2021淮北树人高级中学高一下学期期末考试数学试卷含答案

树人高中2020-2021学年度第二学期期末考试

高一年级数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第二Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.）

1.已知全集为实数集R，集合，，则 

A.  B.  C.  D.

【答案】C

2. “”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B【详解】，，

“”是“”的必要不充分条件，

故“”是“”的必要不充分条件，故选B．

3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直

线上，则=（    ）

1. –2              B. 2               C. 0               D.

3.【答案】B【详解】设点为角终边上任意一点，由三角函数定义，再根据诱导公式.故选B.

4.以直线为渐近线的双曲线的离心率为（    ）

A．               B．           C．或        D．

4【答案】C.解析：或，所以或，选C。

5.在中，，，点C在AB边上，且，则

A.  B.  C.  D.

5.【答案】A解：，，，
，在AB边上，且，，
则 

6. 函数的图象大致为（    ）

A.     B.      C.      D.

6.【答案】C【详解】，，∴是偶函数，排除B，D，

时，，，，排除A．只有C可选．故选：C.

7．已知四面体中，分别是的中点，若，，，则与所成角的度数为  （      ）                                   

          A．    B．    C．  D．

7.【答案】D          

8. 已知直线l过点且倾斜角为，若l与圆相切，则

A.  B.  C.  D.

8.【答案】A  解：圆的圆心坐标是，半径，
设直线l的方程为，即，显然，

由题意得：，化简得，解得：或，
，，．

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．已知是三个平面向量，则下列叙述错误的是（    ）

A．若，则         B．若，且，则

C．若，则         D．若，则

【答案】ABC

A，若，可取，，则，故A错误；

B，若，且，当， 时，则与不一定相等，故B错误；

C，若，当时，与不一定平行，故C错误；

D，若，则，所以，

，故，故D正确.

故选：ABC

10.已知曲线．则下列说法正确的有（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

11.将函数f（x）＝2cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的有（　　）

A．g（x）为奇函数 

B．g（x）的周期为4π 

C．∀a∈R，都有g（x+π）＝g（π﹣x） 

D．g（x）在区间[]上单调递增，且最小值为

11.【答案】ABC

【解答】解：函数f（x）＝2cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

可得y＝2cosx的图像，再将得到的图象向左平移π个单位长度，

得到函数g（x）＝2cos＝﹣2sin的图象，

对于A：g（﹣x）＝﹣2sin（）＝2sin＝﹣g（x），故A正确；

对于B：由于ω＝，所以T＝4π，故B正确；

对于C：由于x＝π时，函数取得最小值，

故函数关于x＝π对称，故g（x+π）＝g（π﹣x），故C正确；

对于D：g（x）在区间x∈[]上单调递减，在x单调递增，故D错误．

故选：ABC．

12.如图：在长方体中，是其中四个顶点，若，则下列叙述错误的是（    ）

【答案】BD

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

三．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填写在答题卷上.)

13．短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为　    　．

13.【解答】解：6         

14.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑

中，平面，且，，则该鳖臑外接球的表面积为　    　．

14.【解答】解：

15．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，其中A＝，b+c＝4，M为线段BC的中点，则|AM|的最小值为　    　．

15.【解答】解：因为M为线段BC的中点，所以，

故＝，

因为A＝，b+c＝4，

所以，

由基本不等式可得，，当且仅当b＝c＝2时取等号，

所以，故，

所以|AM|的最小值为．故答案为：．

16.已知F是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，若周长的最小值是6a，则C的离心率是          .

16. 解：由题意可得，，设，
由双曲线的定义可得，，

，
则的周长为，
当且仅当A，P，共线，取得最小值，且为，由题意可得，
即，则，

四、解答题：（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知:

（1）若，求的坐标；           （2）若与的夹角为，求.

17.【解析】（1）设，则由及得  ……………………2分

解得   ∴或…………………………………5分

（2）∵∴…………………………………………7分

∴，∴.………………………………………10分

18．在△中，角、、的对边分别为、、，且，．

（1）求角的大小；

（2）若，，求和△的面积．

18.【解析】（1）因为，所以.…………………………2分

因为，所以，所以.…………………………………………………4分

因为，且，所以． …………………………………………………………6分  

（2）因为，，所以余弦定理，

得，即.解得………………………………………………9分

…………………………………………………………12分

19.已知函数．

（1）当时，求函数的值域；

（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值．

19．

【解析】（1）．……………………(2分)

∵，∴，∴，

∴函数的值域为………………………………(4分)

（2），

当，………………………………(6分)

∵在上是增函数，且，

∴，

即，化简得，………………………………(10分)

∵，∴，∴，解得，因此，的最大值为1.……………(12分)

20.  如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝

2AB＝2，M为PC的中点．

（1）求证：BM//平面PAD．

（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，    确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，

∴，.

∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．              ………………3分

∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，

∴BM∥平面PAD．                                      ………………5分

（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：………………6分

∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，………………7分

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABME．                                   ……………9分

作MN⊥BE，交AE于点N，

∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，

∴MN⊥平面PBD．                                  ………………10分

易知△BME∽△MEN，而，

∴，即，而，

∴N为AE的中点．                                 ………………12分

21.已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积

21.【答案】（1）（2）

（2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

由于，故在线段的垂直平分线上， ………………………6分

又在圆上，从而，            ………………………………7分

因为的斜率为3，所以的斜率为，所以的方程为，                           ……………………………… 9分

又，到的距离为， ………………11分

所以的面积为.                           ………………………12分

22.已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，直线l：与椭圆C交于M、N两点，的重心分别为G、H，当时，的面积为．
求椭圆C的方程；
当时，证明：原点O在以GH为直径的圆的外部．

解：由题意可得离心率，，所以可得，
所以椭圆的方程设为：，           ………………………………………2分
当时，直线l的方程：，将其直线方程代入椭圆中可得，
解得，所以，
所以，  ………………………………4分

由题意可得，解得：，

所以椭圆的方程为：；     …………………………………………………5分
证明：设，，由题意的重心分别为G、H，
所以，，                        ………………………………6分
联立直线l与椭圆的方程：整理可得：，
，，                     ………………………………8分
                 ………………………………10分
因为，所以，所以，所以，
所以可证原点O在以GH为直径的圆的外部．           ……………………………12分