2022年广东省潮州市湘桥区城南中英文学校中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省潮州市湘桥区城南中英文学校中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在，，，这组数中，最小的数是

A.  B.  C.  D.

2. 已知光速为千米秒，光经过秒传播的距离用科学记数法表示为千米，则可能为

A.  B.  C. 或 D. 或或

3. 在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的张卡片，分别标有数字、，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，满足，则的值等于

A.  B.  C.  D.

6. 如图，该图形是下列立体图形的展开图，与该图形对应的立体图形可能是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为，则线段长的最小值为

A.
B.
C.
D.

8. 在下面哪两个整数之间

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

9. 若某函数图象的最低点为原点，则这个函数是

A.  B.  C.  D.

10. 二次函数的最大值为，且，，，，中只有两点不在该二次函数图象上，下列关于这两点的说法正确的是

1. 这两点一定是和 B. 这两点一定是和
   C. 这两点可能是和 D. 这两点可能是和

二．填空题（本题共7小题，共28分）

11. 如果：，，那么______．
12. 将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，可以得到新的抛物线是______．
13. 如图，在等腰中，，分别以点，，为圆心，以的长为半径画弧分别与的边相交，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留
14. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______．
15. 已知，，则 ______ ．
16. 如图，▱的对角线，交于点，交于点，，若，，则______．

17. 如图，正方形的边长为，点是边上一个动点，点是边上一个动点，且，过点作于点，连接，则长的最小值是______．
    
     

三．解答题（本题共8小题，共62分）

18. 解不等式组：．
19. 年月日是世界卫生组织发起的第个世界无烟日．我国是世界上最大的烟草受害国，为了提高学生对吸烟危害健康这一重要科学事实的认识，重庆市某中学举办了“无烟健康发展”的主题讲座，并举行了“无烟青年”知识测试．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩满分分，成绩得分用表示，共分为五组：；；；；；其中记为合格进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
    七年级名学生的测试成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    八年级名学生的测试成绩在组中的数据是：，，，，，．
    七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、中位数、众数、合格率如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中的，，的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“无烟青年”知识测试成绩较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次测试，估计参加此次测试成绩合格的学生共有多少名？

20. 如图，在中，，的垂直平分线分别交边、于点、，联结．
    如果：：，求的度数；
    如果，，求的正弦值．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点做轴的垂线，垂足为，面积为．
    求反比例函数的解析式；并直接写出不等式的解集．
    在轴上求一点，使的值最大，并求出其最大值和点坐标．
    连接，求三角形的面积．
22. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进，两种型号的低排量汽车，其中型汽车的进货单价比型汽车的进货单价多万元；花万元购进型汽车的数量与花万元购进型汽车的数量相同．
    求，两种型号汽车的进货单价；
    销售过程中发现：型汽车的每周销售量台与售价万元台满足函数关系；型汽车的每周销售量台与售价万元台满足函数关系若型汽车的售价比型汽车的售价高万元台，设每周销售这两种车的总利润为万元．
    当型汽车的利润不低于型汽车的利润，求型汽车的最低售价？
    求当型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？
23. 通过折纸活动，可以探索图形的性质，也可以得到一些特殊的图形如图，取一张正方形纸片，第一次先将其对折，展开后进行第二次折叠，使正方形右下角的顶点落在第一次的折痕上点处，折痕为
    试探究、、三个角之间的数量关系，并说明理由．
24. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
    如图，圆锥的母线长为，为母线的中点，点在底面圆周上，的长为在图所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径，并标出它的长结果保留根号．
    
    图中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成是圆锥的顶点，点在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为，圆柱的高为．
    蚂蚁从点爬行到点的最短路径的长为______ 用含，的代数式表示．
    设的长为，点在母线上，圆柱的侧面展开图如图所示，在图中画出蚂蚁从点爬行到点的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

25. 综合与探究：
    如图，抛物线，与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点抛物线的对称轴为．
    求点，，的坐标；
    若点是第一象限内抛物线上一点，过点作轴于点，交直线于点，当时，求四边形的面积；
    在的条件下，若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
根据正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，比较即可．
本题考查了实数的大小比较法则的应用，实数的大小比较法则是：负数都小于，负数都小于正数，两个负数，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】

【解析】解：当时，光传播的距离为千米，则；当时，光传播的距离为千米，则因为，所以可能为或，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有种，
两次摸出的数字之积为偶数的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】

【解析】解：、原式，故A符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法即可求出答案．
本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法，本题属于基础题型．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 时，这几个非负数都为 ．
根据非负数的性质列出方程求出 、 、 的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】
解：根据题意得， ，
， ， ，
解得 ， ， ，
所以 ．
故选 C ．   

6.【答案】

【解析】解：由图中有五角星和线段的面的位置及分析可知、、不符合，
有线段的面是相邻的两个面，且线段平行，故符合．
故选：．
根据正方体的表面展开图共有种情况，本题中涉及到的是“”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，左、右各一个为正方体的左、右面，有五角星和线段的面必须是相邻的两个面，且线段的端点对着五角星，否则不正确．
考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟想象折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，，．

，，，
，
，
，
是直径，
，
，
，
的最小值为．
故选：．
如图，取的中点，连接，，解直角三角形求出，，根据，可得结论．
本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】

【解析】解：因为，
所以．
故选：．
首先根据，进而得出．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：直线没有最低点，故A选项不合题意；
B.二次函数的最高点为原点，故B选项不合题意；
C.二次函数的最低点为原点，故C选项符合题意；
D.正比例函数经过原点，没有最低点，故D选项不合题意；
故选：．
根据一次函数，二次函数的性质即可判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：二次函数的最大值为，
抛物线开口向下，对称轴为，
A、若和不在该二次函数图象上，则由题意知，，一定在图象上，而时随增大而减小，这与，矛盾，故A不符合题意；
B、若和不在该二次函数图象上，则一定在图象上，而抛物线与轴交点一定在图象上，这样抛物线对称轴为，这与抛物线对称轴为矛盾，故B不符合题意；
C、和可能不在该二次函数图象上，故C符合题意；
D、若和不在该二次函数图象上，则一定在图象上，同理由，故D不符合题意；
故选：．
二次函数的最大值为，说明，对称轴，假设选项成立，逐项判断即可得到答案．
本题考查二次函数图象上点坐标特征，解题的关键是假设选项成立，逐项判断正误．
 

11.【答案】

【解析】解：设表示的数为，表示的数为，
由题意列出方程组得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
则表示的数为，
故答案为：
设表示的数为，表示的数为，由题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

12.【答案】

【解析】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位所得抛物线解析式为，即；
故答案为．
直接根据平移规律作答即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

13.【答案】

【解析】解：等腰中，，．
，
，
，
，
以为半径，扇形是半圆，
阴影面积．
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质得出，的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，得出，的长是解题关键．
 

14.【答案】且

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．
直接利用一元二次方程的定义得出关于 的不等式，进而得出答案．
【解答】
解： 方程 是关于 的一元二次方程，
且 ，
且 ，
故答案为： 且 ．   

15.【答案】

【解析】解：原式
，
当，时，
原式
，
故答案为：．
根据配方法以及分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，延长至，使，连接，作于点，作于点，

四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设，
，
，
解得，
，
，
．
故答案为：．
延长至，使，连接，作于点，作于点，根据平行四边形的性质证明≌，即可得到，再利用勾股定理即可得结论．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是根据平行四边形的性质证明≌，属于中考常考题型．
 

17.【答案】

【解析】解：设正方形的中心为，可证经过点．

连结，取中点，连结，，则，为定长，
可计算得，，
，
当，，三点共线时，最小，
故答案为：．
设正方形的中心为，可证经过点．连结，取中点，连结，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当，运动到，的中点时，最小是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：八年级名学生的测试成绩中排列在中间的两个数分别是、，故；
七年级名学生的测试成绩中出现次数最多，所以；
七年级的合格率：；
从表格来看，七年级和八年级的平均数一样，通过分析数据的众数和中位数和合格率，八年级的数据均大于七年级的数据，八年级掌握“无烟青年”知识较好；
名，
答：估计参加此次测试成绩合格的学生共有名．

【解析】根据中位数和众数的概念求出、，根据七年级名学生的测试成绩求出；
根据平均数和中位数的性质解答；
用样本估计总体，得到答案．
本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

20.【答案】解：：：，
，
在中，，
垂直平分交边、于点、，
，
，
解得，；
在中，，，
，
由勾股定理得，，
垂直平分交边、于点、，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得，
，
，
则的正弦值为．

【解析】由垂直平分交边、于点、，可得，则，而：：，则可求的度数．
在中，，，可求得，从而利用勾股定理可求得的值，进而可求得、的值，即可求得，而，，即可求的正弦值．
本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象过点，过点作轴的垂线，垂足为，面积为，
，
，
，
故反比例函数的解析式为：，
由，解得或，
，，
不等式的解集为；

一次函数的图象与轴的交点即为点，此时的值最大，最大值为的长．
，，
，
的最大值为；
一次函数，
令，则，解得，
点坐标为；

，
，
．

【解析】根据反比例函数比例系数的几何意义得出，进而得到反比例函数的解析式，解析式联立求得、的坐标，根据图象即可求得不等式的解集；
一次函数的图象与轴的交点即为点，此时的值最大，最大值为的长；根据勾股定理求得的长，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得点的坐标；
利用求得即可．
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，解题的关键是确定的值最大时，点的位置，灵活运用数形结合思想是解题的关键．
 

22.【答案】解：设型汽车的进货单价为万元，根据题意，得：
，
解得，
经检验是原分式方程的根．
万元，
答：种型号汽车的进货单价为万元、两种型号汽车的进货单价为万元；
设型号的汽车售价为万元，则型汽车的售价为万元台，根据题意，得：


，
，当时，有最大值为．
答：、两种型号的汽车售价各为万元、万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是万元．

【解析】设型汽车的进货单价为万元，根据题意，得关于的分式方程，解方程并检验即可；
设型号的汽车售价为万元台，则型汽车的售价为万元台，根据题意写出关于的函数关系式，由二次函数的性质可得答案．
本题考查了分式方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：．
理由：连接，

由第一次折叠知点、关于对称，
垂直平分，
，
由第二次折叠知≌，
；
，
是等边三角形，
，
≌，
，
，
，
．

【解析】连接，由折叠的性质得出垂直平分，则，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查的是翻转变换的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图中连接，，设．

的长，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
最短的路径是线段，最短路径的长为．


蚂蚁从点爬行到点的最短路径的示意图如图，最短路径为，
思路：Ⅰ、过点作于，交与，此时，点在扇形的弧上，先求出的弧长，再求出的度数，
Ⅱ、再过点作于，用三角函数求出，，得出，即可求出，
Ⅲ、求出，进而求出，
Ⅳ、在中，利用勾股定理求出．
 

【解析】解：见答案；
蚂蚁从点爬行到点的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为．
故答案为：．
见答案．


先判断出为等边三角形，进而得出上等边三角形的高，即可得出结论；
蚂蚁从点爬行到点的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即可得出结论；
根据题意画出示意图，先求出，用勾股定理即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理，圆柱和圆锥的侧面展开图，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
 

25.【答案】解：当时，
解得：，
，
当时，


点是第一象限内抛物线上的点
设点坐标为
轴于点
，
设直线解析式为
把点代入得：，解得：
直线：
交于点




解得：舍去，
，
，，


存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形
，
对称轴为直线：

如图，，四边形是平行四边形
，
向下平移个单位，向左平移个单位可得


如图，，四边形是平行四边形
，
向上平移个单位，向右平移个单位可得


由图可知，以为对角线作不出满足条件的平行四边形
综上所述，符合条件的点的坐标为或．

【解析】把代入抛物线解析式求得即得到点坐标；令解方程即求得点、坐标．
设点横坐标为，用表示、的长；求直线解析式，用表示点坐标，进而用表示的长．根据列方程，求解得点坐标，即得到各线段的长．由图可知，四边形面积等于与面积之差，直接计算即可．
先求出对称轴为直线以为平行四边形的边或对角线进行分类：若为边，画出相应的图形，根据平移性质得到点的横坐标，代入解析式求纵坐标；画图可知，以为对角线不能构成满足条件的平行四边形．
本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的解法，平行四边形的性质，平移的性质．平行四边形存在性问题中，已知两个顶点时，以此线段为平行四边形的边或对角线进行分类讨论画图并计算；其中固定线段为边长求另外两点时，可利用平移性质求点坐标之间的关系．