2021太原高一下学期期末考试数学试题含答案

太原市2020~2021学年第二学期高一年级期末考试

数学试卷

（考试时间：上午8:00—9:30）

说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟.满分100分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）

1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正而朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与事件（    ）

A.相互独立 B.互为对立事件 C.互斥 D.相等

2.将一个容量为的样本分成2组，已知第一组频数为8，第二组的频率为0.80，则为（    ）

A.20 B.40 C.60 D.80

3.某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（    ）

A.正面朝上的概率为0.7 B.正面朝上的频率为0.7

C.正面朝上的概率为7  D.正而朝上的概率接近于0.7

4.在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（    ）

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

5.某学校为了调在学生的学习情况，从每班随机抽取5名学生进行调查.若一班有45名学生，将每一学生从01到45编号，请利用下面的随机数表选取5个编号，选取方法是从随机数表的第2行的第7、8列开始由左向右依次选取两个数字（作为编号），如果选取的两个数字不在总体内，则将它去掉，直到取足样本，则第四个编号为（    ）

附随机数表（下表为随机数表的前3行）：

03 47 43 73 86  36 96 47 36 61  46 98 63 71 62  33 26 16 80 45  60 11 14 10 95

97 74 24 67 62  42 81 14 57 20  42 53 32 37 32  27 07 36 07 51  24 51 79 89 73

16 76 62 27 66  56 50 26 71 07  32 90 79 78 53  13 55 38 58 59  88 97 54 14 10

A.32 B.37 C.42 D.27

6.我国古代数学名著《九章算术》中有“堑堵”一说“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示的“堑堵”中，，，分别为棱，的中点，则直线与的位置关系为（    ）

A.平行 B.相交 C.异面 D.无法判断

7.已知一组数据为1，2，4，5，6，7，8，8，9.9.则第40百分位数是（    ）

A.4 B.4.5 C.5 D.5.5

8.如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（    ）

A. B. C. D.

9.现采用随机模拟的方法估计某篮球运动员投篮3次至少投中2次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有投中，2，3，4，5，6，7，8，9表示投中；因为投篮3次，故以每3个随机数为一组.代表投篮3次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：

527  029  714  985  034  437  868  964  141  469

031  623  261  804  601  366  958  742  671  428

据此估计，该篮球运动员投篮3次至少投中2次的概率为（    ）

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

10.在正四面体的棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线成角的概率是（    ）

A. B. C. D.

11.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则估计该组数据的平均数为（    ）

A.64 B.65 C.66 D.67

12.对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：

①若，，则； ②若，，则；

③若，，则； ④若，，则；

⑤若，则.

则其中所有错误的命题是（    ）

A.③④⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.②③④⑤

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）

13.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个样本.若抽取的样本中的青年职工为7人，则其样本容量为      .

14.甲、乙两名同学同时做某道压轴选择题，两人做对此题的概率分别为和，假设两人是否能做对此题相互独立.则至少有一人能做对该题的概率为      .

15.正四而体相邻两个面所成二而角的余弦值为      .

16.从1，2，3，4四个数字中，随机地选取两个数字，若数字的选取是不放回的，则两个数字的和为偶数的概率为      ；若数字的选取是有放回的，则两个数字的和为偶数的概率为      .

三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或盐酸步骤）

17.（本小题8分）

从甲、乙两人中选选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲  7 8 6 8 6 5 9 1 0 7 4

乙  9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

（1）分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数：

（2）经计算可得甲、乙两人射击命中环数的标准差分别为1.73和1.10，从计算结果看，选派谁去参赛更好?请说明理由.

18.（本小题10分）

如图，正三棱柱的所有棱长均相等.

（1）在图中作出过与侧面垂直的三棱柱的截面，并说明理由；

（2）求直线与侧面所成角的余弦值.

19.（本小题10分）

从某校高一年级学生中随机抽取了50名学生，将他们的数学检测成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）按，，…，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）若该校高一年级共有学生600名，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数；

（2）估计高一年级数学成绩的80%分位数.

20.（本小题10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答.

（A）投掷一颗质地均匀的骰子2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为.

（1）写出试验的样本空间；

（2）求的概率.

（B）投掷一颗质地均匀的骰子2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为.

（1）写出试验的样本空间；

（2）若向量，.求的概率.

21.（本小题10分）说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答.

（A）如图，在三棱锥中，平面，

（1）若，.求证：；

（2）若，，分别在棱，，上，且，，.求证：平面.

（B）如图，在三棱锥中，平面，

（1）若，.求证：；

（2）若，分别在棱，上，且，，问在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，则求出的值；若不存在.请说明理由.

太原市2020-2021学年第二学期高一年级期末考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

13.15； 14.； 15.； 16.，.

三、解答题：

17.解：（1）计算得

，

.

（2）由（1）可知，甲、乙两人的平均成绩相等，但，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛.

18.解：（1）如图，取的中点，连接，，则可得截面.

理由如下：

∵三棱柱为正三棱柱，

∴为等边三角形，又为中点，

∴，

∵平面，平面，∴，

∵，∴平面，

又平面，故平面平面.

（2）由（1）可知直线与侧面所成角为，

设正三棱柱为所有棱长均为2，

则在直角三角形中，，，

∴，

因此直线与侧面所成角的余弦值为.

19.解：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为.

由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为.

（2）由图可知数学成绩在80分以下所占比例为，

数学成绩在90分以下所占比例为，

因此，80%分位数一定在之间，由，

估计该校高一年级数学成绩的80%分位数约为86.

20.（甲）解：（1）试验的样本空间为

（2）由（1）可知样本空间中的样本点共36个，满足的样本点有，，共3个，

故所求概率为.

20.（乙）解：（1）试验的样本空间为

（2）由（1）可知样本空间中的样本点共36个，满足即的样本点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个，

故所求概率为.

21.（甲）证明：（1）∵平面，平面，

∴，

又∵，，∴平面，

平面，

∴，

∵，，∴平面，

∴平面，

∴.

（2）如图，作的中点，连接，，

由得，又∵，

∴，平面，平面，

∴平面，

又∵，分别为，的中点，

∴，平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面.

21.（乙）证明：（1）∵平面，平面，

∴，

又∵，，∴平面，

平面，∴，

∵，，∴平面，

∵平面，

∴.

（2）存在，且，

理由如下：

如图，作的中点，连接，，

由得，又∵，

∴，平面，平面，

∴平面，

又∵，分别为，的中点，

∴，平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面.