2021沈阳郊联体高二下学期期末考试数学试卷含答案

2020-2021学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高二试题

数学

考试时间：120分钟       试卷总分：150分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．       B．       C．       D．

2．设a，b，c为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A．       B．       C．       D．

3．函数的定义域是（    ）

A．       B．       C．       D．

4．若正数x，y满足，当取得最小值时，的值为（    ）

A．2       B．3       C．4       D．5

5．函数的图象大致为（    ）

A．       B．       C．       D．

6．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2020年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间t的关系为（为最初污染物数量）．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（    ）小时．

A．3.6       B．3.8       C．4       D．4.2

7．已知命题在内单调递增，命题，则p是q的（    ）

A．充要条件       B．充分不必要条件       C．必要不充分条件       D．既不充分也不必要条件

8．已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．函数在区间上是减函数

B．

C．若方程恰有5个不相等的实根，则

D．若函数在区间上有8个零点，则

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则实数m的取值范围是

B．若函数的值域为，则实数

C．若函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围是

D．若，则不等式的解集为

10．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有（    ）

A．大鼠与小鼠在第三天相逢       B．大鼠与小鼠在第四天相逢

C．大鼠一共穿墙尺            D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为59∶26

11．已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（    ）

A．       B．       C．       D．

12．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a可能的取值有（    ）

A．       B．       C．       D．

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．幂函数在区间上是减函数，则________．

14．已知函数与的图像有且只有一个公共点，求k的取值范围_______．

15．已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足则实数a的取值范围是________．

16．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设p：实数x满足；q：实数x满足或．若且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求a的值；

（2）判断在上的单调性，并用定义证明；

（3）解不等式．

19．（12分）某市2021年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给港华公司．已知港华公司为该市铺设天然气管道的固定成本为35万元，每年的管道维修此用为5万元．此外，该市若开通x千户使用天然气用户，公司每年还需投入成本万元，且．通过市场调研，公司决定从每户天然气新用户征收开户费用2500元，且用户开通天然气后，公司每年平均从每户使用天然气的过程中获利360元．

（1）设该市2021年共发展使用天然气用户x千户，求中昱公司这一年利润（万元）关于x的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，当x等于多少最大？且最大值为多少？

20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充下面的问题中．若问题中的存在，求的最小整数值；若不存在，请说明理由，问题：设数列满足，数列的前n项和为．若_______，则是否存在，使得？

21．（12分）定义在D上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界

（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由．

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

22．（12分）已知函数，其中a为实常数．

（1）求函数的极值；

（2）若对任意，且，恒有成立，求a的取值范围．

2020-2021学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高二年级试题

数学答案

一、单选：

1．A   2．D  3．D   4．B  5．B  6．C  7．C   8．C

二、多选：

9．AC      10．ACD    11．BCD     12．BCD

三、填空：

13．0      14．    15．     16．

四、解答题：

17．由p得，当时，．             2分

由q得或，则或或，则或．       4分

设p：，q：，

又p是q的充分不必要条件．可知，            6分

∴或，即或．            8分

又∵，∴或，

即实数a的取值范围为．             10分

18．（1）函数是上的奇函数，所以，

解得：，经检验满足题意；             2分

（2）由（1）值，可判断该函数为减函数，证明如下：

设，

，      6分

∵，∴，

所以，，单调递减；            8分

（3）因为是R上的奇函数，且单调递减，

所以，      10分

所以，解得或，

所以解集为．             12分

19．（1）由题可知：，            4分

即，            6分

（2）由（1）可知当时，（万元）      8分

当时，（万元），当且仅当时取等号      10分

故当本年度发展客户100千户时公司利润达最大为1080万元．       12分

20．由，时两式相减，得，则。经检验，当时，仍满足，所以            4分

方案一：选条件①

由，得            6分

所以            8分

因为，所以            10分

故存在，的最小的整数值为1．            12分

方案二：选条件②

由，得，则有

．            6分

当时，；当时，，当时，．            8分

所以当或时，取最大值为24，             10分

故存在，的最小的整数值为24            12分

方案三：选条件③

由，得，则有，            6分

所以．       8分

当时，取最大值为            10分

故存在，的最小的整数值为0            12分

21．（1），则在上单调递增            1分

所以对任意满足

而，所以            2分

若恒成立，则

即所有上界的值的集合为            4分

（2）函数在上是以3为上界的有界函数

根据有界函数定义，可知在上恒成立

所以

即

化简变形可得            6分

令

则在上恒成立

即满足

由二次函数性质可知，，当时，       8分

，

所以当时，       10分

即，

故a的取值范围为            12分

22．解：（1）函数的定义域为，

当时，在上单调递减，在单调递增，当时，有极小值为，无极大值。

当时，恒成立，在上单调递减，无极值。      4分

（2）因为，对任意且恒成立，不妨设

所以，对任意，且恒成立，

即，对任意，且恒成立，      6分

所以函数在递增，             8分

在递减．            10分

从而在恒成立，所以            12分