第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版）

这是一份第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版），共49页。试卷主要包含了棱柱，圆柱，柱体，球的表面积和体积，侧面积与体积的计算等内容，欢迎下载使用。
第08讲简单几何体的表面积和体积（核心考点讲与练）

一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和。计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和。棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
项目
名称
底面
侧面
棱柱
平面多边形
平行四边形
面积=底·高
棱锥
平面多边形
三角形
面积=·底·高
棱台
平面多边形
梯形
面积=·（上底+下底）·高
要点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1．圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．

（2）圆柱的表面：．
2．圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

3．圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇环的面积为π(r＇+r)，即圆台的侧面积为S圆台侧=π(r＇+r)．
（2）圆台的表面积：．
要点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．

【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】
三、柱体、锥体、台体的体积
1．柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2．锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．
综上，锥体的体积公式为．
3．台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．
综上，台体的体积公式为．
4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．

【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】
四、球的表面积和体积
1．球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR2．
即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2．球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．
球的体积公式为．
五、侧面积与体积的计算
1．多面体的侧面积与体积的计算
在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．
（1）棱锥平行于底的截面的性质：
在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：
对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．
要点诠释：
这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．
（2）有关棱柱直截面的补充知识．
在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：
S棱柱侧=C直截（其中C直截、分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），
V棱柱=S直截（其中S直截、分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．
2．旋转体的侧面积和体积的计算
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．
（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．

考点一、简单几何体的表面积
例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．
【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。
【答案】32 cm2 48cm2
【解析】如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE．
∵OE=2 cm，∠OPE=30°，∴．
因此，
S表面积=S侧+S底=32+16=48（cm2）．

【总结升华】 求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分利用棱锥的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解．
例2．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．
【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
【答案】
【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R，圆锥的母线长为．
则有，即，
∴R=2r，,令圆柱和圆锥的表面积分别为S1和S2
∴

【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体．这种切接问题一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算．
例3．一个直角梯形的上底、下底、高的比为，求由它旋转而成的圆台的上底面积，下底面积和侧面积的比．
【答案】1∶4∶6
【解析】如右图，设上、下底和高分别为x、2x、，
则母线，
∴S上底=πx2，S下底=π(2x)2=4πx2，S侧=π(x+2x)2x=6πx2．
∴圆台的上、下底面积及侧面积之比为1∶4∶6．

【总结升华】解题的关键是利用轴截面是等腰梯形，进而化为直角梯形、直角三角形，从而将上、下底半径、高、母线等集中在一个直角三角形中研究．
考点二、简单几何体的体积
例4．如图，在长方体中，已知AD==1，AB=2，点E是AB的中点．

求三棱锥的体积．
【思路点拨】（1）；
【答案】
【解析】由长方体性质可得，⊥平面DEC，
所以是三棱锥的高，
∴三棱锥的体积
．
【总结升华】求几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．

例5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
，故选A．
【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．
【变式1】 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A． B． C． D．

【答案】A
【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥
所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即．
考点三、球的表面积与体积
例6．求体积为的正方体的外接球的表面积和体积．
【答案】
【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．
如图，以正方体的对角面作球的截面，则球心为的中点，设正方体的棱长为，

则，而


【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．
解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．
【变式1】已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【答案】C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O—ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时

，故R=6，则球O的表面积为，故选C．
【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是 cm．

【答案】4
【解析】设球的半径为r cm，则底面圆的半径为r cm，从而有，由此解得r=4。

分层提分

题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据等边三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】
因为四面体的各棱长均为，
所以四面体的四个面都是等边三角形，
所以该四面体的表面积为，
故选：D
2．（2021·河北大名·高一期中）已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为（       ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】
设上底面的半径为，下底面的半径为，利用圆台的侧面积公式：，求出即可求解.
【详解】
设上底面的半径为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，
所以下底面的半径为，又母线长为4，圆台的侧面积为，
所以，解得，所以，
所以圆台的高为，
故选：B．
3．（2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中）一个球的体积为，则此球的半径是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用球的体积公式列方程，解方程求得球的半径.
【详解】
设球的半径为，则.
故选：C
4．（2021·山西高平·高一期中）已知一个圆锥的母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出圆锥的底面半径和高，即得解.
【详解】
由题得底面圆的半径，高，
故圆锥的体积．
故选：D
5．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（　　）
A．9π B．18π C．36π D．72π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球的体积可求球的半径，从而可求球的表面积.
【详解】
设球的半径为，则，故，所以球的表面积为，
故选：C.
二、多选题
6．（2021·广东白云·高一期末）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（       ）


A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断A；由台体的体积公式可判断B；由台体的母线与高可判断C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断D.
【详解】
解：由，且，
可得，高，
则圆台轴截面面积为，故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，
所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，

可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，
从点到中点的最短距离为，故D正确.
故选：ABD.
7．（2021·全国·高一课时练习）（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．
【详解】
设圆柱底面半径为，
若高是，则，，，
若高是，则，，．
故选：AB．
8．（2022·全国·高一）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到，再分类讨论求解三棱锥体积即可。
【详解】
设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，
由题知：，解得.
当外接球球心在线段上时，如图所示：

，，
所以.
当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：

，，
所以.
故选：AB
9．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期末）已知一圆锥底面圆的直径为3，高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则a的值可以为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意可知，当最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球，结合内切、外接球问题，即可求解.
【详解】
根据题意可知，当最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.
设圆锥内切球的圆心为，半径为，圆锥的底面圆心为，半径为，顶点为，作出轴截面，连接，，如图所示.

因为，，所以，
所以为等边三角形，且为的中心，
则.
结合正方体的外接球问题，易知棱长为的正四面体的外接球半径为，
故，解得.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
10．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】
求出正方体的内切球的半径后可求体积
【详解】
将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，
故其半径为，故体积为.
故答案为：
11．（2021·山东枣庄·高一期中）已知一个健身球放在房屋的墙角处，紧靠墙面和地面，即健身球与围成墙角的三个两两互相垂直的面都相切，若墙角顶点到球面的点的最远距离，则球的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得到球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体，从而得到，解得，再计算球体体积即可.
【详解】
由已知可得，球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体，
则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线，即，
又墙角顶点到球面的点的最远距离，
则，解得，
所以球的体积是.
故答案为：.
12．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
【详解】
由题意，设母线长为，
∵圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，

则有，解得，
∴该圆雉的母线长为.
故答案为：.
13．（2021·河北张家口·高一期末）已知圆锥的底面圆的半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出母线的长度，利用扇形的面积公式求面积即可.
【详解】
由题意得：圆锥的母线，则圆锥的侧面积为.
故答案为：
四、解答题
14．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为，底面的半径长为.

（1）求纸篓的容积；
（2）现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）.
【答案】（1）；（2）353个.
【解析】
【分析】
（1）应用圆柱体体积公式 即可；
（2）计算出一个纸篓要用的塑料，即侧面积加底面积即可，再用塑料制品的面积除以一个纸篓要用的材料，即可得到可以做多少个纸篓.
【详解】
解：（1）纸篓的容积为，
（2）一个纸篓要用的塑料的面积为.
由，故最多可以做353个这样的纸篓.
15．（2020·陕西宝鸡·高一期末）如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，．

（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积，
（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积
【详解】
解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线．
∴该圆锥的表面积．
（2）在中，，
∵是PO的中点，∴．
∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径，
∴截得的圆台的体积．
16．（2021·浙江·高一期末）已知按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，．

（Ⅰ）画出的原图并求其面积：
（Ⅱ）若以的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积．
【答案】（Ⅰ）原图见解析，面积为8；（Ⅱ）体积为，表面积为.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据斜二测画法规则还原的原图即可求解；
（Ⅱ）以的边BA为旋转轴旋转一周所得几何体为圆锥，由圆锥体积和表面积公式即可求解.
【详解】
解：（Ⅰ）由斜二测画法，原图中，，的原图如下：

；
（Ⅱ）以的边BA为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4，高为4，母线长为的圆锥，故所得几何体的体积为，所得几何体的表面积为.
17．（2021·宁夏·海原县第一中学高一期末）如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的几分之几？

【答案】.
【解析】
根据三棱锥和柱体的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，边长为1的正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点，
锯掉的三棱锥的体积.
正方体的体积.
锯掉的这块的体积是原正方体的.
故答案为：.
18．（2021·广东惠州·高一期末）如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

（1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图；
（不需要写步骤及作图过程）
（2）求该正四棱锥形容器的体积．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用斜二测画法画出四棱锥的直观图即可．
（2）根据图中数据计算正四棱锥形容器的体积即可．
【详解】
（1）根据题意画出该四棱锥的直观图，如下：

（2）设加工后的正四棱锥为，易得地面是边长为的正方形，斜高为50，所以棱锥高

正四棱锥形容器的体积为．
故所求正四棱锥形容器的体积为．
19．（2021·黑龙江·鹤岗一中高一期末）正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.

求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）棱锥的表面积与体积.
【答案】（1）侧棱长为，侧面的高为；（2）表面积，体积为.
【解析】
【分析】
（1）设为正四棱锥的高，则，作，连结，分别在和，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.
【详解】
（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，
作，则为中点，
连结，则，
因为，可得，
在中，，
在中，，
所以棱锥的侧棱长为，侧面的高为.
（2）棱锥的表面积为=，
几何体的体积为.

20．（2021·江苏南京·高一期末）如图，在五面体ABCDEF中，已知平面ABCD，，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先证明平面，再利用线面平行的性质，证明；
（2）在平面内作于点，证明是三棱锥的高，即可求三棱锥的体积．
【详解】
（1）因为，平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以．
（2）如图，

在平面内过点B作于点．
因为平面，平面，所以．
又，平面，，
所以平面，
所以是三棱锥的高．
在直角三角形中，，，所以．
因为平面，平面，所以．
又由（1）知，，且，所以，所以，
所以三棱锥的体积．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2021·全国·高一课时练习）“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.
【详解】
如图，该模型内层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，
可知内层圆柱的高
同理，该模型外层圆柱底面直径为，且其底面圆周在一个直径为的球面上，
可知外层圆柱的高
此模型的体积为
故选：C

2．（2021·全国·高一课时练习）扇子，作为中华民族文化的代表产物，在我国已经有四、五千年的历史了.折扇出现铰晚，因可折叠，方便随身携带，流传最广，经研究发现采用黄金分割方式设计的折扇（将一个圆面按黄金分割比例进行分割后得到的较小扇形）最为美观和实用，已知一把黄金分割扇的半径为，则以此扇面围成的圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出扇形的圆心角大小，进而求出圆锥的底面半径和母线长，最后根据圆锥的体积公式求得答案.
【详解】
根据题意，扇面的圆心角，设圆锥的底面半径为，母线长度为，高为，则，，所以，于是，该圆锥的体积.
故选：B.
3．（2021·安徽蚌埠·高一期末）粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（       ）
(参考数据：)

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.
【详解】
如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.

易得：，则，，
∴，∴，
∵，
∴，
∴球O的体积.
故选：C.
二、多选题
4．（2021·浙江·高一期中）已知圆锥底面半径为3，高为4，则（       ）
A．圆锥的体积是
B．圆锥的侧面积是
C．圆锥的内切球体积是
D．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据圆锥的性质求解．
【详解】
由题意圆锥体积为，A错；
圆锥母线长为，侧面积为，B正确；
设圆锥内切球半径为，如图是圆锥轴截面，则其内切圆为球的大圆，则，，，C错；
圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，D正确．
故选：BD．

【点睛】
思路点睛：圆柱、圆锥、圆台的计算问题，掌握画出它们的轴截面，在轴截面中有底面圆半径，高，母线，有侧棱与底面所成的角．这个轴截面截它们的内切球得轴截面的内切圆，截外接球得轴截面的外接圆，这样关系一目了然，偏于计算．
5．（2021·山东烟台·高一期末）已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（       ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面的面积的最大值为
D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；
对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；
对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，在求其面积；
对于D：先分析出细绳的长度最短即为求线段.在三角形中，由余弦定理得即可求解..
【详解】
对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积.
故A错误；
对于B：设圆锥的母线为l，则.
设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B正确；
对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确；
对于D：作出圆锥的侧面展开图如图示，要使从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的长度最短，只需求线段.在三角形中，，由余弦定理得：，
即从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为.故D正确.

故选：BCD
6．（2021·江苏南通·高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为，，圆台的母线与下地面所成角的正切值为，为上一点，则（       ）
A．圆台的母线长为
B．当圆锥的圆锥的体积相等时，
C．圆台的体积为
D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
转化求解圆台的母线长判断Q；利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D．
【详解】
解：圆台上、下底面的圆心分别为，，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，为上一点，
，
母线，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；
，，B正确；
，C正确；
设球心到上底面的距离为，则，解得，，，D正确；
故选：BCD．
7．（2021·广东普宁·高一期末）如图所示，是圆锥底面圆的一条直径，点在底面圆周上运动（异于两点），以下说法正确的是（       ）

A．恒为定值
B．三棱锥的体积存在最大值
C．圆锥的侧面积大于底面圆的面积
D．的面积大于的面积
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，用表示的三角函数值，三棱锥的体积，圆锥的侧面积和底面积，和的面积，再进行判断即可
【详解】
解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
对于A，为定值，所以A正确，
对于B，设为到平面的距离，则，因为，所以当平面时，有最大值，则三棱锥体积的最大值为，所以B正确，
对于C，圆锥的侧面积为，底面积为，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，与的大小无法比较，所以D错误，
故选：ABC
8．（2021·安徽屯溪·高一期中）一个棱长为2的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是（       ）
A．所有截面面积和为 B．新几何体表面积为
C．新几何体表面积为 D．新几何体的体积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由题意画出图形,求出截面面积判断A；求出新几何体的表面积判断B与C；由正方体体积减去八个三棱锥的体积判断D.
【详解】
如图示：

正方体截去各个顶点后得到的几何体如图2所示，为一个12面体，其中8个面为边长为的正三角形，4个面为边长为的正方形.
对于A：所有截面面积和为：，故A错误；
对于B、C：新几何体表面积为：，故B、C错误；
对于D：新几何体的体积为：，故D正确.
故选：ABC
第II卷（非选择题）
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三、填空题
9．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径折成直二面角（如图2）后发现，在半圆弧（不含、点）上运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，若，，则该三棱锥外接球的表面积为______．

【答案】．
【解析】
【分析】
设半圆的圆心为，设外接球的球心为，则面，取的中点，则垂直平分，即为外接球的半径，由勾股定理可得半径的长，从而得到外接球的表面积.
【详解】
由题意，如图，将半圆沿直径折成直二面角，设半圆的圆心为，
可得半圆面，设外接球的球心为，则面，
取的中点，则垂直平分，即为外接球的半径，
且四边形为长方形，
是直角三角形，所以半径，
三棱锥的高不变，
三棱锥外接球的半径，
从而可得该三棱锥外接球的表面积．
故答案为：．

10．（2021·浙江·诸暨中学高一期中）如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．

【答案】         
【解析】
【分析】
将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.
【详解】
将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.

∵，
∴，，
又∵
∴为的边的中位线，
∵，得
则，解得
∴
则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即
圆台的侧面积.
故答案为：；.
11．（2022·湖南·高一课时练习）边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理即可求解.
【详解】
如图，矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的，

则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为.
由题意可知GH＝5，，
所以
所以从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是.
故答案为：.
四、解答题
12．（2021·全国·高一课时练习）某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）

（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？
（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？
注：，结果精确到0.01．
【答案】（Ⅰ）11.34立方米；（Ⅱ）81.72平方米.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题知该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，利用柱体体积公式即求；
（Ⅱ）利用公式求该几何体的表面积即可.
【详解】
（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱后剩下的几何体，
则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，
因为，
所以（立方米），
故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝土；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为，
其余侧面均为长方形，且，，
，
，
所有侧面面积之和为
，
所以该预制件的表面积是（平方米）．

13．（2022·湖南·高一课时练习）某单位购置了一批红外半球高速自动对焦一体摄像机（如图（1）所示），作为安防用品．在安装及做防护装置时，需要了解单个产品的体积，产品的数据指标如图（2）所示，求红外半球摄像机的体积（π取3.14，精确到）．

【答案】.
【解析】
【分析】
由已知可知，红外半球摄像是由机半球和圆柱两个几何体组合而成的，
体积应为两个几何体的体积之和.
【详解】
由题意可知，红外半球摄像机分为两部分组成，
上方是半径为，高为的圆柱体，
所以圆柱体的体积为
.
下方是半径为的半球，
所以半球的体积为
.
所以红外半球摄像机的体积为


所以红外半球摄像机的体积约为.
14．（2022·湖南·高一课时练习）某人买了一罐容积为V L，高为a m的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m，c m的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？

【答案】 L.
【解析】
【分析】
由题可知当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.
【详解】
如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS,

当平面与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接，则，
∵，
又，
∴，
∴，
∴罐内液体车油最多还能剩 L.
15．（2022·湖南·高一课时练习）我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．

【答案】，.
【解析】
【分析】
根据实体图，得出如图所示空间几何体，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，进行计算即可得解.
【详解】

如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，
由，，
所以，
可得，
所以，
所以底下长方体的面积为，
上面三棱柱的面积为，
所以房子的表面积为，
体积.
16．（2021·福建·厦门双十中学高一期中）（1）如图1，正四棱锥，．


（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）
（ⅰ）容易判断球心在线段PO1上，根据勾股定理即可解得；
（ⅱ）将三角形展开到与平面在同一平面，即AB的长度；
（2）列举出所有焊接的可能性，算出每种情况的体积即可.
【详解】
（1）
（ⅰ）如图4，设外接球半径为，

则
（ⅱ）如图5，将三角形展开到与平面在同一平面，此时，
在三角形中：，
所以．

（2）正四棱锥的剪拼
几种可以剪拼成正四棱锥的方法
如图6，若以正方形各边中点连结而成的小正方形边为裁剪线，不能拼接成正四棱锥.

因为沿裁剪线翻折后，原正方形各顶点重合于一点，这点即为原正方形的中心，就不存在四棱锥了．
图7是以为底面边长，高为的正四棱锥，则
．
图8，联想到勾股定理的证明，可设直角三角形的两条直角边长分别为，（），于是，所以，则构造成以为底面边长，高为的正四棱锥，．

17．（2021·江苏省天一中学高一期中）四面体中，
（1）．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（2）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？
(参考公式：三元均值不等式，当且仅当时取得等号)
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，三棱锥体积最大为．
【解析】
【分析】
（1）在四面体中，由已知可得四面体的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为、、，证明为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（2）当2条长为的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积，利用基本不等式求最值；当边长为的两条棱在同一个三角形中时，可知当平面时，体积取最大值，比较大小的结论.
【详解】
（1）∵四面体，如图，

故四面体中四个面为全等三角形，
即只需证明一个为锐角三角形即可，设长方体长宽高分别为，则，
∴，∴为锐角三角形，故四面体四个面都为锐角三角形；

（2）解：2条长为的线段不在同一个三角形中，此时长为的两条线段必还在三棱锥的对棱，不妨设，
取中点，连接，(如图)，
则，，则平面，，
在中，，，
，
∴，
由均值不等式，等号当且仅当时成立，即，
∴此时，
当边长为的两条棱在同一个三角形中时，设，

当且仅当平面时，体积取最大，此时，
∵，
综上，当时，三棱锥体积最大为
18．（2021·全国·高一课时练习）早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明.

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解.
【详解】
如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，，于是截面面积，则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，
所以，取一个底面半径和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如图（2），
用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以，
则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即，
所以可得球的体积为.

19．（2022·湖南·高一课时练习）查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）的原因．

【答案】理由见解析.
【解析】
【分析】
蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间，蜜蜂建造蜂房时，首先希望蜂房既对称而又有规律，而正多边形正好符合这一要求，我们知道并非任意的正多边形都能铺满平面的，那么能铺满整个平面的正多边形又有哪些呢？谁最佳呢？
这也就是我们要回答问题：为什么蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为，钝角为）？因为蜜蜂建造蜂房时需要使用材料（蜂腊）最少，在空间(体积)一定的情况下，这种形状容积最大.用正六边形才能蜂腊的用料最小.菱形的大小不影响蜂房的容积，只影响蜂房的表面积，但会影响到制造蜂房所用的材料；蜂房的底能够无间隙地粘合在一起.
【详解】
数学模型I：能铺满平面的正多边形有哪些？在周长一定的情况下，哪种面积最大？
数学模型I的求解：
由于正边形的每一个内角都等于， 要将平面铺满，则有：
，解得，
故时，符合要求.
当周长一定时，正三角形的面积为；
正四边形的面积为；正六边形的面积为.
此时有： ，所以正六边形是最佳的设计.
数学模型Ⅱ：蜂房口的正六边形及蜂房的容积一定的情况下，问题是底面菱形的各角分别多大时，蜂房的表面积最小？
数学模型Ⅱ求解：
假定六棱柱的边长是，先求的长度，是腰长为1，夹角为的等腰三角形.以为对称轴作一个三角形 (图3).三角形是等边三角形.因此，
，即得.

把图4的表面分成六份，把其中之一摊平下来，得出图7的形状.从一个宽为的长方形切去一角，切割处成边.以为腰，为高作等腰三角形.问题:怎样切才能使所作出的图形的面积最小?
假定被切去的三角形的高是.从矩形中所切去的面积等于.现在看所添上的三角形的面积。AP 的长度是，因此的长度等于
因而三角形的面积等于.问题再变而为求的最小值的问题.
令，故，两边平方，整理得

因为是实数，故二次方程判别式
，而必大于，因此的最小值为，即.
当时取最小值，即在一棱上过处（图5中点）以及与该棱相邻的二棱的端点（图5中，点）切下来洴上去的图形的表面积最小.
设，由余弦定理得，并将代入可得
.
因此得出.
【点睛】
建模的关键是围绕蜂房是蜜蜂用来盛蜂蜜的在体积一定的情况下，为了节约空间和蜂房既对称而又有规律，材料最少的原则