2021湘西自治州高一下学期期末考试数学试题含答案

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湘西自治州2020-2021学年第二学期期末质量检测

高一 数学

注意事项：

1．答卷前，考生先将自己的姓名填写在答题卡上，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在草稿纸、试卷上无效。

3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

4．本试卷共4页，22小题，考试时量120分钟，满分150分。考试结束后，将答题卡交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数（i为虚数单位）的虚部是

 A．   B．   C．    D．

2．设为所在平面内一点，且，则

 A．     B．

 C．     D．

3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高. 现随机抽取20位某地的村民，他们的幸福感指数为

 则这组数据的上四分位数是

 A．7.8   B．9.5    C．7.7    D．9.4

4．某学校为加强学生新冠肺炎防控意识，组织防控知识问卷测试，共50道题. 已知甲，乙，丙，丁，戊五位同学在这次测试中答对的题数分别是48，50，50，48，49，则这五位同学答对题数的标准差是

 A．1   B．       C．    D．

5．已知，，，则与的夹角为

 A．   B．            C．    D．

6．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个半圆，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为

 A．       B．    C．   D．

7．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是，那么原正方体石料的体积是

 A．       B．       C．         D．

8．从1，2，3，4中取随机选出一个数字，记事件“取出的数字是1或2”，“取出的数字是1或3”， “取出的数字是1或4”，则命题“①与相互独立； ② 与相互独立；③与相互独立中真命题的个数是

 A．1            B．2             C．3             D．0

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法中正确的是

 A．若∥，∥，则∥

 B．两个非零向量，，若，则与共线且反向

 C．若∥，则存在唯一实数使得

 D．若是三角形的重心，则

10．为了测量之间的距离，在河的南岸处测量（测量工具：量角器、卷尺），如图所示. 下面是四位同学所测得的数据记录，你认为不合理的有

    A．c与        B．c与b

 C．b,c与       D．b, 与  

11．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.则

 A. 与互为对立                  B.与互斥

 C. 与互斥                      D.与不互斥      

12．在直三棱柱中，是的中点. .则下列结论正确的是

 A．点到平面的距离是

 B．异面直线与的角的余弦值是

C．若P为侧面 (含边界)上一点，满足∥平面，则线段长的最小值是5.

 D．过的截面是钝角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知（是虚数单位），在复平面上，对应的点在第     象限.

14．已知△ABC的外接圆圆心为，半径为1，且向量，则向量在向量方向上的投影长度是            .

15．在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间（包括1和5）的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．当出现随机数4和5时，表示一局比赛乙获胜，其概率为0.4.由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：

423  123  423  344  114  453  525  332  152  342

543  443  512  541  125  342  334  151  314  354

 相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为       (精确到0.01)．

16．正方形ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，现将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于一点. 若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为         .

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

 平面向量

（Ⅰ）若且，求的坐标；

（Ⅱ）若满足（Ⅰ）且的横坐标为正，试求使成立的实数的值．

18．（本题满分12分）

 若△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c、，且.

（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=6，求b、c的值.

19．（本小题满分12分）

 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）若PA=2，AD=4，求直线CE与平面ABCD所成的角正切值.

20．(本小题满分12分)

 矮寨大桥飞越在湘西德夯峡谷之巅，是世界跨峡谷跨径最大的钢桁梁悬牵索桥，是连接湘渝的重要交通设施、更是湘西的标志性景点。大桥跨径1176米，桥面距离谷底355米，2012年3月建成通车。为了解矮寨大桥所在地的实际通行所需时间，随机抽取了台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50]内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有315台，频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）求实数、的值，并估计样本数据的平均数；

（Ⅱ）为了进一步了解车辆的通行状况，按第一组和第五组进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆汽车（司机）进行问卷调查，求抽取的这2辆汽车（司机）恰好来自同一组的的概率.

21．(本小题满分12分)

 已知是实数，是虚数单位.

（Ⅰ）若求的模.

（Ⅱ）若， 且，试求的取值范围．

22．(本小题满分12分)

 如图， 在三棱锥A-BCD中， 平面平面，为BD的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若是边长为3的等边三角形，点E在棱AD上, 且三棱锥A-BCD的体积是，试求二面角E-BC-D的大小.

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高一数学参考答案

一、单选题:  1．D  2．A  3．B  4．B  5．D  6．A  7．D  8．C   

二、多选题： 9．BD   10．ABC   11．AD   12．AD

三、填空题：13．一； 14．； 15．； 16．

四、解答题：

17． 解：（Ⅰ）设  则

       ， ，即 ①……2分

        又由 得 ②…………3分

        联立①②，解之得或 

   故或

  注：只得一个答案扣1分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知……7分

        ，，

  解之得：．………………10分

18．解：（Ⅰ）由题设条件知…………2分

     （Ⅱ）由得：…………8分

          …………11分

          ……12分

19．解：（Ⅰ）证明： 连接BD与AC相交于点O，

  则O为BD的中点，又E是PD的中点， …………2分

  又平面，平面…4分

  平面…………5分

 （Ⅱ）设AD的中点为F，连接EF，则，且  又PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD……7分

 所以CF是CE在平面ABCD上的射影…………8分

 故就是直线CE与平面ABCD所成的角…9分

 在正方形ABCD中，F是AD的中点， 

 在中，，，…11分

 故直线CE与平面ABCD所成的角正切值是……12分

20．解：（Ⅰ）因为通行时间在[38，47）对

 应的频率为， ……1分

 由得： …………2分

 故所求样本数据的平均数的估计值是：  

     m…………5分

（Ⅱ）通行时间在第一组的车辆有辆通行时间在第五组的车辆有辆…………7分

     由于，所以在第一组、第二组中抽取的样本数是分别是2和3…8分

 记从第一组的抽到的两个样本为，从第五组的抽到的三个样本为，用表示样本点（视为有序，即分别表示第一、第二次抽取的样本），则样本空间为      

 共20个样本点…………10分

 记事件A：两位样本来自同一组，则共8个样本点………11分

     ∴………………12分

 法2：前同法1，记从第一组的抽到的两个样本为，从第五组的抽到的三个样本为，用表示样本点（视为无序），则样本空间为      

 共10个样本点………………10分

 记事件A=“两位样本来自同一组”，

 则共4个样本点…………11分

     ∴.…………12分

21．解：(Ⅰ)因为，

   ………………3分

  ………………5分

 （Ⅱ）由题意得： …………7分   消去并整理得：

   …………10分

  因，当时， …………11分

    当时，

  故的取值范围是………………12分

22．解：（Ⅰ）在中，，为的中点，         

  ……1分

  又平面平面，而平面平

  面，平面……3分

      平面  ……5分

（Ⅱ）在中，由是中点及是边长为3的等边三角形知，，， 即 ………………6分

   过点E作交于，由(Ⅰ)知平面,

  平面，而平面，……7分

  过点作交于，由得……8分

  所以是二面角E-BC-D的平面角……9分

  从而由及得：  

 因从而由 及 平面 得：

    ……10分

 在中，由与知，

 在中，由知，又，

 在中，由知

    故所求二面角E-BC-D的平面角为……12分