2022湘西自治州高一上学期期末数学含解析

湘西自治州2021—2022学年第一学期质量检测

高一数学

一､选择题：本题共7个小题，每小题4分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 命题“，”的否定为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】利用存在量词命题否定的方法写出即可.

【详解】因命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，

所以“，”的否定为：，.

故选：B

2 函数，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.

【详解】因为，则，故.

故选：D.

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】充分性：若，则或，故充分性不成立；

必要性：若，则，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

4. 已知幂函数的图象不过原点，则实数m的取值为（    ）

A. 1 B. 2 C. -2 D. 1或2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案.

【详解】由题意可知： ，

解得 ,经经验，符合题意，

故选：A.

5. 函数的（    ）

A. 周期是π，最大值为2 B. 周期是2π，最大值为2

C. 周期是π，最大值为 D. 周期是2π，最大值为

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式，和三角恒等变换可得，再根据三角函数的性质，即可求出结果.

【详解】因为

；

所以函数的周期为，

当，即时，函数取最大值，最大值.

故选：C.

6. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．

【详解】根据题意，的解集为，则方程的两个根为和，且.

则有，变形可得，

故函数是开口向下的二次函数，且与轴的交点坐标为和.

对照四个选项，只有C符合.

故选：C．

7. 已知实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.

【详解】解：因为满足，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：．

【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

二､多选题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

8. 下列指数式与对数式互化正确的一组是（    ）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果.

【详解】由对数的概念可知：可转化为，故A正确；

由对数的概念可知：可转化为，故B错误；

由对数概念可知：可转化为，故C正确；

由对数的概念可知：可转化为，故D正确；

故选：ACD.

9. 已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】分别画出，的图象 ，结合图象即可判断

【详解】分别画出，的图象，如示意图：

实数，满足等式，
可得：，或，或．
故选：ABD.

10. 下列结论中是正确的有（    ）

A. 函数的定义域是

B. 若，则值为

C. 函数（其中且）的图象过定点

D. 若的值域为，则实数的取值范围是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据正切函数的定义域，即可判断A是否正确；根据三角函数的同角关系，以及两角差的正弦公式，即可判断B是否正确；根据对数函数的性质，即可判断C，D是否正确.

【详解】令，解得，即函数的定义域是，故A正确；

因为，所以

又，所以，解得，

所以

；故B正确；

令，解得，所以，故函数（其中且）的图象过定点，故C正确；

若的值域为，则，解得或，所以实数的取值范围是，故D错误.

故选：ABC.

三､填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分.

11. 高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为___________.

【答案】

【解析】

【详解】时间经过2小时，钟表的时针顺时针方向转过 ，

故时针转过的弧度数为，

故答案为：.

12. 用二分法研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间（8，12）存在零点，那么经过下一次计算可知___________（填区间）.

【答案】

【解析】

【分析】分别计算出的值，并判断正负，再计算中点处的函数值，即可得答案.

【详解】 ，

而，则，

故答案为：.

13 已知角终边与单位圆相交于点，则化简得___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据任意角三角函数的概念，可得，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于，由此即可求出结果.

【详解】因为角终边与单位圆相交于点，所以，

又

所以.

故答案为：.

14. 已知x、y满足.则的取值范围是___________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据求出，再由求出，再利用二次函数的图像和性质求解.

【详解】由于故.

由,知

因此,当时, 有最小值-1,此时,y可以取;

当时, 有最大值此时，y可以取

由的值域为,知的取值范围是．

故答案为

【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，考查二次函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.

15. 如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形（如图所示），若这些材料围成的围墙总长为240米，则当面积相等的小矩形的长x为___________米时，这块矩形场地面积的最大值是___________平方米.

【答案】    ①. 30    ②. 3600

【解析】

【分析】求出小矩形的宽，矩形场地面积然后配方求最值即可.

【详解】小矩形的宽为米，

所以这块矩形场地面积，

所有当时有最大值为.

故答案为：①；②.

四､解答题：本题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

16. 已知集合.

（1）求；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算．

（2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围．

【详解】解：（1），，，

.

（2）当时，，即成立；

当时，成立.

综上所述，．

【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．

17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；

（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求的图象离原点最近的对称中心．

【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：

且函数表达式为；（Ⅱ）离原点最近的对称中心为．

【解析】

【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得． 数据补全如下表：

且函数表达式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此．因为的对称中心为，． 令，解得，．即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为．

18. 已知函数.

（1）当时，求关于x的不等式的解集；

（2）若在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1），1）（2，.   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；

（2）原不等式等价于在上恒成立，分离参数得，令，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.

【小问1详解】

解：当时，则，由，得，

令，解得，或，

原不等式的解集为，1）（2，；

【小问2详解】

解：由即在上恒成立，从而有：，

令，则，当且仅当时取等号，，

故实数的取值范围是.

19. 已知函数，.

（1）判断的奇偶性和单调性，并说明理由；

（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）函数是奇函数，函数在上是单调递增函数，理由见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出函数的定义域，再根据函数奇偶性的概念，即可得到结果；根据复合函数单调性的判断法可知函数和在上的单调性，由此即可判断函数的单调性；

（2）由题意可知，对任意，存在，使得不等式成立，等价于，再根据函数的单调性求出，根据二次函数的性质可求出，进而列出不等式，求出结果.

【小问1详解】

解：①函数是奇函数

理由如下：由得，所以的定义域为，

又因为

所以函数是奇函数.

②函数在上是单调递增函数

理由如下：因为在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增.

【小问2详解】

解：对任意，存在，使得不等式成立，

等价于

由（1）知在上是单调递增函数，所以在上也是单调递增函数，

故

又函数是以直线为对称轴，且开口向上的一条抛物线

①当时，即时，所以在上单调递增，

所以，则，解得，所以，

②当时，即时，所以在上单调递减，

所以，则，解得，所以，

③当时，即时，所以在区间上单调递减，在区间单调递增，且，

所以，则，所以，即；

④当时，即时，所以在区间上单调递减，在区间单调递增，且，

所以，则，所以，即；

⑤当时，即时，所以在区间上单调递减，在区间单调递增，

所以，则显然成立，所以；

综上可知，实数的取值范围是.