2020-2021学年安徽省滁州市定远县重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省滁州市定远县重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数(3+i1−i)2=( )
A.−3−4iB.−3+4iC.3−4iD.3+4i

2. 已知命题p:∃x∈R，x2+x<0，则￢p是（ ）
A.∃x∈R，x2+x>0B.∀x∈R，x2+x≥0
C.∀x∈R，x2+x>0D.∃x∈R，x2+x≥0

3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1, 1)，点B(1, −1)，P是动点，且直线AP与BP的斜之积等于，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.x2−3y2＝−2B.x2−3y2＝−2(x≠±1)
C.x2−3y2＝2D.x2−3y2＝2(x≠±1)

4. P是椭圆x2+4y2=16上一点，且|PF1|=7，则|PF2|=( )
A.1B.3C.5D.9

5. 已知f(x)是可导函数，且f(x)0恒成立，则( )
A.2f(8)<3f(4)<6f(2)B.6f(2)<3f(4)<2f(8)
C.3f(4)<6f(2)<2f(9)D.2f(8)<6f(2)<3f(4)

6. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围（ ）
A.(1, 2)B.(1, 2]C.(1, 5)D.(1, 5]

7. 已知函数f(x)＝(x2+x+1)ex，则f(x)在x＝0的切线方程为（ ）
A.x+y+1＝0B.x−y+1＝0C.2x−y+1＝0D.2x+y+1＝0

8. 如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l，交抛物线于点A，B．交其准线l′于点C，若|BC|＝|BF|，且|AF|＝，则此抛物线的方程为（ ）

A.y2＝B.y2＝2xC.y2＝D.y2＝3x

9. 已知函数f(x)＝e2x+1−e−2x−mx在R上为增函数，则m的取值范围为（ ）
A.(−∞,4e]B.[4e,+∞)C.(−∞,2e]D.[2e,+∞)

10. 已知函数f(x)满足f(1)＝−1，f′(1)＝2，则函数y＝f(x)⋅ex在x＝1处的瞬时变化率为（ ）
A.1B.2C.eD.2e

11. 计算（ ）
A.2π−4B.π−4C.ln2−4D.ln2−2

12. 如图，在四面体OABC中，G是底面△ABC的重心，则OG→等于（ ）

A.OA→+OB→+OC→B.12OA→+12OB→+12OC→
C.12OA→+13OB→+16OC→D.13OA→+13OB→+13OC→
二、填空题（本大题共4小题，共20分）

已知a∈R，命题p:∀x∈[1, 2]，x2−a≥0，命题q:∃x∈R，x2+2ax+2−a＝0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是________．

斜率为的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1, 0)且与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为________．

已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，当x>0时，有2f(x)+xf′(x)>x2，则不等式(x+2021)2f(x+2021)+4f(−2)<0的解集为________．

如图阴影部分是由曲线y=1x，y2=x与直线x=2，y=0围成，则其面积为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）

设命题p：对任意x∈[0, 1]，不等式2x−2≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈[−1, 1]，使得不等式x2−x−1+m≤0成立．
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P(0, 2)的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB的中点．
(ⅰ)证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；
(ⅱ)求△OAB面积的最大值及此时l的斜率．

已知双曲线x2−y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1, y1)，P2(x2, y2)．
（1）求k的取值范围，并求x2−x1的最小值；

（2）记直线m≤xlnx的斜率为φ=xlnx，直线m≤φ(x)min的斜率为φ′(x)=lnx−1ln2x，那么，x∈(1, e)是定值吗？证明你的结论．

已知点F为抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2, m)在抛物线E上，且|AF|＝3，
(Ⅰ)求抛物线E的方程；
(Ⅱ)已知点G(−1, 0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．


已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=13x3+ax(a∈R)，且曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行．
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)若函数y＝f(x)−m在区间[−3, 3]上有三个零点，求实数m的取值范围．

如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中OE＝1（单位：百米），∠OEF＝45∘，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为y＝（≤x≤5)，拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．

（1）设P点的横坐标为t，写出△EMN面积的函数表达式S(t)；

（2）当t为何值时，△EMN面积最小？并求出最小面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省滁州市定远县重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
利用两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方，运算求得结果．
【解答】
解：(3+i1−i)2=8+6i−2i=−3+4i，
故选 B．
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
利用椭圆的定义即可求出．
【解答】
解：由椭圆的方程为x2+4y2=16，可化为x216+y24=1，∴ a=4．
∵ P是椭圆x2+4y2=16上一点，
∴ 根据椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2×4，
∴ |PF2|=8−7=1．
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造函数gx=fxlnx，利用导数判断出函数y=gx在区间1,+∞上为增函数，可得出g(2)【解答】
解：令gx=fxlnx，
则g′x=xf′xlnx−fxxlnx2，
当x>1时，由fx0,
∴函数gx=fxlnx在1,+∞上是增函数，
∴g(2)∴f2ln2∴f2ln2∴6f(2)<3f(4)<2f(8)．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据题意，双曲线位于一、三象限的渐近线的斜率小于或等于3，满足ba≤3，由此结合双曲线基本量的平方关系和离心率的公式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
【解答】
∵ 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点，
∴ 双曲线的渐近线方程y=±bax，满足ba≤3
得b≤3a，两边平方得b2≤3a2，即c2−a2≤3a2，
∴ c2≤4a2，得c2a2≤4即e2≤4，
∵ 双曲线的离心率e为大于1的正数
∴ 17.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
根据条件可求出切点(0, 1)，切线斜率为2，则可表示切线方程
【解答】
由题意f(0)＝1，可知切点坐标为(0, 1)，
又因为f′(x)＝(x2+3x+2)ex，所以切线的斜率k＝f′(0)＝2，
所以f(x)在x＝0的切线方程为y−1＝2x，即切线方程为2x−y+1＝0，
8.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由函数f(x)＝e2x+1−e−2x−mx在R上为增函数，可知f′(x)≥0在R上恒成立，然后利用分离参数法求出m的范围．
【解答】
∵ 函数f(x)＝e2x+1−e−2x−mx在R上为增函数，
∴ f′(x)＝2e2x+1+2e−2x−m≥0在R上恒成立，
即m≤2e2x+1+2e−2x对x∈R恒成立，
∵ 2e2x+1+2e−2x≥22e2x+1×2e−2x=4e，
当且仅当x=−14时取等号，∴ m≤4e．
10.
【答案】
C
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
先对函数y求导得y′＝[f′(x)+f(x)]•ex，再将x＝1代入进行计算即可得解．
【解答】
∵ y＝f(x)⋅ex，
∴ y′＝f′(x)⋅ex+f(x)⋅ex＝[f′(x)+f(x)]•ex，
当x＝1时，y′＝[f′(1)+f(1)]•e1＝(2−1)e＝e．
故选：C．
11.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
利用重心的性质和向量的三角形法则即可得出．
【解答】
解：如图所示，连接AG并延长与BC相交于点D．
∵ 点G是底面△ABC的重心，
∴ AG→=23AD→，AD→=12(AB→+AC→)．
∴ OG→=OA→+AG→=OA→+23×12(AB→+AC→)
=OA→+13(AB→+AC→)．
又AB→=OB→−OA→，AC→=OC→−OA→，
∴ OG→=OA→+13(OB→−OA→+OC→−OA→)
=13(OA→+OB→+OC→)．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
【答案】
a≤−2，或a＝1
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
若命题“p∧q”是真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得答案．
【解答】
若命题p：“∀x∈[1, 2]，x2−a≥0”为真；
则1−a≥0，
解得：a≤1，
若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2−a＝0”为真，
则△＝4a2−4(2−a)≥0，
解得：a≤−2，或a≥1，
若命题“p∧q”是真命题，则a≤−2，或a＝1，
【答案】
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
(−∞, −2019)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
23+ln2
【考点】
定积分在求面积中的应用
【解析】
先求出y=1x，y2=x的交点，然后利用积分的几何意义可得，S=01xdx+121xdx，结合积分基本定理可求
【解答】
解：由题意可得y=1x，y2=x的交点为(1, 1)
由积分的几何意义可得，S=01xdx+121xdx
=23x32|01+lnx|12=23+ln2．
故答案为：23+ln2．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
【答案】
对于命题p：对任意x∈[0, 1]8−3m恒成立，
而x∈[0, 5]，
∴ −2≥m2−6m，即m2−3m+6≤0，得1≤m≤5，
所以p为真时，实数m的取值范围是1≤m≤2；
命题q：存在x∈[−5, 1]2−x−2+m≤0成立，
只需x2−x−4+m的最小值小于等于0即可，
而x2−x−8+m＝(x−）​5+m−，
则当x＝时，最小值为m−，
则由m−≤2，
即命题q为真时，实数m的取值范围是m≤，
依题意命题p，q一真一假，
若p为假命题，q为真命题，则；
若q为假命题，p为真命题，则，得，
综上，m<6或．
【考点】
命题的真假判断与应用
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由题意得，解得，
∴ a2＝2，b5＝a2−c2＝8，
∴ 椭圆C的方程为；
(ⅰ)设直线l为：y＝kx+2，A(x4, y1)，B(x2, y3)，M(xM, yM)，
由题意得，∴ (5+2k2)x8+8kx+6＝7，
∴ △＝8(2k8−3)>0，即，
由韦达定理得：x8+x2＝-，x6x2＝，
∴ ，，
∴ ，∴ ，
∴ 直线OM与l的斜率乘积为定值．
(ⅱ)由(ⅰ)可知：，
令＝t，
∴ S△AOB＝＝≤＝，
当且仅当t＝2时等号成立，此时k＝±，
∴ △AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：（1）∵ l与圆相切，
∴ 1=|m|1+k2，
∴ m2=1+k2①
由y=kx+mx2−y2=1，
得(1−k2)x2−2mkx−(m2+1)=0，
∴ 1−k2≠0△=4m2k2+4(1−k2)x1⋅x2=m2+1k2−1<0(m2+1)=4(m2+1−k2)=8>0，
∴ k2<1，
∴ −1故k的取值范围为(−1, 1)．
由于x1+x2=2mk1−k2∴x2−x1=(x1+x2)2−4x1x2=22|1−k2|=221−k2，
∵ 0≤k2<1
∴ 当k2=0时，x2−x1取最小值22．
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，
∴ k1=y1x1+1，k2=y2x2−1，
∴ k1⋅k2=y1y2(x1+1)(x2−1)
=(kx1+m)(kx2+m)(x1+1)(x2−1)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2x1x2+(x2−x1)−1
=m2+1k2−1−22k2−1−1˙
=m2k2+k2−2m2k2+m2k2−m2m2+1−22−k2+1
=k2−m2m2−k2+2−22，
由①，得m2−k2=1，
∴ k1⋅k2=−13−22=−(3+22)为定值．
【考点】
圆锥曲线问题的解决方法
【解析】
（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由y=kx+mx2−y2=1，得(1−k2)x2−2mkx−(m2+1)=0，故k的取值范围为(−1, 1)．由此能求出x2−x1取最小值22．
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，所以k1⋅k2=y1y2(x1+1)(x2−1)=(kx1+m)(kx2+m)(x1+1)(x2−1)=k2−m2m2−k2+2−22，由此能求出k1⋅k2=−13−22=−(3+22)为定值．
【解答】
解：（1）∵ l与圆相切，
∴ 1=|m|1+k2，
∴ m2=1+k2①
由y=kx+mx2−y2=1，
得(1−k2)x2−2mkx−(m2+1)=0，
∴ 1−k2≠0△=4m2k2+4(1−k2)x1⋅x2=m2+1k2−1<0(m2+1)=4(m2+1−k2)=8>0，
∴ k2<1，
∴ −1故k的取值范围为(−1, 1)．
由于x1+x2=2mk1−k2∴x2−x1=(x1+x2)2−4x1x2=22|1−k2|=221−k2，
∵ 0≤k2<1
∴ 当k2=0时，x2−x1取最小值22．
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为(−1, 0)，(1, 0)，
∴ k1=y1x1+1，k2=y2x2−1，
∴ k1⋅k2=y1y2(x1+1)(x2−1)
=(kx1+m)(kx2+m)(x1+1)(x2−1)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2x1x2+(x2−x1)−1
=m2+1k2−1−22k2−1−1˙
=m2k2+k2−2m2k2+m2k2−m2m2+1−22−k2+1
=k2−m2m2−k2+2−22，
由①，得m2−k2=1，
∴ k1⋅k2=−13−22=−(3+22)为定值．
【答案】
解法一：(I)由抛物线定义可得：|AF|＝2+p2=3，解得p＝2．
∴ 抛物线E的方程为y2＝4x；
(II)证明：∵ 点A(2, m)在抛物线E上，
∴ m2＝4×2，解得m=±22，不妨取A(2,22)，F(1, 0)，
∴ 直线AF的方程：y＝22(x−1)，
联立y=22(x−1)y2=4x ，化为2x2−5x+2＝0，解得x＝2或12，B(12,−2)．
又G(−1, 0)，∴ kGA=22−02−(−1)=223．kGB=−2−012−(−1)=−223，
∴ kGA+kGB＝0，
∴ ∠AGF＝∠BGF，∴ x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴ 以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：(I)同解法一．
(II)证明：点A(2, m)在抛物线E上，∴ m2＝4×2，解得m=±22，不妨取A(2,22)，F(1, 0)，
∴ 直线AF的方程：y＝22(x−1)，
联立y=22(x−1)y2=4x ，化为2x2−5x+2＝0，解得x＝2或12，B(12,−2)．
又G(−1, 0)，可得直线GA，GB的方程分别为：22x−3y+22=0，22x+3y+22=0，
点F(1, 0)到直线GA的距离d=|22+22|(22)2+32=4217，
同理可得点F(1, 0)到直线GB的距离=4217．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
解法一：(I)由抛物线定义可得：|AF|＝2+p2=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．
(II)由点A(2, m)在抛物线E上，解得m，不妨取A(2,22)，F(1, 0)，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2−5x+2＝0，解得B(12,−2)．又G(−1, 0)，计算kGA，kGB，可得kGA+kGB＝0，∠AGF＝∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：(I)同解法一．
(II)由点A(2, m)在抛物线E上，解得m，不妨取A(2,22)，F(1, 0)，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2−5x+2＝0，解得B(12,−2)．又G(−1, 0)，可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F(1, 0)到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【解答】
解法一：(I)由抛物线定义可得：|AF|＝2+p2=3，解得p＝2．
∴ 抛物线E的方程为y2＝4x；
(II)证明：∵ 点A(2, m)在抛物线E上，
∴ m2＝4×2，解得m=±22，不妨取A(2,22)，F(1, 0)，
∴ 直线AF的方程：y＝22(x−1)，
联立y=22(x−1)y2=4x ，化为2x2−5x+2＝0，解得x＝2或12，B(12,−2)．
又G(−1, 0)，∴ kGA=22−02−(−1)=223．kGB=−2−012−(−1)=−223，
∴ kGA+kGB＝0，
∴ ∠AGF＝∠BGF，∴ x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴ 以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：(I)同解法一．
(II)证明：点A(2, m)在抛物线E上，∴ m2＝4×2，解得m=±22，不妨取A(2,22)，F(1, 0)，
∴ 直线AF的方程：y＝22(x−1)，
联立y=22(x−1)y2=4x ，化为2x2−5x+2＝0，解得x＝2或12，B(12,−2)．
又G(−1, 0)，可得直线GA，GB的方程分别为：22x−3y+22=0，22x+3y+22=0，
点F(1, 0)到直线GA的距离d=|22+22|(22)2+32=4217，
同理可得点F(1, 0)到直线GB的距离=4217．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【答案】
（1）当x>0时，f′(x)＝x2+a，
因为曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行，
所以f′(12)=14+a=−34，解得a＝−1，
所以f(x)=13x3−x，
设x<0则f(x)＝−f(−x)=13x3−x，
又f(0)＝0，所以f(x)=13x3−x．
（2）由(Ⅰ)知f(−3)＝−6，f(−1)=23，f(1)=−23，f(3)＝0，
所以函数y＝f(x)−m在区间[−3, 3]上有三个零点，
等价于函数f(x)在[−3, 3]上的图象与y＝m有三个公共点．
结合函数f(x)在区间[−3, 3]上大致图象可知，实数m的取值范围是(−23, 0)．
【考点】
导数的运算
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)将问题转化为函数f(x)的图象与y＝m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．
【解答】
（1）当x>0时，f′(x)＝x2+a，
因为曲线f(x)在x=12处的切线与直线y=−34x−1平行，
所以f′(12)=14+a=−34，解得a＝−1，
所以f(x)=13x3−x，
设x<0则f(x)＝−f(−x)=13x3−x，
又f(0)＝0，所以f(x)=13x3−x．
（2）由(Ⅰ)知f(−3)＝−6，f(−1)=23，f(1)=−23，f(3)＝0，
所以函数y＝f(x)−m在区间[−3, 3]上有三个零点，
等价于函数f(x)在[−3, 3]上的图象与y＝m有三个公共点．
结合函数f(x)在区间[−3, 3]上大致图象可知，实数m的取值范围是(−23, 0)．
【答案】
由已知可知P(t，），故直线MN的斜率为-，
∴ 直线MN的方程为y＝-(x−t)+，
令y＝0可得x＝2t，∴ M(7t．
又E(1, 0)，
∴ 直线EF的方程为y＝−x+6，
联立方程组，解得x＝，
∴ yN＝，
∴ S(t)＝＝(4t−1)•＝（．
S′(t)＝．
∴ 当≤t<3时，当2∴ 当t＝2时，S(t)取得最小值S(2)＝．
∴ 当t＝2时，△EMN面积最小．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
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【解答】
此题暂无解答