2021滁州定远县育才学校高二下学期期末考试数学（文）试卷含答案

育才学校2020-2021学年度第二学期期末考试

高二文科数学

一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)                                         1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)

A.一定平行  B.一定垂直   C.一定是异面直线   D.一定相交

2.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)

A．直线上所有的点都在平面外      B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内  D．直线上至少有一个点在平面内

3.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为(　　)

A． 1     B． 2     C． 3    D． 4

4.若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(　　)

A．b⊥α  B．b⊂α  C．b∥α  D．b∥α或b⊂α

5. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，

则S△A′B′C′∶S△ABC等于(　　)

A． 2∶25     B． 4∶25    C． 2∶5    D． 4∶5

6.有以下四个说法，其中正确的说法是(　　)

①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；

②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；

③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；

④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交．

A． ①②  B． ①②③   C． ①③④    D． ①②④

7.设直线l, m,平面α，β，下列条件能得出α∥β的有(　　)

①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P, l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β.

A． 1个      B． 2个    C． 3个     D． 0个

8.已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)

A．PB⊥BC   B．PD⊥CD    C．PD⊥BD    D．PA⊥BD

9.如图所示，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC的四个面中，直角三角形的个数为(　　)

A． 4      B． 3   C． 2    D． 1

10.垂直于同一条直线的两条直线一定(　　)

A． 平行     B． 相交

C． 异面     D． 以上都有可能

11.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)

A．若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1∥l3  

 B．若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3

C．若l1∥l2∥l3，则l1，l2，l3共面

D．若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面

12.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥BN的点P所形成图形的周长是(　　)

A． 4   B． 2＋  C． 3＋   D． 2＋

二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)            

13.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________．

14.若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是____.

15.下列命题正确的序号是________．(其中l，m表示直线，α，β，γ表示平面)

①若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；

②若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥β；

③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；

④若l∥m，l⊥α，m⊂β，则α⊥β.

16.线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．

三.解答题(共6小题,共70分)                                         17.（10分）如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，

AA′＝2.

(1)BC和A′C′所成的角是多少度？

(2)AA′和BC′所成的角是多少度？

18. （12分）已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分别

是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．

求证：(1)E、F、D、B四点共面；

(2)平面AMN∥平面EFDB.

19. （12分）如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，

G，F分别是线段EC，BD的中点.

(1)求证：GF∥平面ABC；

(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有

怎样的位置关系？并证明.

20. （12分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ACEF所在平面垂直．

(1)求证：BD⊥平面ACEF；

(2)求直线DE与平面ACEF所成角的正弦值．

21. （12分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.

(1)求证：AC⊥B1D；

(2)求三棱锥C－BDB1的体积.

22. （12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一动点．

(1)求证：BD⊥FG；

(2)在线段AC上是否存在一点G，使FG∥平面PBD，并说明理由．

答案解析

1.B

【解析】∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.

2.B

【解析】直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．

3.C

【解析】还原的正方体如图所示．

是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.

4.D

【解析】当b⊂α时，a⊥α，则a⊥b；当b∥α时，a⊥α，则a⊥b；当b⊥α时，a⊥α，则a∥b.所以直线a⊥b，且a⊥α时，b∥α或b⊂α，故选D.

5.B

【解析】∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，

同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，

S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝.

6.D

【解析】③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故③不正确，①②④正确．

7.A

【解析】①错误，因为l, m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确.

8.C

【解析】如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．

9.A

【解析】∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴△ABC是直角三角形．

又∵PA⊥平面ABC，

∴△PAC，△PAB是直角三角形．

又BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC，

∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，故选A.

10.D

【解析】两条直线同时垂直于同一条直线，这两条直线可能平行、相交、异面．

11.B

【解析】A中，l1⊥l2，l2⊥l3，

则l1与l3可以平行，也可以相交或异面，借助正方体的棱很容易理解；

B中，l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3；

C中，l1∥l2∥l3，

则三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面；

D中，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．

12.D

【解析】如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.

∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A1，

∴NB⊥MG.

∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，

∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，

∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，

∴NB⊥平面ADGM，

∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，

∴矩形ADGM的周长等于2＋.故选D.

13.60°

【解析】因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，BA1＝＝，则CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.

15.①③④

【解析】若l⊥m，l⊥α，则m∥α或m⊂α，

又由m⊥β，则α⊥β，故①正确；

若l⊥m，l⊂α，m⊂β，

则α与β可能平行也可能相交，故②不正确；

若α⊥γ，则存在直线a⊂α，使a⊥γ，

又由β∥γ，则a⊥β，进而得到α⊥β，故③正确；

若l∥m，l⊥α，则m⊥α，

又由m⊂β，则α⊥β，故④正确．

故答案为①③④.

16.4

【解析】如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，

四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，

∴MM1＝4.

17.(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，

B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.

(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，

所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

18.证明　(1)∵E、F分别是B1C1、C1D1的中点，

∴EF平行且等于B1D1，

∵DD1平行且等于BB1，

∴四边形D1B1BD是平行四边形，

∴D1B1∥BD.

∴EF∥BD，

即EF、BD确定一个平面，故E、F、D、B四点共面．

(2)∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，

∴MN∥D1B1∥EF.又MN⊄平面EFDB，

EF⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.

连接NE，

如图所示，则NE平行且等于A1B1,A1B1平行且等于AB.

∴四边形NEBA是平行四边形．

∴AN∥BE.

又AN⊄平面EFDB，

BE⊂平面EFDB.

∴AN∥平面EFDB.

∵AN、MN都在平面AMN内，且AN∩MN＝N，

∴平面AMN∥平面EFDB.

20.(1)证明　∵ACEF为正方形，∴AF⊥AC，

又∵平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF＝AC，

∴AF⊥平面ABCD，即AF⊥BD，

又AC⊥BD，AC∩AF＝A，

∴BD⊥平面ACEF.

(2)解　设AC∩BD＝O，连接OE，

则由(1)知，∠OED为直线DE与平面ACEF所成的角．

设正方形ABCD的边长为2，

则OC＝OD＝，CE＝AC＝2，

DE＝＝2，

∴sin∠OED＝＝＝，

∴直线DE与平面ACEF所成角的正弦值为.

22.(1)证明　∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.

又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面APC，∵FG⊂平面PAC，

∴BD⊥FG.

(2)解　当G为EC的中点，

即AG＝AC时，FG∥平面PBD.

理由如下：由F为PC的中点，G为EC的中点，知FG∥PE，

而FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，

故FG∥平面PBD.