2022安庆桐城八中高二上学期第一次月考数学试题含答案

桐城八中2021-2022学年度上学期高二第一次月考数学试题

一、单选题(共60分)

1．已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（    ）．

A．     B．   C．  D．

2．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为､，且两点不在正方体的同一个面上，则正方体的体对角线长为（    ）

A． B． C． D．

3． “”是“直线与直线互相垂直”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（    ）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

5．直线不过第二象限，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（    ）

A．在平面内  B．在平面内  C．在平面内   D．在平面内

7．设a，b分别表示直线l在x轴和y轴上的截距，k为l的斜率，p为原点到l的距离，且，则有（    ）

A．    B． C． D．

8．如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)

（8题图）          （9题图）

A．     B．      C．1 D．

9．如图，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线与所成的角是（ ）

A． B．    C． D．

10．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{ a＋b，a－b，c }下的坐标为(　　)

A．      B．     C．      D．

11．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

12．已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

（1）直线与所成的角不可能为300；

（2）直线与所成角的最大值为900；

（3）直线与所成的角为600时，与所成的角为300. 其中正确的是（   ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）

二、填空题(共20分)

13．如图，在直三棱柱中，，，点､､分别是､､的中点，点是上的动点.若，则长度为___________.

14．坐标平面内过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为___________.

15．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1 || l2，则________.

16．将直角三角形沿斜边上的高折成1200的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．

（1） 平面平面         （2）四面体的体积是

（3）二面角的正切值是（4）与平面所成角的正弦值是

三、解答题(共70分)

17．(本题10分)已知直线．

（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；

（2）直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．

18．(本题12分) 如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设．

 试用向量表示向量；
若，，，求的值．

19．(本题12分)如图，四棱锥中，底面ABCD,            ，E为棱上的点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）求的体积．

20．(本题12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，如图所示．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．

（1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；

（2）在（1）的条件下，若时，求折痕长的取值范围．

21．(本题12分)在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中，已知，BS＝4，过D作侧面SAB的垂线，垂足O恰为棱BS的中点．

（1）在棱AD上是否存在一点E，使得OE⊥侧面SBC，若存在求DE的长；若不存在，说明理由．

（2）求二面角B-SC-D的平面角的余弦值．

22．(本题12分)如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

桐城八中2021-2022学年度上学期高二第一次月考数学试题

参考答案

1．B  2．A  3．A  4．C   5．C   6．C

7．D  8．D  9．C  10．B  11．C  12．A 

13．    14．或.    15．     16．（3）（4）

17．（1）证明：将直线的方程化为，

解方程组，解得，故直线恒过定点；

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，

令，可得，令，可得，由已知可得，解得，

所以，三角形面积为，

当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为.

18． 因为，所以，

所以，

因为E为AD中点，所以

由题意知：，

，，

．

19．（1）如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，

则

令，则，，所以，

设平面的一个法向量为，

则令，则，，所以，

因为，所以，所以平面平面；

（2）因为，

所以，可得，所以，

因为底面，，，所以点到底面的距离为，

所以三棱锥的体积为.

20．（1）当时，此时点A与点D重合，折痕所在的直线方程为；

当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，

所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有，

即，交点，故点G的坐标为，

从而折痕所在的直线与OG的交点坐标线段OG的中点为，

所以折痕所在的直线方程为，即，

综上所述，折痕所在的直线方程为；

（2）当时，折痕的长为2；

当时，折痕所在的直线交BC于点，

交y轴于点，，

又因为，所以，所以

综上所述，折痕长的取值范围为．

21．解：（1）连接AO，∵AB＝AS，O是BS的中点，∴BS⊥AO，∵DO⊥面ABS，∴DO⊥BS，  又AO∩DO＝O，AO、DO平面AOD，∴BS⊥平面AOD

过O作OE⊥AD于E，则OE⊥BC，∵OE平面AOD，∴BS⊥OE，

又BC∩BS＝B，BC、BS平面SBC，∴OE⊥面SBC

在Rt△AOD中，， ，

∵，∴，∴．

（2）以O为原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，  A(1，0，0)，B(0，2，0)，S(0，-2，0)，D(0，0，2)，∴，，，由（1）知，，∴，∵EO⊥平面SBC，

∴平面SBC的一个法向量， 

设平面SCD的一个法向量是，则，即， 

令y＝1，则x＝2，z＝-1，∴，∴， 

由图可知，二面角B-SC-D为钝角，故二面角B-SC-D的平面角的余弦值为．

22．（1）取，中点，，连接，，.

由，得，，又，

所以平面.由，知四边形是平行四边形，则，

平面，平面，所以平面，

同理平面，且，所以平面平面，

所以平面.

（2）由，知四边形是以的等腰梯形.

连接，则，又平面，所以，

所以平面，又平面，所以平面平面，

于是点在底面内的射影在上.

（在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动）取中点，则，

于是当底面时，四棱锥的体积最大.

如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，

建立空间直角坐标系.由题意得，，，，.

所以，，.

设平面的法向量，由，得，

取，则.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.