2022年广东省广州市越秀区育才实验学校中考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2022年广东省广州市越秀区育才实验学校中考数学模拟试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列实数，其中是有理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 在数轴上与表示数的点距离个单位长度的点表示的数是

A.  B.  C.  D. 或

3. 方程的解为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是

A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形

6. 某篮球队名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，，是的切线，切点分别为、，若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 如果二次函数与一次函数的图象两个交点的横坐标分别为、，且，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，直线交轴于点点在的正半轴上，过点作的垂线，交双曲线，直线于、两点当取最小值时，点的横坐标为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 一元二次方程的解是______ ．
13. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围为______．
14. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，，则______．

15. 如图，睿智数学兴趣小组为了测量河对岸的两棵古树、之间的距离，他们在河对边沿着与平行的直线上取、两点，测得，，若，之间的距离为，则古树、之间的距离为______结果保留根号

16. 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接则下列结论中：；；；当时，则其中正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 解不等式组：
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，点、分别为、的中点，，，求证：．
    
     

19. 先化简，再求值：，其中满足．
    
    
    
    
    
    
     
20. 为了培养学生成为具有“社会责任、学术素养、创新能力、国际视野”的未来人才，我校提出“让每一个孩子成长为一棵参天大树”的“树”课程理念，数学科开发了四门“树”课程供学生选择：趣味数学；棋海巡航；中外数学史；数独与幻方．某年级共有名学生选择了课程，为了解本年级选择课程学生的学习情况，从这名学生中随机抽取了名学生进行测试，将他们的成绩百分制分成六组，绘制成频数分布直方图．
    该年级学生小李随机选取了一门课程，则小李选中课程的概率是______；
    根据题中信息，估计该年级选择课程学生成绩在的总人数是______；
    该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程那么他俩第二次同时选择课程或课程的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．

21. 如图，中，是的角平分线．
    尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不要求写作法；
    连接，若，，求的长．

22. 年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，红星社区为了提高社区居民的身体素质，鼓励居民在家锻炼，特采购了一批跳绳免费发放，已知根幸福牌跳绳和根平安牌跳绳共需元，根平安牌跳绳和根幸福牌跳绳共需元．
    求幸福牌跳绳和平安牌跳绳的单价；
    已知该社区需要采购两种品牌的跳绳共根，且平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点．
    求的度数；
    若，求的值；
    若，，求的长．
    
     

24. 如图，已知抛物线是常数的顶点为，直线：．
    求证：点在直线上；
    已知直线与抛物线的另一个交点为，当以、、为顶点的三角形是等腰三角形时，求的值；
    如图，当时，抛物线交轴于、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

25. 如图，已知线段，是上的一动点，是的中点，以为边作正方形，点关于射线的对称点为，连接、，直线交于点．
    
    如图，当点在线段上，且，直接写出的大小；
    如图，当点在线段上时，求证：；
    点在线段上，且，当点从点运动到点时，直接写出点所经过的路径长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：在实数，中，
是有理数的是．
故选：．
直接利用有理数的概念分析得出答案．
此题主要考查了有理数的相关概念，正确把握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：当点在表示的点的左边时，此时数为：，
当点在表示的点的右边时，此时数为：，
故选：．
分两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出即可．
本题考查了数轴的应用，关键是能根据题意列出算式，注意有两种情况．
 

3.【答案】

【解析】

解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

4.【答案】

【解析】

解：、原式，错误；
B、原式，正确；
C、原式，错误；
D、原式不能合并，错误，
故选：
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
D、原式不能合并，错误．
此题考查了完全平方公式，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：、当时，它是菱形，原说法错误，不符合题意；
B、当时，它是菱形，原说法正确，符合题意；
C、当时，它是矩形，原说法错误，不符合题意；
D、当时，它是矩形，原说法错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
 

6.【答案】

【解析】

解：篮球队名队员的年龄出现次数最多的是岁，共出现次，因此众数是岁，
将这名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是岁，因此中位数是岁，
故选：．
根据中位数、众数的意义进行计算即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

7.【答案】

【解析】

解：连接，
，是的切线，，
，，，
，
，
，
劣弧的长，
故选：．
连接，根据切线的性质、切线长定理得到，，，根据正切的定义求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：在中，由勾股定理可得．
根据旋转性质可得，，，
．
在中，，
故选：．
在中，由勾股定理可得根据旋转性质可得，，，所以在中根据，可求解．
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
 

9.【答案】

【解析】

解：由整理得，，
二次函数与一次函数的图象有两个交点，
，
，
二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为，与轴的交点为，
当交点的横坐标为时，把代入，求得交点为，
把代入，求得，
，
，
故选：．
由二次函数可知抛物线开口向上，对称轴为，与轴的交点为，把代入，求得，由根据图象即可求得．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：设为，
则可设直线为，
设直线与轴交于点，
令，则，
，
设直线与轴交于点，
同理可得，
令，则，
，
，
同理，，
在中，，
，
，
，
，
，
或，
，
，
舍去，
，
直线为：，
，
联立，
解得，
，
过作轴于，过作轴于，
则，
，
，
当时，取得最小值，取得最小值，
此时的横坐标为，
故选：．
因为在反比例函数上，所以可设出的坐标，利用直线与直线垂直，可以求得直线的比例系数，从而得到直线的解析式，联立直线和直线，可以求得交点的坐标，过和分别做轴的垂线，如图，利用“斜化直”思想，得到，继而用表示出，利用分离整数部分的方法，对化简后的结果进行整理和配方，讨论出取最小值时的值．
本题考查的是反比例函数与一次函数交点问题，联立两个直线解析式求交点坐标，是本题的基本能力要求，利用“斜化直”思想是解决本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：根据二次根式的意义，被开方数，解得；
根据分式有意义的条件，，解得．
．
故答案为：．
主要考查代数式中字母的取值范围，代数式中主要有二次根式和分式两部分．
考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
 

12.【答案】

，
 

【解析】

解：方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
故答案为：，．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】

或
 

【解析】

解：结合一次函数图象与反比例函数图象可知：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
若，则的取值范围为或；
故答案为：或．
结合函数图象特征，即可得知当或时，，由此得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明白代表着一次函数图象在反比例函数图象上方．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合两函数的交点横坐标解决问题是关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：垂直平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得的长．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：如图，过点作于点，过点作于点．
则，．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
则．
故答案是：
如图，过点作于点，过点作于点则通过解直角和分别求得、的长度，则易得．
本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

16.【答案】

【解析】

解：四边形是正方形，
，，，
将绕点逆时针旋转得，
，，
，
≌，
，
，
，故正确；
，
点，点，点，点四点共圆，
，故正确；
，，
，，
，，
∽，
，
，
，故错误；
设，则，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
∽，
，故正确，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，可证，故正确；通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，故正确；通过证明∽，可得，故错误；通过证明∽，可得，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】

解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为．
 

【解析】

本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
 

18.【答案】

证明：、分别为、的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】

由三角形中位线定理证出，由平行线的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出．
本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明≌．
 

19.【答案】

解：原式


，
，
，
则原式．
 

【解析】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，从而得出答案．
 

20.【答案】

【解析】

解：数学科开发了四门“树”课程供学生选择：趣味数学；棋海巡航；中外数学史；数独与幻方，
该年级学生小李随机选取了一门课程，则小李选中课程的概率是，
故答案为：；
人，
即估计该年级选择课程学生成绩在的总人数是，
故答案为：；
树状图如下所示：

由上可得，第二次他们选择的可能性一共有种，其中他俩第二次同时选择课程或课程的有两种，
故他俩第二次同时选择课程或课程的概率是．
根据题意可以写出该年级学生小李随机选取了一门课程，小李选中课程的概率；
根据题意和直方图中的数据，可以计算出该年级选择课程学生成绩在的总人数；
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到相应的概率．
本题列表法与树状图法、频数分布直方图、概率公式，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

21.【答案】

解：如图，为所作；

垂直平分，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
．
 

【解析】

利用基本作图，作线段的垂直平分线；
先根据线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，则可判定∽，然后利用相似比可计算出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了相似三角形的判定与性质．
 

22.【答案】

解：设幸福牌跳绳的单价为元，平安牌跳绳的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：幸福牌跳绳的单价为元，平安牌跳绳的单价为元．
设购进幸福牌跳绳根，则购进平安牌跳绳根，
依题意，得：，
解得：．
设本次采购所花总金额为元，则．
，
值随值的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
当购进根幸福牌跳绳、根平安牌跳绳时，所花费用最少，最少费用为元．
 

【解析】

设幸福牌跳绳的单价为元，平安牌跳绳的单价为元，根据“根幸福牌跳绳和根平安牌跳绳共需元，根平安牌跳绳和根幸福牌跳绳共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进幸福牌跳绳根，则购进平安牌跳绳根，根据平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设本次采购所花总金额为元，根据总价单价数量可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

23.【答案】

解：是的直径，
，
，
；
，，
，
又，
∽，
，即．
设，则，
即．
整理，得．
解得或舍去．
．
；
如图，过点作于点，

由垂径定理，得，
设，则，，
，
，整理，得，即．
，
．
，
的半径为．
．
 

【解析】

由圆周角定理得出，结合平角的定义可求解；
利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出，的长，再利用圆周角定理得出的值；
过点作于点，由垂径定理可得，利用，可求半径为，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据题意表示出，的长是解题关键．
 

24.【答案】

证明：，
顶点，
当时，，
点在直线上；
解：联立方程组，
整理得，
点在直线上，
是方程的一个解，
方程的另一个解为，
，
，，，
当时，，
解得；
当时，，
无解；
当时，，
无解；
综上所述：；
，
，
令，则，
，，
设直线的解析式为，，，
联立方程组，
，
，，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，，
，
∽，
，
，，，，
，
，
，
当时，，
直线经过定点．
 

【解析】

求出顶点，代入直线中进行判断即可；
联立方程组，由是方程的一个解，可得方程的另一个解为，即，再分三种情况讨论：当时，，解得；当时，，无解；当时，，无解；
求出，，设直线的解析式为，，，联立方程组，整理得 ，由根与系数的关系可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明∽，则，即，求得，即可求直线经过定点．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】

解：四边形是正方形，
，，
点与点关于射线对称，
，，
，，
，
；

证明：连接、，

在中，．
点与点关于射线对称，
，，，
，，
是的外角，
，
又，
在中，，
，
，
，
在中，
．

解：设、相交于点，
则，

在点的运动过程中，
，
当点运动到点时，，
在中，，
，
，
点所经过的路径长为以点为圆心，以长为半径，圆心角的弧长，
点所经过的路径长为
 

【解析】

证得，，得出，，可根据求出答案；
连接、，证明，则，在中，，可得出结论；
设、相交于点，求出，证明，得出，可知点所经过的路径长为以点为圆心，以长为半径，圆心角的弧长，由弧长公式可求出答案．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式、锐角三角函数等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．