2021-2022学年广东省广州市越秀区育才实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州市越秀区育才实验学校七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列实数中，无理数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，直线，被直线所截，则下列说法中错误的是

A. 与是内错角
B. 与是同位角
C. 与是对顶角
D. 与是邻补角
 

4. 如图，下面哪个条件不能判断的是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，直线，，为直角，则等于

A.
B.
C.
D.

6. 若是关于、的二元一次方程的解，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 以方程组的解为坐标的点位于

A. 轴的正半轴 B. 轴的负半轴 C. 轴的正半轴 D. 轴的负半轴

8. 若，，则

A.  B.  C.  D.

9. 下列命题：同旁内角互补；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；实数与数轴上的点一一对应；；负数有立方根，没有平方根其中是真命题的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，的平分线交于，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：平分；；与互余的角有个；若，则其中正确的有

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 平面直角坐标系中，点到轴的距离为______．
12. 如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若、两点的坐标分别是，，则点的坐标为______．
    
     

13. 如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为______．
    
     

14. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______
     

15. 已知的算术平方根是，的立方根是，则______．
16. 将一组数，按下面的方式进行排列：
    
    若的位置记为，的位置记为，则这组数据中最大的有理数的位置记为______．

三．解答题（本题共7小题，共72分）

17. 计算：；
    计算：；
    解方程：．
18. 解下列方程组：
    
     
19. 完成下面的推理，并在括号内标注理由：
    如图，，，．
    求证：．
    证明：，
    ____________
    ______
    ____________
    ，______，
    ______．
    ______
    ______

20. 已知：如图，，．
    若，求的度数．
    求证：．

21. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为．
    将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为则点的坐标为______；
    在的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积．
    在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 把其中，是常数，，是未知数这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
    求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
    是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
    是否存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
23. 如图，在平面直角坐标系中，点，，满足．
    直接写出、两点的坐标．
    如图，已知坐标轴上有两动点、同时从点出发，点沿轴正方向以个单位长度每秒的速度匀速移动，点以个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点为线段上一点，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
    如图，点是第二象限上的点，连，且，点是线段上一点，满足点是射线上一动点，连交直线于点，当点在射线上运动的过程中，请确定，和的数量关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】

【解析】解：、结果是，故本选项错误；
B、结果是，故本选项错误；
C、结果是，故本选项正确；
D、结果是，故本选项错误；
故选：．
根据绝对值、立方根、算术平方根定义求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了对绝对值、立方根、算术平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
 

3.【答案】

【解析】解：直线，被所截，形成的三线八角中，
与同旁内解，所以A错误；
与是同位角，所以B正确；
而根据对顶角的定义可知，与是对顶角，所以C正确；
与是邻补角，所以D正确．
故选：．
利用三线八角，直接根据定义推理即可．
本题考查的三线八角、对顶角、邻补角的定义，熟练掌握这些定义是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：由，根据内错角相等，两直线平行可判定，故A不符合题意；
B.由，根据同位角相等，两直线平行可判定，故B不符合题意；
C.由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，不能判定，故C符合题意；
D.由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故D不符合题意；
故选：．
由平行线的判定定理求解判断即可．
此题考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：
过作，
，
，
，，
，为直角，
，，
，
故选：．
过作，求出，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：把代入，得，
解得．
故选：．
把代入计算即可．
本题考查解二元一次方程组的解，掌握把方程组的解代入二元一次方程是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
得：，即，
把代入得：，
方程组的解为坐标的点，
则以方程组的解为坐标的点位于轴正半轴，
故选C．
求出方程组的解即可做出判断．
此题考查了解二元一次方程组，以及点的坐标，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：．
故选：．
将变形为，再代入计算即可求解．
考查了立方根，关键是将变形为．
 

9.【答案】

【解析】解：两直线平行，同旁内角互补，故本小题说法是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
实数与数轴上的点一一对应，本小题说法是真命题；
，故本小题说法是假命题；
负数有立方根，没有平方根，本小题说法是真命题；
故选：．
根据平行线的性质、平行公理、实数与数轴、平方根和立方根的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握平行线的性质、平行公理、实数与数轴、平方根和立方根的概念是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
又，
，
平分，
正确，
，
，
正确，
，
与互余的角有，，，，有个，
错误，
，，
又，
，
正确，
故选：．
根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
本题主要考查平行线的性质，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
 

11.【答案】

【解析】解：平面直角坐标系中，点到轴的距离为，
故答案为：．
根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：如图所示：点的坐标为．
故答案为：．
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案．
本题主要考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义和对顶角的性质．
 

14.【答案】

【解析】解：，，
，
又，
，
．
故答案是：．
先根据平行线的性质得出的度数，再根据翻折变换的性质得出的度数，根据平角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
 

15.【答案】

【解析】解：的算术平方根是，
，
解得，
的立方根是，
，
解得，
．
故答案为：．
利用算术平方根，立方根定义求出与的值，代入原式计算即可求出值．
本题考查了立方根、算术平方根的定义，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的定义．
 

16.【答案】

【解析】解：这组数据是的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是，
又在第八行第六列，
这组数据中最大的有理数的位置记为，
故答案为：．
观察数据的规律为的倍数的算术平方根，个为一排，共列，其中最大的有理数应该为，据此规律解答即可．
本题主要考查了算术平方根的意义，数字变化的规律，正确发现数字排列的规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

；
方程整理得：，
开方得：或，
解得：，．

【解析】原式利用二次根式性质，以及算术平方根定义计算即可求出值；
原式利用绝对值的代数意义，以及立方根性质计算即可求出值；
方程整理后，利用平方根定义计算即可求出解．
此题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
得，，
把代入得，．
解得：，
则方程组的解为；
方程组整理得：，
得，，
解得：，
把代入得，．
解得：，
则方程组的解为．

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

19.【答案】  同旁内角互补，两直线平行  两直线平行，同位角相等    两直线平行，内错角相等  已知    同位角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等

【解析】证明：，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
两直线平行，内错角相等，
，已知，
，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
根据平行线的判定与性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
又，
，
即；

，
，
又，
，
．

【解析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数；
根据，，即可得出，进而判定．
本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
 

21.【答案】

【解析】解：如图，点平移到点的过程可以是：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
点经过相同的平移：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到
故答案为：；

由可知点的坐标为，
；
，由题意，，
解得和，
，或．
利用平移的性质画出图形即可解决问题．
利用分割法求三角形面积即可．
设，由题意，解方程即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：是“雅系二元一次方程”，
，
解得，
“雅系二元一次方程”的“完美值”为；
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，
解得；
存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数的“完美值”相同，理由如下：
由，得，
由，得，
，
解得，
，
“完美值”为．

【解析】由题意可得，即可求解；
由题意可得，求出即可；
由题意可得，得，，得，再由，即可求的值．
本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
解得，
点的坐标为，点的坐标为．
存在，使．
，
，
，
解得或．
存在，的值为或．
当点在线段上时，

，
，
，
，
，
，
在中，
，
；
当点在线段的延长线上时，

，
，

，
在和中，，
，
，
，
即．
综上所述，，或．

【解析】利用非负数的性质，可求得，的值，进而可得，的坐标．
若，则，可得，即，解方程即可．
分别讨论当点在线段上或在线段的延长线上时，利用三角形的外角即角平分线的性质，可得出结论．
本题考查坐标与图形的性质、非负数的性质，三角形外角的性质，运用外角进行角之间的转换是解题的关键．