A．
直接根据相反数的求法求解即可．
本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】A 
【解析】
解：∵总共有4个球，其中红球有3个，摸到每个球的可能性都相等，
∴摸到红球的概率P=34，
故选：A．
【分析】根据红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
本题考查了概率公式，掌握P(摸到红球的概率)=红球可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．  
4.【答案】D 
【解析】解：由题意知，题中几何体的左视图为：

故选：D．
根据左视图的方法直接得出结论即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的方法是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：(−4m2n)3=−64m6n3．
故选：B．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

6.【答案】B 
【解析】解：点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，
∴x1=82=4，x2=8−1=−8，x3=84=2．
∴x2 故选：B．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
∴m+n=−2，mn=−5，
∵m是x2+2x−5=0的一个根，
∴m2+2m−5=0，
∴m2+2m=5，
∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5−5=0．
故选：A．
由于m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n=−2，mn=−5，而m是方程的一个根，可得m2+2m−5=0，即m2+2m=5，那么m2+mn+2m=m2+2m+mn，再把m2+2m、mn的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1、x2之间的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．

8.【答案】C 
【解析】解：如图所示：快者的速度为：64÷8=8(m/s)，
慢者的速度为：(64−12)÷8=6.5(m/s)，
故快者比慢者的速度每秒快：8−6.5=1.5(m/s)．
故选：C．
利用图象分别得出快、慢者行驶的路程和时间，进而求出速度差．
此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键．

9.【答案】C 
【解析】解：(1)当AC 即k>8 3时，三角形无解；
(2)当AC=BC⋅sin∠ABC，即12=k⋅sin60°，
即k=8 3时，三角形有1解；
(3)当BCsin∠ABC 即12 (4)当0 即0 综上所述：当12 故选：C．
要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有两个解时k满足的条件．
本题主要考查了三角形外接圆与外心，分情况讨论k的取值是解题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：由图可知，
(1)有一条直线时，最多分成2部分；
(2)有两条直线时，最多分成2+2=4部分；
(3)有三条直线时，最多分成1+1+2+3=7部分；

(4)设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：
m=1+1+…+(n−1)+n=12n(n+1)+1．
∴15条直线最多可将平面分成12×15×16+1=121个部分．
答：同一平面内15条直线最多可以将平面分成121个部分．
故选：B．
根据一条直线、两条直线、三条直线的情况可总结出规律，从而可得出答案．
本题考查规律型：图形的变化类，直线与平面的关系，有一定难度，注意培养由特殊到一般再到特殊的探究意识．

11.【答案】 7、 8、39、π… 
【解析】解：∵2= 4，4= 16，
∴写出一个大于2小于4的无理数是 7、 8、39、π…．
故答案为： 7、 8、39、π…(只要是大于 4小于 16无理数都可以)等，本题答案不唯一．
根据算术平方根的性质可以把2和4写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质是解题关键．

12.【答案】8.84886×103 
【解析】解：8848.86=8.84886×103，
故答案为：8.84886×103．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

13.【答案】13 
【解析】解：列表如下：
 
白
白
黑
黑
白
——
(白，白)
(黑，白)
(黑，白)
白
(白，白)
——
(黑，白)
(黑，白)
黑
(白，黑)
(白，黑)
——
(黑，黑)
黑
(白，黑)
(白，黑)
(黑，黑)
——
所有等可能的情况有12种，其中从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的情况有4种，
∴随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是412=13．
列表得出所有等可能的情况数，找出任意穿上两只袜子刚好是一对的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】5.20 
【解析】解：∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，∠BAC=30°，∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD−∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠ABC，
∴BC=AC=6m，
在Rt△BDC中，
∵BD=BC⋅sin∠BCD=6× 32=3 3≈5.20(m)，
故答案为：5.20．
根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BC=AC=6m，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．

15.【答案】①②④ 
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，B(m,0)两点，且1 ∴对称轴x=−1+m2>0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴−b2a>0，
∵a>0，
∴b<0，
故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)，过A(−1,0)，B(m,0)两点，且1 ∴对称轴x=−1+m2<12，
∴−b2a<12，
∵a>0，
∴−b ∴a+b>0，
故②正确；
∵x=−12时，y=14a−12b+c<0，x=1时，a+b+c<0，
∴34a+32b<0，
∴a+2b<0，
故③错误；
∵(x1−x2)(y1−y2)<0，
∴(x1−x2)(ax12+bx1+c−ax22−bx2−c)<0，
∴(x1−x2)[a(x1+x2)(x1−x2)+b(x1−x2)]<0，
∴(x1−x2)2[a(x1+x2)+b]<0，
∴a(x1+x2)+b<0，
∴x1+x2<−ba，
由题意可知−b2a<12，
∴−ba<1，
∴x1+x2<1，
故④正确；
故答案为：①②④．
根据抛物线的对称性可知−b2a>0，由a>0，得出b<0，即可判断①；根据抛物线的对称性可知−b2a<12，由a>0得出−b0，即可判断②；x=−12时，y=14a−12b+c<0，x=1时，a+b+c<0，两式相加得出34a+32b<0，进一步得出a+2b<0，即可判断③；把y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c代入不等式，得出(x1−x2)2[a(x1+x2)+b]<0，即可得出a(x1+x2)+b<0，即x1+x2<−ba，由−b2a<12可知x1+x2<1，即可判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

16.【答案】65 
【解析】解：在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，
∵∠DAE=∠BAC=120°，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAB=∠EAF，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠C=30°，
∴∠DBA=180°−∠ABC=150°，∠AFE=180°−∠EFC=150°，
∴∠DBA=∠AFE，
∴△ADB∽△AEF，
∴BD：AB=EF：AF，
∵AB=2 3，DB=3，
∴EF：AF= 3：2，
令FE=x，则CE=x，AF=2 33x，CF= 3x，
∵AC=AF+FC=2 33x+ 3x=2 3，
∴x=65，
∴CE=65．
故答案为：65．
在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，由等腰三角形的性质可以证明△ADB∽△AEF，推出EF：AF= 3：2，令FE=x，则CE=x，AF=2 33x，CF= 3x，得到2 33x+ 3x=2 3，求出x=65，即可得到CE=65．
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造相似三角形．

17.【答案】x>−3  x≤5  −3 【解析】解：(1)解不等式①，得x>−3；
(2)解不等式②，得x≤5；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集是−3 故答案为)−3 按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

18.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BE、CD是中线，
∴BD=12AB，CE=12AC，
∴BD=CE，
在△BCD和△CBE中，
BD=CE ∠ABC=∠ACB BC=CB ，
∴△BCD≌△CBE(SAS)，
∴BE=CD；
(2)解：∵AB=AC，BE和CD是中线，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=(12)2=14，
∵S△ABC=S△ADE+S四边形BDEC，
∴S△ADES四边形BDEC=13． 
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，由已知条件得出BD=CE，证明△BCD≌△CBE，得出对应边相等，即可得出结论；
(2)根据三角形中位线判定与性质得出DE//BC，即可判定△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】50  72° 
【解析】解：(1)∵A类5人，占10%，
∴八(1)班共有学生有：5÷10%=50(人)；
∴在扇形统计图中，表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为：1050×360°=72°；
故答案为：50，72°；

(2)D类：50−5−10−15=20(人)，如图：


(3)计划“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的学生人数是1000×(1−2050)=600(人)．
答：计划“五一”小长假随父母到这三个景区游玩的学生人数是600人．
(1)由A类5人，占10%，可求得总人数，继而求得B类别占的百分数，则可求得“B类别”的扇形的圆心角的度数；
(2)首先求得D类别的人数，则可将条形统计图补充完整；
(3)利用总人数乘以对应的比例即可求解．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

20.【答案】(1)证明：如图1，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
即点D是AC的中点；
(2)解：如图2，连接OF交AC于点M，
由(1)可得AD=CD=12AC=8，
在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，
∴BD= AB2−AD2=6，
∵点F是AD的中点，
∴AF=FD，
∴OF⊥AD，AM=MD=12AD=4，
∴OM是三角形ABD的中位线，
∴OM=12BD=3，
∴MF=OF−OM=5−3=2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，即∠AFM+∠HFM=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AMF=90°，
∴∠AFM+∠FAM=90°，
∴∠FAM=∠HFM，
∵∠FMH=∠AMF=90°，
∴△AFM∽△FHM，
∴FMAM=MHFM，
即24=MH2，
∴MH=1，
在Rt△FMH中，FM=2，MH=1，
∴FH= MF2+MH2= 5． 
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠ADB=90°，BD⊥AC，再根据等腰三角形的性质可得AD=CD；
(2)根据勾股定理可求出BD=6，根据垂径定理可得OF⊥AD，进而得到AM=MD=4，求出OM=3，得出FM=2，由相似三角形的判定和性质求出MH=1，再由勾股定理求出FH即可．
本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角是直角，垂径定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．

21.【答案】解：(1)如图1中，线段EF，线段AD即为所求；
由作图可知，AFFB=AEEC=34，
∴EF//BC，
∵AB⊥BC，
∴EF⊥AB．
∵AT=AC，TK=CK，
∴AK平分∠BAC，即AFD平分∠BAC．
(2)如图2中，直线EG即为所求．

∵BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD，
由作图可知，AG//DE，
∴S△ADE=S△EDG，
∴S△AEO=S△GOD，
∴S四边形ABGE=S△ADB=12S△ABC． 
【解析】(1)取格点P，Q，连接PQ交AB于点F，连接EF，线段EF即为所求．构造等腰三角形ATC，取CT的中点K，连接AK交BC与点D，线段AD即为所求；
(2)取BC的中点D，连接ED，在BD上取一点G，使得AG//DE，作直线EG即可．
本题考查作图−应用于设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题．

22.【答案】解：(1)由表格中数据可知，当x=2和x=4时，y的值相同，
∴x=3是抛物线对称轴，
∴顶点坐标为(3,2.5)，
设抛物线解析式为y=a(x−3)2+2.5，
把(0,1.6)代入解析式得：9a+2.5=1.6，
解得a=−0.1，
∴y与x近似满足的函数关系式为y=−0.1(x−3)2+2.5，
令y=0，则−0.1(x−3)2+2.5=0，
解得x1=8，x2=−2(舍去)，
∴x=8，
∴本次成绩为8米；
(2)令y=0，则−0.08x2+0.64x+1.6=0，
解得x=10或x=−2(舍去)，
∵10>8，
∴第二次训练成绩比第一次训练成绩有提高． 
【解析】(1)根据表格中数据找到顶点坐标，设出抛物线的解析式为y=a(x−3)2+2.5，再把(0,1.6)代入解析式求出a即可；再令y=0，求出x即可；
(2)令y=−0.08x2+0.64x+1.6中的y=0，解方程求出x的值与(1)中的x比较即可．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．

23.【答案】∠CFE+∠BFD=135° 
【解析】问题提出：解：由题意可知∠CFE+∠BFE+∠BFD=180°，
∵∠BFE=45°，
∴∠CFE+∠BFD=180°−∠BFE=135°，
故答案为：∠CFE+∠BFD=135°；
数学思考：证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
则∠BFE=∠ABC=45°，
又∵∠AEB=∠BEF，
∴△AEB∽△BEF，
∴AEBE=BEEF，
∵E为直角边CB中点，
∴BE=CE，
∴AECE=CEEF，
∵∠CEF=∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴∠CFE=∠ACE=90°，
∴CF⊥AE；
拓展运用：解：∵∠ACB=∠CEB=45°，∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴ABBC=BCBE，
即：AB5=5 5，
∴AB=5 5，
∴AE=AB−BE=4 5，
过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，则△AFC为等腰直角三角形，

∴AF=CF，
设BF=x，则AF=x+5，
由勾股定理可得AF2+BF2=AB2，即(x+5)2+x2=(5 5)2，
解得：x=5(负值舍去)，
∴BF=5，AF=CF=10，
则AC=10 2，
∵D为AC边中点，
∴AD=12AC=5 2，
∴ADAB=5 25 5= 105，AEAC=4 510 2= 105，
∴ADAB=AEAC= 105，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴ADAB=DEBC= 105，
即：DE5= 105，
∴DE= 10．
问题提出：由三角形内角和定理可得出答案；
数学思考：证明△AEB∽△BEF，由相似三角形的性质可得出AEBE=BEEF，证明△CEF∽△AEC，由相似三角形的性质可得出∠CFE=∠ACE=90°，则可得出结论；
拓展运用：证明△ABC∽△CBE，由相似三角形的性质可得出ABBC=BCBE，求出AE的长，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，设BF=x，则AF=x+5，由勾股定理得出(x+5)2+x2=(5 5)2，求出BF的长，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质可得出ADAB=DEBC= 105，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．

24.【答案】解：(1)由图象，可知a>0，
将x=0代入y=ax2−2ax−3a中，得y=−3a，
∴点C(0,−3a)，
∴OC=−3a，
令y=0，即ax2−2ax−3a=0，
解得x1=−1，x2=3，
∵点A在点B的左侧，
∴点A(−1,0)，B(3,0)，
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴−3a=−3，
解得a=1；

(2)如图，当点P在第一象限抛物线上时，∠BCP=∠ACO，过点A作AH⊥CP于H，

∵A(−1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，
∴AC= 32+12= 10，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠BCP=∠ACO，
∴∠ACH=∠OCB=45°，
∴AH= 22AC= 5，
∵S△ACK=12AK⋅OC=12CK⋅AH，
∴AKCK=AHOC= 53，
设AK= 5m，CK=3m，OK= 5m−1，
在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2，
∴32+( 5m−1)2=(3m)2，
解得m= 52或− 5(负值不合题意，舍去)，
∴K(32,0)，
∴直线CK解析式为y=2x−3，
∴P(n,2n−3)
∵P在抛物线y=x2−2x−3上，
∴2n−3=n2−2n−3，解得n=0(不合题意，舍去)或4，
∴P(4,5)；

(3)设Q(m,m2−2m−3)，
∵B(3,0)，
设直线BQ的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0mk+b=m2−2m−3，解得k=m+1b=−3(m+1)，
∴直线BQ的解析式为y=(m+1)x−3(m+1)，
∴M(0,−3m−3)，
同理得：直线AQ的解析式为y=(m−3)x+(m−3)，
∵BN//AQ，
设BN的解析式为y=(m−3)x+n，
∵B(3,0)，
∴0=3(m−3)+n，解得n=−3m+9，
∴BN的解析式为y=(m−3)x−3m+9，
∴N(0,−3m+9)，
∴线段MN的长度为−3m+9−(−3m−3)=12，
∴线段MN的长度不会改变，线段MN的长度为12． 
【解析】(1)将x=0代入y=ax2−2ax−3a中，得y=−3a，令y=0，即ax2−2ax−3a=0，求出点B的坐标，进而求出a的值；
(2)当点P在第一象限抛物线上时，∠BCP=∠ACO时，过点A作AH⊥CP，S△ACK=12AK⋅OC=12CK⋅AH，则AKCK=AHOC= 53，设AK= 5m，CK=3m，OK= 5m−1，在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2，
则K(32,0)，求出直线CK解析式为y=2x−3，则P(n,2n−3)，由P在抛物线y=x2−2x−3上，可得2n−3=n2−2n−3，求出n的值，即可求解；
(3)设Q(m,m2−2m−3)，分别求出直线BQ、直线AQ的解析式，根据BN//AQ可得BN的解析式，可得出M、N的坐标，即可得线段MN的长度．
本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．