2020-2021年湖南省湘西自治州吉首市高二（上）期末考试数学试卷人教A版

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这是一份2020-2021年湖南省湘西自治州吉首市高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若z=1−i1+2i，则z的共轭复数z¯=( )
A.3−iB.3+iC.−1−iD.−1+i

2. 设集合A=x|x2−7x+10<0，B=x|2x−5>0，则A∩B=( )
A.x|x<2B.x|525D.x|52
3. 现用分层抽样的方法从三个兴趣小组中抽取若干人进行集训，抽取情况如下表：
则x+y=( )
A.3B.4C.5D.6

4. 设an是公差为3的等差数列，且a4=1，则a12=( )
A.25B.26C.27D.28

5. 已知双曲线C：x24−y214=1的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C上一点，且|PF1|=6，则|PF2|的值为( )
A.14B.4或14C.10D.2或10

6. 已知向量AB→=1,2，CD→=−2,m，则“m<1”是“⟨AB→,CD→⟩为钝角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 若函数fx=x3−6x+a在−2,1上的最大值是4，则a=( )
A.0B.4−42C.9D.42−1

8. a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知bsinB+csinC−asinA=32csinB，且b+2c=323csA，当a取得最小值时，c=( )
A.94B.52C.114D.3
二、多选题

已知圆C:x2+y+32=4，则( )
A.点1,−2在圆C的内部B.圆C的直径为2
C.点2,−3在圆C的外部D.直线y=x与圆C相离

已知抛物线C的焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为( )
A.y2=4xB.y2=−5xC.x2=6yD.y=−0.1x2

已知函数fx=3x2−ax+lnx在其定义域内为增函数，则a的值可能为( )
A.4B.26C.27D.6

已知椭圆Ω:x29+y2=1的左、右顶点分别为A，B，点P为Ω上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y=−3交于点C，直线BP与直线y=−3交于点D．设直线AP的斜率为k，则满足|CD|=36的k的值可能为( )
A.1B.−17C.19D.−7+2109
三、填空题

双曲线x23−y213=1的焦距为________，离心率为________．

设平面α的一个法向量为n→=1,2,−2，点A∈α，B∉α，AB→=0,2,1，则AB与α所成角的正弦值为________.

黄金矩形的短边与长边的比值为黄金分割比5−12，黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，例如黄金矩形手表与画框．设图中的∠BAC=α，则tanα−π4=________.

已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．点D为OA的中点，B，D在y轴上的投影分别为P，Q，则|PQ|的最小值是________.
四、解答题

设函数fx=x2+1ex.
(1)求fx的导数f′x；

(2)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程．

在①a2=−2，②a3=4，③an+2an=4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设Sn是等比数列an的前n项和，且S3=3，________，求an与Sn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知a+2ba2+b2−c2=ab2+c2−a2+2ba2+c2−b2.
(1)若a=4，b=2，求△ABC的面积；

(2)证明：tanC=sinA+2sinBcsA+2csB.

如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB=BC=5，AC=4.

(1)证明：CE//平面BFG；

(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．

已知函数fx=alnx+x.
(1)当a=−1时，求fx的单调区间；

(2)求fx在1,4上的最小值．

已知点A是椭圆C1:x216+y212=1的右顶点，O为C1的对称中心，点M，N分别是x轴，y轴上的动点，且MN⊥NA．记满足OM→=2ON→+BO→的点B的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；

(2)直线l:x−ty−4=0t>0交C2于P，Q两点，射线OP，OQ分别交C1于E，F两点．设E，F的纵坐标分别为yE，yF，f(t)=1t⋅32|yE|⋅|yF|，当f(t)取得最小值时，求l的斜率.
参考答案与试题解析
2020-2021年湖南省湘西自治州吉首市高二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=1−i1+2i=3＋i，
所以z¯=3−i．
故选A．
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ A={x|x−2x−5<0}={x|2B={x|x>52}，
∴ A∩B=x|52故选D．
3.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
暂无
【解答】
解：由题意，得100:200:300=x:2:y，
解得x=1，y=3，
所以x+y=1+3=4．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
无
【解答】
解：∵ a4=1，d=3，
∴ a12=a1+(12−1)d
=a4+8d
=1+8×3
=25．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
双曲线的定义
【解析】

【解答】
解：因为|PF1|=6，||PF1|−|PF2||=2a=4，
且|PF2|≥c−a=32−2>2，
所以|PF2|=10 .
故选C .
6.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若⟨AB→,CD→⟩为钝角，则AB→⋅CD→<0，
即−2+2m<0，
解得m<1．
当m=−4时，⟨AB→,CD→⟩=π，
所以“m<1”是“⟨AB→,CD→⟩为钝角”的必要不充分条件．
故选B .
7.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：∵ fx=x3−6x+a，
∴ f′(x)=3x2−6．
当x∈[−2,−2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(−2,1]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
∴ f(x)在[−2,1]上的最大值为f(−2)=42+a=4，
解得a=4−42．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
余弦定理
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ bsinB+csinC−asinA=32csinB，
∴ b2+c2−a2=32bc，
∴ csA=b2+c2−a22bc=34.
∵ b+2c=323csA，
∴ b+2c=8，
∴ a2=b2+c2−32bc
=(8−2c)2+c2−32(8−2c)c
=8c2−44c+64.
∵ 8>0，
∴ c=−−442×8=114时，a2取得最小值，即a取得最小值．
故选C .
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，12+−2+32<4，故A正确；
B，圆C的半径为2，故B错误；
C，22+−3+32=4，即点2,−3在圆C上，故C错误；
D，圆心C到直线y=x的距离d=32>2，故D正确.
故选AD．
【答案】
B,C,D
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：y=−0.1x2可化为x2=−10y．
∵ 焦点到准线的距离大于2，
∴ p>2，
∴ 2p>4，故选项A不满足条件.
故选BCD．
【答案】
A,B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx=3x2−ax+lnx在定义域内为增函数，
∴ f′x=6x−a+1x≥0对x∈(0,+∞)恒成立，
即a≤6x+1x对x∈(0,+∞)恒成立.
∵ 6x+1x≥26x×1x=26，
∴ a≤26 .
故选AB .
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的应用
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
无
【解答】
解：设Px0,y0，
则kPA⋅kPB=y02x02−9=1−x029x02−9=−19．
∵ kPA=k，
∴ kPB=−19k.
∵ 直线AP的方程为y=kx+3，
∴ 点C的横坐标为−3k−3.
∵ 直线BP的方程为y=−19kx−3，
∴ 点D的横坐标为27k+3，
∴ |CD|=|27k+3k+6|=36，
整理，得9k2+14k+1=0或9k2−10k+1=0，
解得k=−7±2109或k=19或k=1．
故选ACD．
三、填空题
【答案】
8,433
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的离心率
【解析】
无
【解答】
解：∵ c2=3+13=16，
∴ c=4，
∴ 焦距为8，
∴ e=ca=43=433．
故答案为：8；433．
【答案】
2515
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
【解答】
解：∵ 平面α的一个法向量为n→=1,2,−2，AB→=0,2,1，
∴ AB与平面α所成角的正弦值为
|cs⟨n→，AB→⟩|=|n→⋅AB→||n→||AB→|=235=2515 .
故答案为：2515.
【答案】
5−2
【考点】
黄金分割常数
三角函数的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 黄金矩形的短边与长边的比值为黄金分割比5−12，
∴ tan∠BAC=tanα=25−1=5+12，
∴ tanα−π4=5−121+5+12=5−2 .
故答案为：5−2.
【答案】
42
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设直线l的方程为x=my+2，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x=my+2,y2=8x,
整理，得y2−8my−16=0，
则y1+y2=8m，y1y2=−16.
∵ D为OA的中点，
∴ Dx12,y12，
∴ Q0,y12，P0,y2，
∴ |PQ|=|OP|+|OQ|=|y2|+|y12|
≥2|y1y2|2=42，
当且仅当|y2|=|y12|，
即y1=42，y2=−22或y1=−42，y2=22时，等号成立．
故答案为：42.
四、解答题
【答案】
解：(1)∵ fx=x2+1ex，x∈R，
∴ f′x=x2+1′ex−x2+1ex′ex2
=2xex−x2+1exex2=−x2+2x−1ex.
(2)因为f′(0)=−1，f(0)=1，
所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为
y−1=−x，即y=−x+1.
【考点】
简单复合函数的导数
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ fx=x2+1ex，x∈R，
∴ f′x=x2+1′ex−x2+1ex′ex2
=2xex−x2+1exex2=−x2+2x−1ex.
(2)因为f′(0)=−1，f(0)=1，
所以曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为
y−1=−x，即y=−x+1.
【答案】
解：选①：设公比为q，则S3=−2q−2−2q=3，
解得q=−2或q=−12，
若q=−2，则an=−2n−1，Sn=1−−2n3；
若q=−12，则an=4⋅(−12)n−1，
Sn=4−4⋅−12n1+12=83[1−(−12)n].
选②：设公比为q，则S1=4+4q+4q2=3，
即(1+2q)2=0，
解得q=−2，
则an=−2n−1，Sn=1−−2n3.
选③：设公比为q，
∵ an+2an=q2=4，
∴ q=±2，
若q=−2，则a1=1，
an=−2n−1，Sn=1−−2n3；
若q=2，则S3=7a1=3，a1=37，
∴ an=37⋅2n−1，Sn=371−2n1−2=372n−1.
【考点】
数列递推式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选①：设公比为q，则S3=−2q−2−2q=3，
解得q=−2或q=−12，
若q=−2，则an=−2n−1，Sn=1−−2n3；
若q=−12，则an=4⋅(−12)n−1，
Sn=4−4⋅−12n1+12=83[1−(−12)n].
选②：设公比为q，则S1=4+4q+4q2=3，
即(1+2q)2=0，
解得q=−2，
则an=−2n−1，Sn=1−−2n3.
选③：设公比为q，
∵ an+2an=q2=4，
∴ q=±2，
若q=−2，则a1=1，
an=−2n−1，Sn=1−−2n3；
若q=2，则S3=7a1=3，a1=37，
∴ an=37⋅2n−1，Sn=371−2n1−2=372n−1.
【答案】
(1)解：∵ a=4，b=2，
∴ 8(20−c2)=4(c2−12)+4(c2+12)，
解得c2=10，
∴ csC=a2+b2−c22ab=58，
∴ sinC=1−cs2C=398，
∴ S△ABC=12absinC=392．
(2)证明：∵ a+2ba2+b2−c2
=ab2+c2−a2+2ba2+c2−b2，
∴ 2aba+2b×a2+b2−c22ab
=2abc⋅b2+c2−a22bc+4abc⋅a2+c2−b22ac，
即a+2bcsC=ccsA+2csB.
由正弦定理，得sinA+2sinBcsC=sinCcsA+2csB，
∴ tanC=sinCcsC=sinA+2sinBcsA+2csB.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：∵ a=4，b=2，
∴ 8(20−c2)=4(c2−12)+4(c2+12)，
解得c2=10，
∴ csC=a2+b2−c22ab=58，
∴ sinC=1−cs2C=398，
∴ S△ABC=12absinC=392．
(2)证明：∵ a+2ba2+b2−c2
=ab2+c2−a2+2ba2+c2−b2，
∴ 2aba+2b×a2+b2−c22ab
=2abc⋅b2+c2−a22bc+4abc⋅a2+c2−b22ac，
即a+2bcsC=ccsA+2csB.
由正弦定理，得sinA+2sinBcsC=sinCcsA+2csB，
∴ tanC=sinCcsC=sinA+2sinBcsA+2csB.
【答案】
(1)证明：∵ 四边形CEFG为正方形，
∴ CE//FG．
又∵ FG⊂平面BFG，CE⊄平面BFG，
∴ CE//平面BFG．
(2)解：以C为坐标原点，CD→的方向为x轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz．
∵ AB=BC=5，AC=4，
∴ 点B到AC的距离为1，
∴ G0,0,42，F4,4,42，B−1,2,0，
GF→=(4,4,0)，BG→=(1,−2,42)．
设平面BFG的一个法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅GF→=n→⋅BG→=0，
即4x+4y=x−2y+42z=0，
令y=42，得n→=(−42,42,3)．
取m→=0,0,1为平面ABCDE的一个法向量，
∴ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=373=37373，
∴ 平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为37373．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ 四边形CEFG为正方形，
∴ CE//FG．
又∵ FG⊂平面BFG，CE⊄平面BFG，
∴ CE//平面BFG．
(2)解：以C为坐标原点，CD→的方向为x轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz．
∵ AB=BC=5，AC=4，
∴ 点B到AC的距离为1，
∴ G0,0,42，F4,4,42，B−1,2,0，
GF→=(4,4,0)，BG→=(1,−2,42)．
设平面BFG的一个法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅GF→=n→⋅BG→=0，
即4x+4y=x−2y+42z=0，
令y=42，得n→=(−42,42,3)．
取m→=0,0,1为平面ABCDE的一个法向量，
∴ cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→||n→|=373=37373，
∴ 平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为37373．
【答案】
解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=−1时，f′(x)=−1x+12x=x−22x．
当x>4时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0综上所述，f(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+∞)上单调递增.
(2)∵ fx=alnx+x，x>0，
∴ f′(x)=ax+12x=x+2a2x．
当a≤−1时，f′(x)≤0，f(x)在[1,4]上单调递减，
此时，f(x)min=f(4)=2aln2+2；
当a≥−12时，f′(x)≥0，f(x)在[1,4]上单调递增，
此时，f(x)min=f(1)=1；
当−1若1若4a20，f(x)单调递增，
此时，f(x)min=f(4a2)=aln(4a2)+4a2=2aln(−2a)−2a．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=−1时，f′(x)=−1x+12x=x−22x．
当x>4时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当0综上所述，f(x)在(0,4)上单调递减，在(4,+∞)上单调递增.
(2)∵ fx=alnx+x，x>0，
∴ f′(x)=ax+12x=x+2a2x．
当a≤−1时，f′(x)≤0，f(x)在[1,4]上单调递减，
此时，f(x)min=f(4)=2aln2+2；
当a≥−12时，f′(x)≥0，f(x)在[1,4]上单调递增，
此时，f(x)min=f(1)=1；
当−1若1若4a20，f(x)单调递增，
此时，f(x)min=f(4a2)=aln(4a2)+4a2=2aln(−2a)−2a．
【答案】
解：(1)设点Mm,0，N0,n，
由题意，得A4,0，则NA→=4,−n，MN→=−m,n.
∵ MN⊥NA，
∴ MN→⋅NA→=0，
得n2+4m=0 .
设点B的坐标为x,y，
由OM→=2ON→+BO→，
得m,0=−x,2n−y，
则m=−x,n=y2,
代人n2+4m=0，得y2=8x.
又∵ MN⊥NA，
∴ m≠0，n≠0，
∴ C2的方程为y=8xx≠0．
(2)联立y2=8x,x=ty+4,
得y2−8ty−32=0．
设Px1,y1，Qx1,y2，
则y1+y2=8t，y1y2=−32 ．
∵ 直线OP的斜率为y1x1=y1y128=8y1，
∴ 直线OP的方程为y=8y1x.
由 y=8y1x,x216+y212=1,
得y2y1264×16+112=1，
则yE2y1264×16+112=1.
同理，得yF2y2264×16+112=1，
∴ yE2⋅yF2y2261×16+112y1264×16+112=1，
整理，得yE2⋅ yF2=36×256121+48t2，
∴ f(t)=1t⋅32|yE2|⋅|yF2|=322(121+48t2)36×256t(t>0)．
由均值不等式，得f(t)=19(121t+48t)≥8893，
当且仅当121t=48t，即t=1143时，
ft取得最小值，此时l的斜率为4311．
【考点】
轨迹方程
椭圆的标准方程
椭圆的应用
圆锥曲线的综合问题
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设点Mm,0，N0,n，
由题意，得A4,0，则NA→=4,−n，MN→=−m,n.
∵ MN⊥NA，
∴ MN→⋅NA→=0，
得n2+4m=0 .
设点B的坐标为x,y，
由OM→=2ON→+BO→，
得m,0=−x,2n−y，
则m=−x,n=y2,
代人n2+4m=0，得y2=8x.
又∵ MN⊥NA，
∴ m≠0，n≠0，
∴ C2的方程为y=8xx≠0．
(2)联立y2=8x,x=ty+4,
得y2−8ty−32=0．
设Px1,y1，Qx1,y2，
则y1+y2=8t，y1y2=−32 ．
∵ 直线OP的斜率为y1x1=y1y128=8y1，
∴ 直线OP的方程为y=8y1x.
由 y=8y1x,x216+y212=1,
得y2y1264×16+112=1，
则yE2y1264×16+112=1.
同理，得yF2y2264×16+112=1，
∴ yE2⋅yF2y2261×16+112y1264×16+112=1，
整理，得yE2⋅ yF2=36×256121+48t2，
∴ f(t)=1t⋅32|yE2|⋅|yF2|=322(121+48t2)36×256t(t>0)．
由均值不等式，得f(t)=19(121t+48t)≥8893，
当且仅当121t=48t，即t=1143时，
ft取得最小值，此时l的斜率为4311．

2020-2021年湖南省湘西自治州吉首市高二（上）期末考试数学试卷人教A版

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