2021-2022学年安徽省桐城市桐城中学高二下学期月考（6）数学试题含答案

安徽省桐城市桐城中学2021-2022学年高二下学期月考（6）

数学试卷

一、选择题

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若复数，则复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如，如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的(    )

A. 16
B. 17
C. 19
D. 15

4. 已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前2020项和为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 对于不等式①，②，③、，下列说法正确的是(    )

A. ①③正确，②错误 B. ②③正确，①错误 C. ①②错误，③正确 D. ①③错误，②正确

6. 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为(    )
   参考数据：，

A.  B.  C.  D.

8. 2021年，我国各地落实粮食生产责任和耕地保护制度，加大粮食生产扶持力度，支持复垦撂荒地，2021年全国粮食总产量13657亿斤，比上年增长约，全年粮食产量再创新高，且连续7年保持在万亿斤以上，我国年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法不正确的是(    )

A. 我国2020年的粮食总产量为13390亿斤
B. 我国2021年豆类产量比2020年减产明显，下降了约
C. 我国2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米
D. 我国2021年的各类粮食产量中，增长速度最快的是薯类

9. 已知函数，若方程有4个零点，则a的可能的值为(    )

A.  B. 1 C.  D.

10. 若函数的定义域，值域为，则函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为(    )

A.  B.
C.  D. ，

12. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下

根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

13. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一位是假的，则获奖的歌手是_ ___________.
14. 将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：，，，，…．称为第1组，为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第______组．
15. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.
16. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则m的取值范围是______.
17. 已知各项均为正数的数列满足，且
    求的通项公式；
    若，求的前n项和
18. 某电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为体育迷．
    若日均收看该体育节目时间在内的观众中恰有两名女性，现日均收看时间在内的观众中抽取两名进行调查，求这两名观众恰好一男一女的概率；
    若抽取100人中有女性55人，其中女体育迷有10人，完成答题卡中的列联表并判断能
    否在犯错误概率不超过的前提下认为是体育迷与性别有关系？

附表及公式：

，

19. 已知正项数列的前n项和满足
    求数列的通项公式；
    令，求证：数列的前n项和
20. 已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
    求a，b，c的值；
    求公切线所在的直线方程；
    若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离．
21. 某校高三班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．
    
    求全班人数及分数在之间的频数；
    估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；
    若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．
22. 已知函数
    讨论的单调性；
    若，且方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．
    

答案

1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A 

5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】D 9.【答案】A 

10.【答案】B 11.【答案】D 12.【答案】D 13.【答案】乙 

14.【答案】405 

15.【答案】 

解：，
则，
，又，
曲线在点处的切线方程为，即
故答案为：
把已知函数解析式变形，求导函数，得到，再求出的值，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】 

解：由，解得，
，
又为偶函数，且周期为4，
可作出函数在R上的草图如下：

若方程，即恰有两个根，则函数的图象与直线恰有两个交点，
又当时，，则，
结合图象可知，或，
故答案为：
由题意可得，结合函数为偶函数及周期为4，可作出函数的草图，且问题转化为函数的图象与直线恰有两个交点，观察图象即可得解．

 17.【答案】解：因为，
所以，
又因为，所以，
即，
所以数列是首项，以3为等比的等比数列，
所以；
解：，
则，，
两式相减得，
所以 

18.【答案】解：由图可得，日均收看时间在内的观众有5名，则其中有3名男性，2名女性，
记3名男性为A，B，C，2名女性为a，b，则
从中取两名观众的情况有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，
其中恰好一男一女的情况有6种，
所以这两名观众恰好一男一女的概率
由题意得如下列联表：

的观测值，
故不能在犯错误概率不超过的前提下认为是体育迷与性别有关系． 

19.【答案】解：由题意：，，
当时，可得，
当时，，，
两式相减得到，
又，
是首项为2，公比为2的等比数列；
的通项公式为
证明：由题意知，；
 

20.【答案】解：将分别代入两曲线方程得到，
两个函数的导函数分别是，，
又，，则，
联立，解得，，；
由知，，，
当时，，故切线方程为，即
由知，，，
当时，，故切线方程为，即
综上所述，公切线所在的直线方程为；
由知，要使抛物线上的点M到直线的距离最短，
则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线的斜率相同，则，
解得，又点M在抛物线上，解得
最短距离即d为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得
即最短距离为 

21.【答案】解：由茎叶图知，分数在之间的频数为2，频率为，
全班人数为，
分数在之间的频数为；
【解法一】分数在之间的总分为，
分数在之间的总分为，
分数在之间的总分数为，
分数在之间的总分约为，
分数在之间的总分数为，
该班的平均分数为；
【解法二】分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
分数在之间的频率为，
该班的平均分约为；
频率分布直方图中间的矩形的高为；
将之间的4个分数编号为1，2，3，4，
之间的2个分数编号为5，6，
在之间的试卷中任取两份的基本事件为：
，，，，，
，，，，
，，，
，共15个；
其中，至少有一个在之间的基本事件有9个，
故至少有一份分数在之间的概率是 

22.【答案】解：函数的定义域为
当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．
当时，，在单调递增．
当时，，若或，则；若，则
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
当时，，若或，则；若，则
所以在单调递增，在单调递减．
综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．
令函数，时，，时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立．
时，在单调递增，在单调递减．
由题意，应有，即；
当时，，即，
所以，
，
所以函数在，各有一个零点，方程有两个不同的解．
所以a的取值范围为